《線性代數(shù)》復習

《線性代數(shù)》總復習2011.10第一章矩陣m×n個數(shù)構成的m行n列的數(shù)表加法：A+B=(aij+bij),A、B是同型矩陣

A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C),A+O=A,A+(A)=O,數(shù)乘：kA=k(aij)

k(lA)=(kl)A,

(k+l)A=kA+lA,

k(A+B)=kA+kBcij=aikbkj.k=1s矩陣乘法：AB=C，其中C是m×n矩陣.(AB)C=A(BC),A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(kA)B=k(AB).第一章矩陣矩陣矩陣概念矩陣運算伴隨矩陣逆矩陣特殊矩陣矩陣的秩初等變換轉置：A=(aij),AT=(aji)方陣的行列式：(AT)T=A,(kA)T=kAT,(A+B)T=AT+BT,(AB)T=BTAT.設A=[aij]nn為方陣,元素aij的代數(shù)余子式為Aij,則稱如下矩陣為方陣A的伴隨矩陣.第一章矩陣矩陣矩陣概念矩陣運算伴隨矩陣逆矩陣特殊矩陣矩陣的秩初等變換定義:

設A為方陣,若存在方陣B,使得

AB=BA=E.

則稱A可逆,并稱B為A的逆矩陣.

注意：A可逆detA≠0(A1)1=A.

(AT)1=(A1)T.

(kA)1=k1A1.

(AB)1=B1A1.

運算性質(zhì)逆陣的求法:定義法用伴隨矩陣用初等行變換(AE)→(EA-1)逆陣的證法:A≠0，R(A)=n,反證法第一章矩陣矩陣矩陣概念矩陣運算伴隨矩陣逆矩陣特殊矩陣矩陣的秩初等變換單位矩陣對角矩陣初等矩陣對稱矩陣定義：非0子式的最高階數(shù)求法：初等變換或定義法性質(zhì)：經(jīng)初等變換矩陣的秩不變幾種常用的初等變換及對應的初等矩陣行階梯矩陣、行最簡型、標準型第一章矩陣矩陣矩陣概念矩陣運算伴隨矩陣逆矩陣特殊矩陣矩陣的秩初等變換其它幾個重要定理及結論：矩陣等價：若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換化為B,則稱A與B等價.記為A

B.（注意與相似、合同區(qū)別）A與B等價R(A)=R(B)定理.方陣A可逆的充要條件是A可寫成有限個初等矩陣的乘積.推論1.

方陣A可逆的充要條件是A與單位矩陣行等價。推論2.

m×n階矩陣A與B等價的充要條件是存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B。與等價有關的重要定理定理.

對mn矩陣A進行一次初等行變換相當于在A的左

邊乘以相應的初等矩陣;

對A施行一次初等列變換相當于在A的右邊乘以相應的初等矩陣.第一章矩陣解矩陣方程的初等變換法或者齊次線性方程組有非零解的充分條件化三角法遞推法數(shù)學歸納法降階展開法拆項法

…第一章矩陣行列式概念性質(zhì)展開式計算應用第二章n維向量第二章n維向量n維向量運算線性表示線性相關性k11+k22+…+knn=0

ki均為0，則1,2,…,n線性無關

只要有一個ki不為0，1,2,…,n

線性相關

極大線性無關組：向量組A中，能找到r個向量線性無關，任意r+1個線性相關，則這r個向量構成的向量組是A的一個最大線性無關組。求法：非零子式法、初等變換法極大無關組包含的向量的個數(shù)極大無關組向量組的秩向量組與矩陣的關系矩陣A=(1,2,…,s)

列向量組:1,2,…,s

注：行向量的問題與列向量相同矩陣A的秩R(A)向量組的秩RT

最高階非零子式最大線性無關組

第二章n維向量線性無關AE

A=P1…Ps

線性相關定義：向量內(nèi)積

對稱性:

[,]=[,];(2)線性性:

[k11+k22,]=k1[1,]+k2[2,];(3)[,]0;且[,]=0=0.(4)|[,]|[,][,].性質(zhì)：正交：施密特(Schmidt)正交化方法若[,]=0,則稱與正交.第二章n維向量正交矩陣A為正交矩陣ATA=E

線性方程組Ax=bb=0?齊次方程組是否非齊次方程組行階梯形矩陣初等行變換R(A)nR(A)＝R(Ab)解的結構基礎解系有無非零解有解判定第三章線性方程組第三章線性方程組1.解的判定

(1)齊次線性方程組有非零解的充要條件定理3.1.

Amn

x=0有非零解r(A)<n.

A的列向量組1,2,…,n

線性相關特殊,Ann

x=0有非零解|A|=0.

(2)非齊次線性方程組有解的充要條件定理3.4.設ARmn,bRm,則

(3)當秩([A,b])=秩(A)<n時,Ax=b有無窮解,且通解中含有n秩(A)

個自由未知量.(1)Ax=b有解(2)當秩([A,b])=秩(A)=n時,Ax=b有唯一解;秩([A,b])=秩(A);2.解的結構

(1)齊次線性方程組的基礎解系及通解若1,2,…,s是Ax

=0的一個基礎解系,則應該滿足三條:

(2)非齊次線性方程組解的結構及一般解。(a)1,2,…,s是Ax

=0的解向量;

(b)1,2,…,s是線性無關的；

(c)Ax=0的每個解都可以由

1,2,…,s線性表示。Ax=b的一般解為

x=+k11

+…+knr

nr

.

(E–A)=0基礎解系法第四章方陣的特征值和特征向量第四章方陣的特征值和特征向量特征值與特征向量A=，≠0

定義求法性質(zhì)相似矩陣實對稱陣特征值特征向量定義法特征方程|E–A|=0定義法1+…+n=tr(A).1…n=|A|.A

可逆1,…,n全不為零.|E–A|=|E–AT|.概念求法性質(zhì)相似矩陣實對稱陣特征值與特征向量矩陣相似，則其特征值相同。不同特征值的特征向量線性無關。k重特征值至多有k個線性無關的特征向量。A有n個線性無關的特征向量P-1AP=BA有n個不同的特征值A是實對稱陣定義矩陣可對角化的條件應用An=P-1nP第四章方陣的特征值和特征向量概念求法性質(zhì)相似矩陣實對稱陣的特性特征值與特征向量必可相似對角化不同特征值的特征向量互相正交特征值全是實數(shù)k重特征值必有k個線性無關的特征向量與對角陣合同第四章方陣的特征值和特征向量矩陣等價、相似、合同的聯(lián)系與區(qū)別A,B∈Mn,

A與B相似

存在可逆矩陣P，使P-1AP=BA與B合同

存在可逆矩陣C，使CTAC=BA,B∈Mm×n,

A與B等價

存在m階可逆矩陣P，n階可逆矩陣Q，使PAQ=B共同的性質(zhì)：自反性、對稱性、傳遞性第四章方陣的特征值和特征向量實對稱陣對角化的步驟求A全部特征值根據(jù)（所有特征值的重根次數(shù)之和等于n）對每個ki重特征值i求方程(A-iE)x=0的基礎解系得出對應于特征值i的ki個線性無關的特征向量將對應于特征值i的ki個線性無關的特征向量正交、單位化（總共可以得到n個兩兩正交的單位特征向量）將n個兩兩正交的單位特征向量構成正交陣P，即可滿足P-1AP=(注意順序)。求方陣特征值和特征向量的步驟計算|E–A|

求|E–A|=0的根求(E–A)x=0的基礎解系第四章方陣的特征值和特征向量第五章二次型二次型基本概念標準型化正定二次型第五章二次型定義：含有n個變量x1,x2,…,xn的二次