概率論第五章

第五章多維隨機變量在實際問題中,一些隨機試驗的結(jié)果往往同時需要兩個或兩個以上的隨機變量來描述.要研究這些隨機變量之間的關(guān)系,就應(yīng)同時考慮若干個隨機變量，即多維隨機變量及其取值規(guī)律。本章主要討論多維隨機變量的分布及其性質(zhì).本章內(nèi)容§5.1二維隨機變量的概念()§5.2邊緣分布、條件分布()

§5.3隨機變量的獨立性()

小結(jié)課程要求習(xí)題選講本章測驗§5.4數(shù)字特征()§5.5二維隨機變量函數(shù)的概率分布()

§5.6中心極限定理簡介()

第一節(jié)二維隨機變量的概念5.1.1二維離散型隨機變量的聯(lián)合概率分布5.1.2聯(lián)合分布函數(shù)5.1.3二維連續(xù)隨機變量的聯(lián)合概率密度多維隨機變量舉例:2、考察某地區(qū)學(xué)齡前童的身體發(fā)育情況：X：表示該地區(qū)學(xué)齡前兒童的身高；Y：表示該地區(qū)學(xué)齡前兒童的體重；則（X，Y）就是一個二維隨機變量。1、對一目標(biāo)進行射擊：X：表示彈著點與目標(biāo)的水平距離；Y：表示彈著點與目標(biāo)的垂直距離；則（X，Y）就是一個二維隨機變量。3、考察某地區(qū)的氣候狀況：X：表示該地區(qū)的溫度；Y：表示該地區(qū)的濕度；則（X，Y）就是一個二維隨機變量。4、考察某鋼廠鋼材的質(zhì)量：X：表示該鋼廠鋼材的硬度；Y：表示該鋼廠鋼材的含碳量；則（X，Y，Z）就是一個三維隨機變量。Z：表示該鋼廠鋼材的含硫量；對于多維隨機變量[如二維(X,Y)]，其性質(zhì)不僅與X及Y有關(guān),而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關(guān)系.因此,逐個地來研究X或Y的性質(zhì)是不夠的,還需將(X,Y)作為一個整體來進行研究.1、二維離散型隨機變量的定義如果二維隨機變量的所有可能取的值是有限對或可列無限對,則稱是離散型隨機變量.若及的全部不同的可能取值分別為則的全部可能取值為:2、二維離散型隨機變量的聯(lián)合概率分布5.1.1二維離散型隨機變量的聯(lián)合概率分布稱概率函數(shù)為二維離散型隨機變量的(聯(lián)合)概率分布(律).或列表為(概率分布也稱為聯(lián)合分布列)稱概率函數(shù)為二維離散型隨機變量的(聯(lián)合)概率分布(律).或列表為(概率分布也稱為聯(lián)合分布列)(1)(2)3、概率分布的性質(zhì)例1已知10件產(chǎn)品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽出4件,求其中一等品件數(shù)與二等品件數(shù)的聯(lián)合分布列.解:由古典概率公式,有其中且依上式可得的聯(lián)合概率分布列如下:由已知條件，二維隨機變量所有可能的取值為：例1已知10件產(chǎn)品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽出4件,求其中一等品件數(shù)與二等品件數(shù)的聯(lián)合分布列.解:01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101且例1已知10件產(chǎn)品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽出4件,求其中一等品件數(shù)與二等品件數(shù)的聯(lián)合分布列.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101其中邊緣分布律解:例2設(shè)A,B為隨機事件,且令求:(I)二維隨機變量的概率分布;(II)X與Y的相關(guān)系數(shù).(2004)(I)易見的可能取值為:相應(yīng)概率分別為于是的概率分布為例2設(shè)A,B為隨機事件,且令求:(I)二維隨機變量的概率分布;(II)X與Y的相關(guān)系數(shù).(2004)5.1.2聯(lián)合分布函數(shù)1、聯(lián)合分布函數(shù)的定義稱為二維隨機變量的分布函數(shù)(或稱聯(lián)合分布函數(shù)).設(shè)是二維隨機變量,對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)的值就是隨機點落在2、幾何意義區(qū)域D內(nèi)的概率。性質(zhì)1對任意的有性質(zhì)2且有是變量x和y的單調(diào)非降函數(shù);3、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)如圖：對顯然有于是我們得到考慮隨機變量落在矩形區(qū)域D的概率，其中容易得到性質(zhì)3對任意的且總有性質(zhì)4對任意的x(或y)都是右連續(xù)的,即對任意的均有4、二維離散型隨機變量的分布函數(shù)設(shè)二維離散型隨機變量的聯(lián)合概率分布為則有進行的。這個求和式是對滿足及的一切下標(biāo)i和j解:由分布函數(shù)的性質(zhì)得同理由(1),(2),(3)解得(1)(2)(3)例3已知二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為試確定常數(shù)A,B,C的值。并求概率由(1),(2),(3)解得于是從而例3已知二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為試確定常數(shù)A,B,C的值。并求概率5.1.3二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度1、聯(lián)合概率密度的定義對于二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)，如果存在一個二元非負(fù)值函數(shù)使得對任意有則稱為二維連續(xù)型隨機變量.稱為二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù).（簡稱聯(lián)合密度函數(shù)或聯(lián)合密度）記為在空間直角坐標(biāo)系中,表示一曲面,此曲面稱為分布曲面.2、聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)（1）（2）具有性質(zhì)(1),(2)的二元函數(shù)f(x,y),必是某個注意到以及可得注:二維連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)。分布曲面與xoy面所夾部分的體積為1.（3）設(shè)D為xoy平面內(nèi)任一區(qū)域,則有（4）在的連續(xù)點處，有以R為底,以分布曲面為頂?shù)那斨w的體積.P121：圖5-2由兩邊同時對x和y求偏導(dǎo)數(shù)(假定偏導(dǎo)數(shù)存在).得幾何意義:例如，特別地例4已知二維隨機變量的密度為（書例2）試確定k的值，并求落在區(qū)域D的概率。其中解:由密度函數(shù)的性質(zhì)又記從而xyO11RxyO11R從而于是D例4已知二維隨機變量的密度為（書例2）試確定k的值，并求落在區(qū)域D的概率。其中例5(2003數(shù)一)設(shè)二維隨機變量的概率密度為則解1xyO13、幾種重要的二維連續(xù)型隨機變量（1）二維均勻分布如果的聯(lián)合密度函數(shù)為其中D是平面上某個區(qū)域。則稱二維隨機變量服從區(qū)域D上的均勻分布。表示區(qū)域D的面積.隨機點落在區(qū)域D內(nèi)每一點的可能性都相同。3、幾種重要的二維連續(xù)型隨機變量（1）二維均勻分布如果的聯(lián)合密度函數(shù)為對于事件注1:若則有幾何概率公式落在區(qū)域的概率與的位置無關(guān),與的面積成正比.上式說明:對均勻分布,隨機點隨機點落在區(qū)域D內(nèi)每一點的可能性都相同。3、幾種重要的二維連續(xù)型隨機變量（1）二維均勻分布如果的聯(lián)合密度函數(shù)為對于事件注2:如圖:有（2）二維正態(tài)分布如果的聯(lián)合密度函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布.記為特別地,當(dāng)時,（2）二維正態(tài)分布如果的聯(lián)合密度函數(shù)為特別地,當(dāng)時,更進一步,若還有則此時,聯(lián)合密度函數(shù)為兩個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的乘積.與習(xí)題5.3、5.5

第二節(jié)邊緣分布、條件分布5.2.1邊緣分布的概念5.2.2條件分布續(xù)例1已知10件產(chǎn)品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽出4件,求其中一等品件數(shù)及二等品件數(shù)的聯(lián)合分布列.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101求隨機變量(或)的分布列.解:5.2邊緣分布、條件分布01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101即續(xù)例1已知10件產(chǎn)品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽出4件,求其中一等品件數(shù)及二等品件數(shù)的聯(lián)合分布列.求隨機變量(或)的分布列.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101同理續(xù)例1已知10件產(chǎn)品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽出4件,求其中一等品件數(shù)及二等品件數(shù)的聯(lián)合分布列.求隨機變量(或)的分布列.1、邊緣分布的定義則稱隨機變量或的概率分布為它的邊緣分布。一般地，對于二維隨機變量,若已知其聯(lián)合分布，2、二維離散型隨機變量的邊緣分布列設(shè)二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布為則隨機變量的邊緣概率分布律為同理隨機變量的邊緣概率分布律為3、邊緣分布函數(shù)若二隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，則稱隨機變量或的分布函數(shù)或為的同理有邊緣分布函數(shù)。由分布函數(shù)的定義，有問題：已知的聯(lián)合分布函數(shù),如何求邊緣分布？例3已知二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為試確定常數(shù)A,B,C的值。并求（1）概率（2）求邊緣分布Fξ(x),Fη(y)解（2）邊緣分布Fξ(x)因為從而同理有又因為故同理給出聯(lián)合密度函數(shù)時，邊緣密度函數(shù)的計算例1（書例4）已知二維隨機變量的密度為分別求出及的邊緣概率密度。解：（1）當(dāng)時，有（2）當(dāng)時，有故xyO11R根據(jù)公式同理,由根據(jù)公式（1）當(dāng)時，有（2）當(dāng)時，有故例1（書例4）已知二維隨機變量的密度為分別求出及的邊緣概率密度。xyO11RR例2設(shè)二維隨機變量的概率密度函數(shù)為求:(I)的邊緣概率密度(II)的概率密度(2005)y=2x解如圖:當(dāng)時,當(dāng)或時,從而(1)先求當(dāng)時,當(dāng)或時,從而(2)下面求例2設(shè)二維隨機變量的概率密度函數(shù)為求:(I)的邊緣概率密度(II)的概率密度(2005)Ry=2x例3設(shè)二維隨機變量（書例5）試求及的邊緣概率密度.解:的聯(lián)合密度函數(shù)為于是,由公式將被積函數(shù)的指數(shù)可變形為記則例3設(shè)二維隨機變量試求及的邊緣概率密度.解:的聯(lián)合密度函數(shù)為于是則例3設(shè)二維隨機變量試求及的邊緣概率密度.例3設(shè)二維隨機變量試求及的邊緣概率密度.解:的聯(lián)合密度函數(shù)為于是令則例3設(shè)二維隨機變量（書例5）試求及的邊緣概率密度.注意到從而類似有例3設(shè)二維隨機變量（書例5）試求及的邊緣概率密度.結(jié)論:則若例3設(shè)二維隨機變量（書例5）試求及的邊緣概率密度.5.2.1條件分布1、條件分布的定義對二維隨機變量,在一個隨機變量取固定值的條件下,另一隨機變量的概率分布,稱為條件概率分布(簡稱2、二維離散型隨機變量的條件分布設(shè)二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律為則關(guān)于的邊緣分布律為關(guān)于的邊緣分布律為條件分布)若，則由條件概率的定義知稱之為在條件下的條件分布律。類似地，當(dāng)時，在條件下的條件分布律為續(xù)例1已知10件產(chǎn)品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽出4件,求其中一等品件數(shù)及二等品件數(shù)的聯(lián)合分布列.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101求隨機變量(或)的分布列.(1)已知抽取的4件產(chǎn)品中有2件二等品,求一等品件數(shù)的概率分布.(2)已知抽取的4件產(chǎn)品中有1件一等品,求二等品件數(shù)的概率分布.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的4件產(chǎn)品中有2件二等品,求一等品件數(shù)的概率分布.(2)已知抽取的4件產(chǎn)品中有1件一等品,求二等品件數(shù)的概率分布.解:(1)所求概率分布律為于是同理01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的4件產(chǎn)品中有2件二等品,求一等品件數(shù)的概率分布.(2)已知抽取的4件產(chǎn)品中有1件一等品,求二等品件數(shù)的概率分布.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的4件產(chǎn)品中有2件二等品,求一等品件數(shù)的概率分布.(2)已知抽取的4件產(chǎn)品中有1件一等品,求二等品件數(shù)的概率分布.解:(1)所求概率分布律為01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的4件產(chǎn)品中有2件二等品,求一等品件數(shù)的概率分布.(2)已知抽取的4件產(chǎn)品中有1件一等品,求二等品件數(shù)的概率分布.解:(2)所求概率分布律為3、二維連續(xù)型隨機變量的條件分布對于二維連續(xù)型隨機變量，由于對任一特定值x或y，均有及，故對二維連續(xù)型隨機變量，不能直接套用條件概率來定義條件概率分布。下面我們利用極限來定義二維連續(xù)型隨機變量的條件分布：設(shè)的聯(lián)合分布密度函數(shù)為,邊緣密度在條件下,連續(xù)型隨機變量的條件分布函數(shù)定義為:若連續(xù),則對使的點

,(利用積分中值定理)條件分布函數(shù)記為即對使的點

,在條件下,連續(xù)型隨機變量的條件分布函數(shù)為:條件概率密度函數(shù)為在條件下,條件概率密度函數(shù)為連續(xù)型隨機變量的條件分布函數(shù)為:同理,對使的點

,例4已知二維隨機變量的密度為（書例8）試求及解：由例1知于是，對有試求及解：由例1知對有類似地,例4已知二維隨機變量的密度為（書例8）試求及例5設(shè)二維隨機變量（書例9）試求解:由及(見例3)有=容易看出,此條件分布仍是正態(tài)分布:類似可以得到也是正態(tài)分布:二元正態(tài)分布的條件分布仍是正態(tài)分布.例5設(shè)二維隨機變量（書例9）試求的條件例6設(shè)X在區(qū)間上服從均勻分布，在(5-12)(2)Y的概率密度；(3)概率(1)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度；下，隨機變量Y在區(qū)間服從均勻分布，求解：（1）隨機變量X的概率密度函數(shù)為在的條件下，Y的條件概率密度函數(shù)為當(dāng)時，X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為在其它點處，有(2004)從而（2）當(dāng)時，當(dāng)或時，因此的條件例6設(shè)X在區(qū)間上服從均勻分布，在(2)Y的概率密度；(3)概率(1)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度；下，隨機變量Y在區(qū)間服從均勻分布，求(2004)從而（3）的條件例6設(shè)X在區(qū)間上服從均勻分布，在(2)Y的概率密度；(3)概率(1)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度；下，隨機變量Y在區(qū)間服從均勻分布，求(2004)作業(yè)5-85-11由二維隨機變量的聯(lián)合概率分布可求出隨機變量問題:若隨機變量和的概率分布已知,是否可求出二維和的邊緣分布.例?隨機變量的聯(lián)合概率分布?問題：在什么條件下，邊緣分布可完全決定聯(lián)合分布？第三節(jié)隨機變量的獨立性1、事件的相互獨立性事件A與B相互獨立2、二維隨機變量相互獨立的定義設(shè)是兩個隨機變量,若對任意實數(shù)都有則稱隨機變量與是(相互)獨立的.3、離散型隨機變量相互獨立的充要條件4、連續(xù)型隨機變量相互獨立的充要條件與相互獨立(2)實際使用時往往從直觀上去判斷隨機變量的獨立性.(1)判斷隨機變量的獨立性一般有兩種方法:B:由問題的性質(zhì)從直觀上去判斷.A:由定義判斷,是否滿足公式;6、隨機變量獨立性的判斷5、二維隨機變量相互獨立的充要條件與相互獨立7推廣:n個隨機變量的獨立性如果對任意實數(shù)總成立則稱n個隨機變量的相互獨立.(1)定義或其中為的聯(lián)合分布函數(shù),為隨機變量的分布函數(shù).n個連續(xù)型隨機變量相互獨立當(dāng)且僅當(dāng)(2)n個離散型隨機變量相互獨立當(dāng)且僅當(dāng)(3)例3已知二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為試確定常數(shù)A,B,C的值。并求（1）概率（2）求邊緣分布Fξ(x),Fη(y)解（2）邊緣分布Fξ(x)（3）問隨機變量是否相互獨立？與是(相互)獨立的.解（3）的概率分布為例2設(shè)A,B為隨機事件,且令求:(I)二維隨機變量的概率分布;(2004)(2)求邊緣分布律;10/122/129/123/12邊緣分布律;X，Y非獨立（3）問離散型隨機變量是否相互獨立？例1已知二維隨機變量的密度為分別求出及的邊緣概率密度。解：xyO11R問隨機變量是否相互獨立？ξ，η非獨立例設(shè)二維隨機變量的概率分布為0100.410.1已知隨機事件與相互獨立,求(2005)解:由隨機事件與相互獨立,有由得:又所以由解得例2設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，下表列出二維隨機變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，下表列出二維隨機變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，下表列出二維隨機變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，下表列出二維隨機變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，下表列出二維隨機變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，下表列出二維隨機變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，下表列出二維隨機變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，下表列出二維隨機變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，下表列出二維隨機變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，下表列出二維隨機變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式即得。例3設(shè)二維隨機變量（書例10）試證與相互獨立當(dāng)且僅當(dāng).解:的聯(lián)合密度函數(shù)為若則顯然有從而與相互獨立.5-17，5-22第四節(jié)數(shù)字特征5.4.1數(shù)學(xué)期望5.4.2二維隨機變量的協(xié)方差一、二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望1、離散型設(shè)二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律為5.4.1數(shù)學(xué)期望則有2、連續(xù)型設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則有即有同理二、二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1、離散型設(shè)二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律為記則有2、連續(xù)型設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則有記三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)定理1兩個隨機變量和的數(shù)學(xué)期望等于它們各自數(shù)學(xué)期望即之和。證明設(shè)(1)離散型設(shè)二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律為則有(2)連續(xù)型設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則有證畢.推論對任意常數(shù)有推廣對任意n個隨機變量及個常數(shù)有定理2兩個獨立隨機變量乘積的數(shù)學(xué)期望，等于它們各自數(shù)學(xué)期望之積。即證明(1)離散型有已知與獨立,于是設(shè)二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律為定理2兩個獨立隨機變量乘積的數(shù)學(xué)期望，等于它們各自數(shù)學(xué)期望之積。即證明（就連續(xù)型證明）設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則有已知與獨立,于是證畢。一、方差1、離散型設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率分布為則有同理有5.4.2二維隨機變量的協(xié)方差2、連續(xù)型設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為則有同理有1.問題的提出協(xié)方差記Cov(

,

).二、

協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)

２、協(xié)方差的定義的數(shù)字特征.的數(shù)學(xué)期望為與的協(xié)方差。記為即2、簡單性質(zhì)稱函數(shù)對給定的二維隨機變量，對于二維隨機變量,我們不僅關(guān)心隨機變量和也關(guān)心反映隨機變量與之間關(guān)系的數(shù)字特征.反映隨機變量之間關(guān)系的數(shù)字特征主要有協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。定義2定理3對給定的二維隨機變量，成立（1）若獨立，則有（2）證明若獨立，則(1)(2)有即對任意常數(shù)a，有證畢。３、相關(guān)系數(shù)的定義隨機變量的相關(guān)系數(shù)（簡記為r)定義為或記為標(biāo)準(zhǔn)尺度下的協(xié)方差（1）若獨立，則（2）定理4對給定的二維隨機變量，r為的相關(guān)系數(shù)，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)間有嚴(yán)格線性關(guān)系時則成立證明若獨立，則有從而(1)達到.即當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b,使得（1）若獨立，則（2）定理4對給定的二維隨機變量，r為的相關(guān)系數(shù)，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)間有嚴(yán)格線性關(guān)系時則成立證明(2)有即證畢。也就是等號成立,當(dāng)且僅當(dāng)即存在常數(shù)a,b,使得達到.即當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b,使得（1）若獨立，則（2）定理4對給定的二維隨機變量，r為的相關(guān)系數(shù)，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)間有嚴(yán)格線性關(guān)系時則成立達到.即當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b,使得由定理4(1)知,若獨立，則相關(guān)系數(shù)問題1:若相關(guān)系數(shù)則是否相互獨立?由定理4(2)知,問題2:這里的a=?,b=?.當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b,使得例11設(shè)隨機變量服從上的均勻分布,設(shè)（書例13）討論隨機變量與的相關(guān)系數(shù)及獨立性.解隨機變量的密度函數(shù)為于是例11設(shè)隨機變量服從上的均勻分布,設(shè)（書例13）討論隨機變量與的相關(guān)系數(shù)及獨立性.從而有而由知與不獨立.解隨機變量的密度函數(shù)為若獨立，則有反之,時,不一定獨立.上例說明:與有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，（1）若獨立，則（2）定理4對給定的二維隨機變量，r為的相關(guān)系數(shù)，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)間有嚴(yán)格線性關(guān)系時則成立達到.即當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b,使得由定理4(1)知,若獨立，則相關(guān)系數(shù)問題1:若相關(guān)系數(shù)則是否相互獨立?由定理4(2)知,問題2:這里的a=?,b=?.當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b,使得若獨立，則有反之,時,不一定獨立.４.相關(guān)系數(shù)的意義不相關(guān)若相關(guān)系數(shù)則稱不相關(guān).不相關(guān)與相互獨立的關(guān)系:相互獨立不相關(guān)5、二維正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù):從而相關(guān)系數(shù)于是其聯(lián)合密度函數(shù)為解例則相互獨立當(dāng)且僅當(dāng)由5.3節(jié)例10，知于是，我們又有則相互獨立當(dāng)且僅當(dāng)不相關(guān)．獨立一定不相關(guān),不相關(guān)不一定獨立.通過以上討論,我們得到如下結(jié)論:但如果服從二維正態(tài)分布,則相互獨立與不相關(guān)等價．三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（續(xù)）定理5若是二維隨機變量，則（1）（2）推論2若是兩兩獨立的隨機變量，則有推論1若隨機變量,則有相互獨立(不相關(guān))三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（續(xù)）定理5若是二維隨機變量，則（1）（2）證明(1)由協(xié)方差定義,有(2)由方差定義,有移項即得.證畢.四.協(xié)方差的性質(zhì)（續(xù)）

（自證）解例2（5-27）(1)不相關(guān)與相互獨立的關(guān)系小結(jié)相互獨立不相關(guān)(2)不相關(guān)的充要條件例12設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度為(書例14)試求數(shù)學(xué)期望，方差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)r,并求．解例12設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度為（書例14）試求數(shù)學(xué)期望，方差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)r,并求．例12設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度為（書例14）試求數(shù)學(xué)期望，方差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)r,并求．完例12設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度為（書例14）試求數(shù)學(xué)期望，方差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)r,并求．5-25，5-27第五節(jié)二維隨機變量函數(shù)的概率分布5.5.1和的分布5.5.2商的分布5.5.1和的分布一、離散型隨機變量設(shè)二維離散型隨機變量的聯(lián)合概率分布為考慮的分布律.若相互獨立,則有此時于是例1概率解等價于概率例2設(shè)兩個獨立的隨機變量X與Y的分布律為求隨機變量Z=X+Y的分布律.得因為X與Y相互獨立,所以解可得所以例13已知相互獨立，分別服從參數(shù)為及的泊松分布，（書例16）試求的分布律。即解即服從參數(shù)為的泊松分布。由有結(jié)論:若相互獨立,且推廣二、連續(xù)型隨機變量設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為求的密度函數(shù).思路:先求分布函數(shù),再求密度函數(shù).從而由分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系得下面考慮特殊情形:由分布函數(shù)的定義,有即有若進一步有相互獨立,令下面考慮特殊情形:此時卷積:

稱為函數(shù)與的卷積或摺積.記為即卷積性質(zhì):獨立隨機變量之和的概率密度是各概率密度的卷積,即結(jié)論:(類似可得到)例14已知獨立且同服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即（書例17）試求的分布律。解依公式,有即有由已知結(jié)論:若且相互獨立,則進一步推廣:推廣:若且相互獨立,則則例15已知相互獨立，均服從正態(tài)分布又（書例18）其中a,b是常數(shù).(1)求的相關(guān)系數(shù);(2)問是否相關(guān),是否獨立;(3)當(dāng)獨立時,求的聯(lián)合密度函數(shù).解(1)由已知,有于