高考數(shù)學(xué)第19煉 利用函數(shù)證明數(shù)列不等式

19利利用函數(shù)證明不等式是在高考導(dǎo)數(shù)題中比較考驗(yàn)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力面以函數(shù)為背景讓學(xué)生探尋函數(shù)的性質(zhì)一方面體現(xiàn)數(shù)列是特殊的函數(shù)而用恒成立的不等式將沒有規(guī)律的數(shù)列放縮為為有具體特征的數(shù)列謂一題多考巧地將函數(shù)數(shù)，不等式連接在一起，也是近年來高考的熱門題型。一、基礎(chǔ)知識(shí)：、考察類型：利用放縮通項(xiàng)公式解決數(shù)列求和中的不等問題利用遞推公式處理通項(xiàng)公式中的不等問題、恒成立不等式的來源：函數(shù)的最值：在前面的章節(jié)中我們提到過最值的一個(gè)作用就是提供恒成立的不等式。恒成立問題的求解：此類題目往往會(huì)在前幾問中進(jìn)行鋪墊，暗示數(shù)列放縮的方向。其中，有關(guān)恒成立問題的求解，參數(shù)范圍內(nèi)的值均可提供恒成立不等式、常見恒成立不等式：（1

ln

對(duì)數(shù)→多項(xiàng)式（）

x

指數(shù)→多項(xiàng)式、關(guān)于前項(xiàng)的放縮問題：求數(shù)列前項(xiàng)式往往要通過數(shù)列的通項(xiàng)公式來解決，高中階段求和的方法有以下幾種：（1倒序相加：通項(xiàng)公式具備第

項(xiàng)與第

項(xiàng)的和為常數(shù)的特點(diǎn)（）錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公為“等

等比”的形式（例如

an

n

，求和可用錯(cuò)位相減）等比數(shù)列求和公式裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可裂為兩項(xiàng)作差的形式，裂開的某項(xiàng)能夠與后面項(xiàng)裂開的某項(xiàng)進(jìn)行相消。注放法處理數(shù)列求和不等時(shí)縮為等比數(shù)列和能夠裂項(xiàng)相消的數(shù)列的情況比較多見，故優(yōu)先考慮。大體思路：對(duì)于數(shù)列求和不等式，要謹(jǐn)記“求和看通項(xiàng)公入手，結(jié)合不等號(hào)方向考慮放縮成可求和的通項(xiàng)公式。在放縮時(shí)要注意前幾問的鋪墊與提示，尤其是關(guān)于恒成立問題與最值問題所帶來的恒成立不等式，往往提供了放縮數(shù)列的方向12nn12nn放縮通項(xiàng)公式有可能會(huì)進(jìn)行多次，要注意放縮的方向：朝著可求和的通項(xiàng)公式進(jìn)行靠攏（等比數(shù)列，裂項(xiàng)相消等）數(shù)列不等式也可考慮利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明（有時(shí)更容易發(fā)現(xiàn)所證不等式與題目條件的聯(lián)系）二、典型例題：例1：已知數(shù)

f

在

x0

處取得極值求實(shí)數(shù)的證：于意正數(shù)n，等式2

349n

都立解）

f

'

fxf'

1a

1（思一想所證不等式與目所給函數(shù)的聯(lián)系發(fā)現(xiàn)在

f

2

中，存在對(duì)數(shù)，且左邊數(shù)列的通項(xiàng)公n

2n

2

也具備

f

項(xiàng)的特征，所以考慮分析

與

x

的大小關(guān)系，然后與數(shù)列進(jìn)行聯(lián)系。解：下面求

f

2

的單調(diào)區(qū)間f

'

x

xxx

,令

f

'

g'

f

f

即ln

2

（每一個(gè)函數(shù)的最值都會(huì)為我們提供一個(gè)恒成立的不等式，不用白不用！觀察剛好與所證不等式不等號(hào)方向一致）令

x

1n

，則

即lnn

ln

2ln12

ln

nn4

nn2n2n2即

2

349

nn

ln(小煉有話說：（）不等式實(shí)質(zhì)是兩組數(shù)列求和后的大小關(guān)系an

nn,lnn2

過應(yīng)項(xiàng)的大小關(guān)系決定求和式子的大小。此題在比較項(xiàng)的大小時(shí)關(guān)鍵是利用一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)的最值而個(gè)函數(shù)往往由題目所給另外有兩點(diǎn)注意①注函數(shù)最值所產(chǎn)生的恒成立不等式②注意不等號(hào)的方向應(yīng)該與所證不等式同向（）決問題后便明白所證不等式為何右邊只有一個(gè)對(duì)數(shù)，其實(shí)也是在作和，只是作和時(shí)對(duì)數(shù)合并成一項(xiàng)（與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和真數(shù)的特點(diǎn)相關(guān)今后遇到類似問題可猜想對(duì)數(shù)是經(jīng)歷怎樣的過程化簡(jiǎn)來的，這往往就是思路的突破點(diǎn)思路二發(fā)不等式兩邊均有含n的表達(dá)式且一側(cè)作和所以考慮利用數(shù)學(xué)歸法給予證明：解：用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)

時(shí)，不等式為

2

成立②假

時(shí)，不等式成立（即

2

349

kk

ln(k

）當(dāng)

時(shí)，若要證

kkk2

344

kk2

ln(k只證ln(

lnln1

1

（下同思路一：分析

f

ln

2

）令

x

1k

，由恒成立不等式

ln

2

可得

11即所證不等式成立③

N

，均有

2

349

nn

ln(小煉有話說：利用數(shù)學(xué)歸納法證明要注意兩點(diǎn)）格式的書寫（）利用設(shè)的條件

所假22例2：已知數(shù)

f（）

a

14

時(shí)，求函數(shù)

f

的單調(diào)區(qū)間（當(dāng)

f(x)

圖像上的點(diǎn)都在

xy

所表示的平面區(qū)域內(nèi)求實(shí)數(shù)

a

的取值范圍（）求：

21112

nn

（其

N是然數(shù)底）解）解法，求出單調(diào)區(qū)找最值f

14

x2ln

1xxxx2x2x

,令

f

'

求出單調(diào)區(qū)間如下：f

'

f（）：函數(shù)

f(x)

圖像上的點(diǎn)都在

xy

區(qū)域內(nèi)，條件等價(jià)于

0,

,

ax

2

ln

恒成立，即

ax

2

ln

令

2

2axxxxx令

'

a即2①a，g

1lnln

不符合題意（此時(shí)發(fā)現(xiàn)單調(diào)性并不能直接舍掉

a

的情況可估計(jì)函數(shù)值的趨勢(shì)

恒為正

早晚會(huì)隨著

值的變大而為正數(shù)，所以必然不符合題意。在書寫時(shí)可構(gòu)造反例來說明，此題只需22212221

0

即可，所以選擇

x

1a

）②

時(shí)，

a

即

'

0,

單調(diào)遞減g

，符合題意綜上所述：

（路所不等式

21112

nn

，左邊連乘，右邊是，可以想到利用兩邊取對(duì)數(shù)“化積為和時(shí)用第二問的結(jié)論。第二問給我們提供了恒成立的等，a時(shí)，ln，則可與左邊的求和找到聯(lián)系。

2

a，即解：所證不等式等價(jià)于

lnln12

nln22n由（2）可得

ln

令x

2

，即nlnn

2

1=22

（左邊可看做是數(shù)列求和，利用結(jié)論將不等式左邊的項(xiàng)進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化成可求和的數(shù)列——裂項(xiàng)相消）ln

122

2

12

不等式得證小煉有話說：第二問中代數(shù)方法與數(shù)形結(jié)合方法的抉體為什么放棄線性規(guī)劃思路如將約束條件轉(zhuǎn)變?yōu)楹愠闪栴}對(duì)數(shù)運(yùn)算的特點(diǎn)：化積為和。題目中沒有關(guān)于乘積式的不等關(guān)系，于是決定變?yōu)楹褪剑ǎ┯蒙弦粏柕慕Y(jié)論放縮通項(xiàng)公式，將不可求和轉(zhuǎn)變?yōu)榭汕蠛?，進(jìn)而解決問題例3：已知數(shù)

f)

xx)x

(2x22x2（1當(dāng)

a

時(shí)，討論

xf（2當(dāng)時(shí)若()

恒成立，求滿足條件的正整數(shù)的值；（）證

2

52

解）

f

axxn

axx若

'

當(dāng)當(dāng)

時(shí)，時(shí)，

上單調(diào)遞增上單調(diào)遞減（2）思路：

f

xx不等式等價(jià)于，x

x

min而在第1）問中

即為

f

的分子，故考慮利用

來確定

f

的符號(hào)，進(jìn)而求出

f

及值解：

f

x

xlnx

，由（1）得

單調(diào)遞增

0,(4)

(盡無(wú)法

的g

，所以可估計(jì)零點(diǎn)的所在區(qū)間）

f

'

+fnnnnnf

x

min

lnbb2f

n（思路：由第（2）問

xxx

，所證不等式可兩邊同取對(duì)數(shù)“化積為和考利用結(jié)論進(jìn)行放縮解：所證不等式等價(jià)于：ln

52由第（2）問可得：

xx3lnxxx

2n

i

5lni=2nnn2n2即原不等式成立。（如果從第一項(xiàng)就進(jìn)行縮小，則

i

lni1

3n

，發(fā)現(xiàn)縮小過度但差距不大，所以進(jìn)行調(diào)整，第一項(xiàng)不變，其余放縮。這樣不僅減少縮小的尺度，同時(shí)不改變求和規(guī)律）小煉有話說：這道題是對(duì)書中幾篇文章所講技巧的一個(gè)綜合。所涉內(nèi)容如下：（）二問中對(duì)零點(diǎn)

x

的處理，參見：3.1.3最分析法（）三問中數(shù)列放縮后的調(diào)整值得注意，放縮的過程中有可能存在“放過頭”的情況，往往是由于前幾項(xiàng)放縮程度過大造成的（通常越，放縮的程度越小以考慮數(shù)列前幾項(xiàng)不進(jìn)行放縮，然后再看不等式能否成立，若一直都“過度”一點(diǎn)點(diǎn)，那么就要考慮是否另選放縮方案了。例：設(shè)函數(shù)

f

，其中

。:n222223n23n222223n23（）

時(shí)，討論函數(shù)

x)

在其定義域上的單調(diào)性；（2證明：對(duì)任意的正整數(shù)，不等式ln

k

1k3

都成立。解析：（）

f

x

x

2x2xxx

，令

f

'

即解不等式

x

2

①

時(shí)方程

xx

的兩根

x1

11,22

，

x21f

的單調(diào)區(qū)間為：1aa,f

'

f②

a

時(shí)，

x

2

恒立

單調(diào)遞增（）慮

a

時(shí)，則

f令

3

'

3x

3

x

在

恒成立

單調(diào)遞增

ln

，令

x

1n

111lnlnnnk11lnkkk

nnnn即：

lnk

1k3

例5：已知函數(shù)（）a的值

f(xxx)

的最小值為0，其中a。（）對(duì)任意的

x有f(x

2

成立，求實(shí)數(shù)的小值（）明

i

2i

ln(22(*解）

f

'

x

1xxx

,定義域

令

f

'

解得

x

，

的單調(diào)區(qū)間為：f'

f

ff

（）k0時(shí)取，f2，k0不題。當(dāng)0時(shí)令x)f()kx

2

，即

()kx

2

。g

xkx))xx

，令

，得

x1

kk

當(dāng)

k

11時(shí)，2k

0,g

在

(0,

上恒成立因此

(x

在

[0,

上單調(diào)遞減，對(duì)于任意的x

，總有

()g(0)0，fx)

2

在

[0,

上恒成立。故

k

符合題意。當(dāng)

0k

1時(shí)，2k

0k1kx(0,)，，(x)在(0,)kk

內(nèi)單調(diào)遞增，取

x(0,

kk

)

時(shí)，

)g00

，即

f(x)0

20

不成立。nnnnnnnnnn故

0

不合題意

k

綜上，

的最小值為

。（）第2）問可得：當(dāng)2x令i

k

11時(shí)，不等式xlnx22

恒成立

22iln22i

22

1ii

iN

i11ln1ii3in2nilnln3即2iiii

1122

即

i

2i

ln(22(

*

)例6：已知數(shù)

f(xlnxxax（1求

f()

的最大值；（）明等：

。解）

f

'

1x

，令

f'

，

f

單調(diào)區(qū)間如下：ff

y

（）思路：左邊可看做數(shù)列求和，其通項(xiàng)公式為

i

n

，無(wú)法直接求和，所以考慮利用條件進(jìn)行放縮，右邊是分式，可以猜想是等比數(shù)列求和后的結(jié)果，所以將

i

放縮為等比數(shù)列模型。由（1）可得

lnxlnxx

，令

x

in

進(jìn)行嘗試解：由（）可得

lnxxlnxniinniin令

x

iiii，即lnnnnnln（尋n方的來源）

i

12

n=

e1e

ee

不等式得證小煉有話說：此題的第（3）問數(shù)列通項(xiàng)公式放縮為等比數(shù)列求和，如果不等式的一側(cè)是一個(gè)分?jǐn)?shù)，則可向等比數(shù)列求和的結(jié)果考慮（猜想公比與首項(xiàng)例7：函數(shù)

f()sinx

.（）

f()ax

在

a

的取值范圍；（）明

f

2(32()()()n2n2nn

（解成不等式等價(jià)于x

令

g

(：在

中這三個(gè)自變量的函數(shù)值最便于計(jì)算，進(jìn)而選擇代入）axcossinx

可視為關(guān)于

a

的一次函數(shù)且遞增令h

x

2

xsinx

則對(duì)

2

,

g

恒成立。

若要

g

，只需

h

，下面進(jìn)行證明：

h

,只需證

2

xcosxsinx

即可h

2

xx

考慮

x

時(shí)，

xcos1,4

從而

h

2

xx

2

（注導(dǎo)數(shù)無(wú)法求出極值點(diǎn)故引入抽象的極值點(diǎn),0sin22n4n20sin22n4n2但要利用零點(diǎn)存在性定理估計(jì)x所在區(qū)間）h'h

2x,xx'x4

,使得

'

0且當(dāng)

0

0

單調(diào)遞減，在

0

單調(diào)遞增

恒成立g

,進(jìn)而對(duì)每一個(gè)

a

2

均滿足

a

2（思將邊視為數(shù)列求和通項(xiàng)公式為

af(

k2n

)

(意左邊是

項(xiàng)求和考慮利用前面條件對(duì)通項(xiàng)公式放縮

a

2

則

2

xx

恒成立但如果直接進(jìn)行代入，不等號(hào)右邊的

osx

無(wú)法處理，進(jìn)而無(wú)法與所證不等式的右邊找到聯(lián)系。考慮將

cosx

挪至左側(cè)并與

sinx

合角而將三角函數(shù)放縮為多項(xiàng)式根求和特點(diǎn)進(jìn)行求和解：由（）可得：

sin

2

xxsin

2

x22sinxsinxx44令

x

4k4可得

f

kk

2k2n2

2242(為

asink

為sinn4

令x

4

k

，反求可）

f(

()f()f(2nn

)

n

2ffn

2n2

n

f

2(=4(22(32()f)()n2n2nn小煉有話說：（關(guān)本題第二問恒成立的具體可參見3.3.3有關(guān)容明需要極值點(diǎn)而無(wú)法直接求出時(shí)可先用抽象的

x0

代替，但要確定好

x0

所處的大概區(qū)間（三問對(duì)第二問的結(jié)論稍加變將

cosx

與

sinx

進(jìn)行合角不是直接代入

f

)的應(yīng)用是本題的一大亮點(diǎn)方程等式的變形目的是將條件與結(jié)論能夠連接起來以構(gòu)造時(shí)要關(guān)注所求不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。（）第問不等式的左邊有兩細(xì)節(jié)：第一個(gè)是左邊求和的項(xiàng)數(shù)是

項(xiàng)，第二個(gè)在f(

n2n

)

中，同一個(gè)

n

所代表的含義不同。分母每一項(xiàng)都是

,

n

與項(xiàng)數(shù)相關(guān)。給定一個(gè)數(shù)項(xiàng)的分母就固定了而分子的代的是序數(shù)可現(xiàn)數(shù)列中分子是在不斷變化的，從1變n,在f(

n2

)

，同一個(gè)在子分母中扮演的角色不同。所以在寫通項(xiàng)公式時(shí)，引入了字母

用來區(qū)分序數(shù)與項(xiàng)數(shù)。例8

f

在

上為增函數(shù)

f

次比增函數(shù)

k

，已知

f

:（）

a

時(shí)，求函數(shù)

g在,m

上的最小值（）證

1

1

123

n

1

72解：（）

12

x

'

xe

1x22

2x2

x令

'

解e2e2xxxx1232e2e2xxxx1232

單調(diào)遞減，在

①

m2

時(shí)，

min

g

m2②

1m2，min

e2③

m

，

min

綜上所述：

gmin

,mm,1m2+1,（2由第）問可得：

1ee2，即2所求和的通項(xiàng)公式為

，由

可得：x

x

x2xe

1xe

x

，令

x

，可得：

21n2en

1

11ee

n

1

111+2e2

1n2

123

1e423

12

334

1

1771e2ne42,2e2222,1e1e,2e2222,1e1e例9：已知函數(shù)

f

lnx（）

數(shù)

在區(qū)間

上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（）記

Fn

ln

2n

,n2

Fn

*

，對(duì)意整

，

S

n

n

4n

對(duì)意

xD

恒立則

n

在

xD

上“效的試斷

n

x

e,e

2

上“效的若，給證，不，說理由解）

g

，

即

m

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)

y

x

與

m

交點(diǎn)的個(gè)數(shù)設(shè)

h

x

，

'

x2

，令

h

解得

單調(diào)區(qū)間如下：

'

hhh

4e

，草圖如下：0或m時(shí)，g

無(wú)零點(diǎn)0

或

4e

，

一個(gè)零點(diǎn)0m

4e2

，

兩個(gè)零點(diǎn),1e2,1e2（思路觀到

Fn

x

ln

2

結(jié)構(gòu)上（2中的

很相似

實(shí)質(zhì)上是

Fn

Fn

Fn

，故考慮對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行放縮使得求和具有規(guī)律性

的特點(diǎn)

Fn

可寫成

Fn

xln2（將2nx

視為整體用

單調(diào)性進(jìn)行放縮解：

h

單調(diào)區(qū)間如下：h

'

xe

2

ne

4e2n

ln3

x2nxn2n

（2放縮為

4

1n2

而

1n2

可放縮為能夠裂項(xiàng)求和的式子Fn

14n2nnS

F

4

+

114=4npnn

上是“高效”的小煉有話說：（）題中的第（）對(duì)第（）問的函數(shù)構(gòu)造提供了方便，對(duì)于證明數(shù)列不等式，同學(xué)要善于利用前面問題的條件與結(jié)論（）（）的關(guān)鍵之處在于找

Fn

的聯(lián)系，以及通過不等關(guān)系消

（）和時(shí)通項(xiàng)公式放縮的方向?yàn)闃?gòu)造具備裂項(xiàng)求和的數(shù)列，其中

1n

的放縮技巧如下：1212211an222nnn21212211an222nnn21nn

而左右兩邊均可裂項(xiàng)求和例10已函數(shù)

f（1若

f函數(shù)，求p的范圍（）

a1

n

14

，證：n

時(shí)an

解）f

'

f為減函