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2023年中考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.如圖:已知AB⊥BC,垂足為B,AB=3.5,點(diǎn)P是射線BC上的動(dòng)點(diǎn),則線段AP的長(zhǎng)不可能是()A.3 B.3.5 C.4 D.52.某小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí),統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率,繪制了如圖的折線圖,則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是()A.在“石頭、剪刀、布”的游戲中,小明隨機(jī)出的是“剪刀”B.?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子,向上一面的點(diǎn)數(shù)是4C.一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后,從中任抽一張牌,抽中紅桃D.拋擲一枚均勻的硬幣,前2次都正面朝上,第3次正面仍朝上3.如圖,圓弧形拱橋的跨徑米,拱高米,則拱橋的半徑為()米A. B. C. D.4.如圖,的三邊的長(zhǎng)分別為20,30,40,點(diǎn)O是三條角平分線的交點(diǎn),則等于()A.1∶1∶1 B.1∶2∶3 C.2∶3∶4 D.3∶4∶55.下列運(yùn)算正確的是()A.(a2)4=a6 B.a(chǎn)2?a3=a6 C. D.6.小蘇和小林在如圖①所示的跑道上進(jìn)行米折返跑.在整個(gè)過程中,跑步者距起跑線的距離(單位:)與跑步時(shí)間(單位:)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖②所示.下列敘述正確的是().A.兩人從起跑線同時(shí)出發(fā),同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)B.小蘇跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C.小蘇前跑過的路程大于小林前跑過的路程D.小林在跑最后的過程中,與小蘇相遇2次7.如圖1,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3,分別以頂點(diǎn)B、A、C為圓心,BA長(zhǎng)為半徑作弧AC、弧CB、弧BA,我們把這三條弧所組成的圖形稱作萊洛三角形,顯然萊洛三角形仍然是軸對(duì)稱圖形.設(shè)點(diǎn)I為對(duì)稱軸的交點(diǎn),如圖2,將這個(gè)圖形的頂點(diǎn)A與等邊△DEF的頂點(diǎn)D重合,且AB⊥DE,DE=2π,將它沿等邊△DEF的邊作無滑動(dòng)的滾動(dòng),當(dāng)它第一次回到起始位置時(shí),這個(gè)圖形在運(yùn)動(dòng)中掃過區(qū)域面積是()A.18π B.27π C.π D.45π8.已知:如圖,在正方形ABCD外取一點(diǎn)E,連接AE、BE、DE,過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P,若AE=AP=1,PB=.下列結(jié)論:①△APD≌△AEB;②點(diǎn)B到直線AE的距離為;③EB⊥ED;④S△APD+S△APB=1+;⑤S正方形ABCD=4+.其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①③④ B.①②⑤ C.③④⑤ D.①③⑤9.已知,,且,則的值為()A.2或12 B.2或 C.或12 D.或10.2017年5月5日國(guó)產(chǎn)大型客機(jī)C919首飛成功,圓了中國(guó)人的“大飛機(jī)夢(mèng)”,它顏值高性能好,全長(zhǎng)近39米,最大載客人數(shù)168人,最大航程約5550公里.?dāng)?shù)字5550用科學(xué)記數(shù)法表示為()A.0.555×104 B.5.55×103 C.5.55×104 D.55.5×10311.如圖,在中,分別在邊邊上,已知,則的值為()A. B. C. D.12.甲、乙兩人在直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步500m,先到終點(diǎn)的人原地休息.已知甲先出發(fā)2s.在跑步過程中,甲、乙兩人的距離y(m)與乙出發(fā)的時(shí)間t(s)之間的關(guān)系如圖所示,給出以下結(jié)論:①a=8;②b=92;③c=1.其中正確的是()A.①②③ B.僅有①② C.僅有①③ D.僅有②③二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13.如圖,在正五邊形ABCDE中,AC與BE相交于點(diǎn)F,則∠AFE的度數(shù)為_____.14.分解因式:2x3﹣4x2+2x=_____.15.如圖,在△ABC中,P,Q分別為AB,AC的中點(diǎn).若S△APQ=1,則S四邊形PBCQ=__.16.在形狀為等腰三角形、圓、矩形、菱形、直角梯形的5張紙片中隨機(jī)抽取一張,抽到中心對(duì)稱圖形的概率是________.17.如圖,矩形ABCD中,AD=5,∠CAB=30°,點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是線段CD上的動(dòng)點(diǎn),則AQ+QP的最小值是___________.18.某校園學(xué)子餐廳把WIFI密碼做成了數(shù)學(xué)題,小亮在餐廳就餐時(shí),思索了一會(huì),輸入密碼,順利地連接到了學(xué)子餐廳的網(wǎng)絡(luò),那么他輸入的密碼是______.三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.(6分)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作⊙O的切線DE交AC于點(diǎn)E,交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證:BD=CD;(2)求證:DC2=CE?AC;(3)當(dāng)AC=5,BC=6時(shí),求DF的長(zhǎng).20.(6分)將如圖所示的牌面數(shù)字分別是1,2,3,4的四張撲克牌背面朝上,洗勻后放在桌面上.從中隨機(jī)抽出一張牌,牌面數(shù)字是偶數(shù)的概率是_____;先從中隨機(jī)抽出一張牌,將牌面數(shù)字作為十位上的數(shù)字,然后將該牌放回并重新洗勻,再隨機(jī)抽取一張,將牌面數(shù)字作為個(gè)位上的數(shù)字,請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求組成的兩位數(shù)恰好是4的倍數(shù)的概率.21.(6分)在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A(﹣4,0),B(1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;(2)連接AC、BC,判斷△ABC的形狀,并證明;(3)若點(diǎn)P為二次函數(shù)對(duì)稱軸上點(diǎn),求出使△PBC周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo).22.(8分)小強(qiáng)想知道湖中兩個(gè)小亭A、B之間的距離,他在與小亭A、B位于同一水平面且東西走向的湖邊小道I上某一觀測(cè)點(diǎn)M處,測(cè)得亭A在點(diǎn)M的北偏東30°,亭B在點(diǎn)M的北偏東60°,當(dāng)小明由點(diǎn)M沿小道I向東走60米時(shí),到達(dá)點(diǎn)N處,此時(shí)測(cè)得亭A恰好位于點(diǎn)N的正北方向,繼續(xù)向東走30米時(shí)到達(dá)點(diǎn)Q處,此時(shí)亭B恰好位于點(diǎn)Q的正北方向,根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù),請(qǐng)你幫助小強(qiáng)計(jì)算湖中兩個(gè)小亭A、B之間的距離.23.(8分)平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖),拋物線y=﹣x2+2mx+3m2(m>0)與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸為直線l,過點(diǎn)C作直線l的垂線,垂足為點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)DC、BC.(1)當(dāng)點(diǎn)C(0,3)時(shí),①求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo);②求證:∠DCE=∠BCE;(2)當(dāng)CB平分∠DCO時(shí),求m的值.24.(10分)關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根.求的取值范圍;如果是符合條件的最大整數(shù),且一元二次方程與方程有一個(gè)相同的根,求此時(shí)的值.25.(10分)已知關(guān)于x的一元二次方程.求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;如果方程的兩實(shí)根為,,且,求m的值.26.(12分)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F,使EF=2DE.(1)求證:四邊形BCFE是平行四邊形;(2)當(dāng)∠ACB=60°時(shí),求證:四邊形BCFE是菱形.27.(12分)如圖,將平行四邊形ABCD紙片沿EF折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,點(diǎn)D落在點(diǎn)G處.(1)連接CF,求證:四邊形AECF是菱形;(2)若E為BC中點(diǎn),BC=26,tan∠B=,求EF的長(zhǎng).
參考答案一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1、A【解析】
根據(jù)直線外一點(diǎn)和直線上點(diǎn)的連線中,垂線段最短的性質(zhì),可得答案.【詳解】解:由AB⊥BC,垂足為B,AB=3.5,點(diǎn)P是射線BC上的動(dòng)點(diǎn),得AP≥AB,AP≥3.5,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查垂線段最短的性質(zhì),解題關(guān)鍵是利用垂線段的性質(zhì).2、B【解析】
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知,試驗(yàn)結(jié)果在0.17附近波動(dòng),即其概率P≈0.17,計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)的概率,約為0.17者即為正確答案.【詳解】解:在“石頭、剪刀、布”的游戲中,小明隨機(jī)出剪刀的概率是,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤,擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子,向上一面的點(diǎn)數(shù)是4的概率是≈0.17,故B選項(xiàng)正確,一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后,從中任抽一張牌,抽中紅桃得概率是,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤,拋擲一枚均勻的硬幣,前2次都正面朝上,第3次正面仍朝上的概率是,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤,故選B.【點(diǎn)睛】此題考查了利用頻率估計(jì)概率,大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.頻率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.熟練掌握概率公式是解題關(guān)鍵.3、A【解析】試題分析:根據(jù)垂徑定理的推論,知此圓的圓心在CD所在的直線上,設(shè)圓心是O.連接OA.根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解.得AD=6設(shè)圓的半徑是r,根據(jù)勾股定理,得r2=36+(r﹣4)2,解得r=6.5考點(diǎn):垂徑定理的應(yīng)用.4、C【解析】
作OF⊥AB于F,OE⊥AC于E,OD⊥BC于D,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OD=OE=OF,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】作OF⊥AB于F,OE⊥AC于E,OD⊥BC于D,
∵三條角平分線交于點(diǎn)O,OF⊥AB,OE⊥AC,OD⊥BC,
∴OD=OE=OF,
∴S△ABO:S△BCO:S△CAO=AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4,
故選C.【點(diǎn)睛】考查的是角平分線的性質(zhì),掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.5、C【解析】
根據(jù)冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法計(jì)算即可.【詳解】A、原式=a8,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、原式=a5,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、原式=,所以C選項(xiàng)正確;D、與不能合并,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法,熟練掌握它們的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.6、D【解析】
A.由圖可看出小林先到終點(diǎn),A錯(cuò)誤;B.全程路程一樣,小林用時(shí)短,所以小林的平均速度大于小蘇的平均速度,B錯(cuò)誤;C.第15秒時(shí),小蘇距離起點(diǎn)較遠(yuǎn),兩人都在返回起點(diǎn)的過程中,據(jù)此可判斷小林跑的路程大于小蘇跑的路程,C錯(cuò)誤;D.由圖知兩條線的交點(diǎn)是兩人相遇的點(diǎn),所以是相遇了兩次,正確.故選D.7、B【解析】
先判斷出萊洛三角形等邊△DEF繞一周掃過的面積如圖所示,利用矩形的面積和扇形的面積之和即可.【詳解】如圖1中,∵等邊△DEF的邊長(zhǎng)為2π,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3,∴S矩形AGHF=2π×3=6π,由題意知,AB⊥DE,AG⊥AF,
∴∠BAG=120°,∴S扇形BAG==3π,∴圖形在運(yùn)動(dòng)過程中所掃過的區(qū)域的面積為3(S矩形AGHF+S扇形BAG)=3(6π+3π)=27π;故選B.【點(diǎn)睛】本題考查軌跡,弧長(zhǎng)公式,萊洛三角形的周長(zhǎng),矩形,扇形面積公式,解題的關(guān)鍵是判斷出萊洛三角形繞等邊△DEF掃過的圖形.8、D【解析】
①首先利用已知條件根據(jù)邊角邊可以證明△APD≌△AEB;
②由①可得∠BEP=90°,故BE不垂直于AE過點(diǎn)B作BF⊥AE延長(zhǎng)線于F,由①得∠AEB=135°所以∠EFB=45°,所以△EFB是等腰Rt△,故B到直線AE距離為BF=,故②是錯(cuò)誤的;
③利用全等三角形的性質(zhì)和對(duì)頂角相等即可判定③說法正確;
④由△APD≌△AEB,可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB,然后利用已知條件計(jì)算即可判定;
⑤連接BD,根據(jù)三角形的面積公式得到S△BPD=PD×BE=,所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+,由此即可判定.【詳解】由邊角邊定理易知△APD≌△AEB,故①正確;
由△APD≌△AEB得,∠AEP=∠APE=45°,從而∠APD=∠AEB=135°,
所以∠BEP=90°,
過B作BF⊥AE,交AE的延長(zhǎng)線于F,則BF的長(zhǎng)是點(diǎn)B到直線AE的距離,
在△AEP中,由勾股定理得PE=,
在△BEP中,PB=,PE=,由勾股定理得:BE=,
∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°,AE=AP,
∴∠AEP=45°,
∴∠BEF=180°-45°-90°=45°,
∴∠EBF=45°,
∴EF=BF,
在△EFB中,由勾股定理得:EF=BF=,
故②是錯(cuò)誤的;
因?yàn)椤鰽PD≌△AEB,所以∠ADP=∠ABE,而對(duì)頂角相等,所以③是正確的;
由△APD≌△AEB,
∴PD=BE=,
可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP=+,因此④是錯(cuò)誤的;
連接BD,則S△BPD=PD×BE=,
所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+,
所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+.
綜上可知,正確的有①③⑤.故選D.【點(diǎn)睛】考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形的面積及勾股定理,綜合性比較強(qiáng),解題時(shí)要求熟練掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)才能很好解決問題.9、D【解析】
根據(jù)=5,=7,得,因?yàn)?,則,則=5-7=-2或-5-7=-12.故選D.10、B【解析】
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時(shí),要看把原數(shù)變成a時(shí),小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>1時(shí),n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí),n是負(fù)數(shù).【詳解】解:5550=5.55×1.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù),表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.11、B【解析】
根據(jù)DE∥BC得到△ADE∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答.【詳解】解:∵,
∴,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴,
故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比是解題的關(guān)鍵.12、A【解析】
解:∵乙出發(fā)時(shí)甲行了2秒,相距8m,∴甲的速度為8/2=4m/s.∵100秒時(shí)乙開始休息.∴乙的速度是500/100=5m/s.∵a秒后甲乙相遇,∴a=8/(5-4)=8秒.因此①正確.∵100秒時(shí)乙到達(dá)終點(diǎn),甲走了4×(100+2)=408m,∴b=500-408=92m.因此②正確.∵甲走到終點(diǎn)一共需耗時(shí)500/4=125s,,∴c=125-2=1s.因此③正確.終上所述,①②③結(jié)論皆正確.故選A.二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13、72°【解析】
首先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到AB=BC=AE,∠ABC=∠BAE=108°,然后利用三角形內(nèi)角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=(180°?108°)÷2=36°,最后利用三角形的外角的性質(zhì)得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°.【詳解】∵五邊形ABCDE為正五邊形,∴AB=BC=AE,∠ABC=∠BAE=108°,∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=(180°?108°)÷2=36°,∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°,故答案為72°.【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓,利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵14、2x(x-1)2【解析】2x3﹣4x2+2x=15、1【解析】
根據(jù)三角形的中位線定理得到PQ=BC,得到相似比為,再根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方,可得到結(jié)果.【詳解】解:∵P,Q分別為AB,AC的中點(diǎn),∴PQ∥BC,PQ=BC,∴△APQ∽△ABC,∴=()2=,∵S△APQ=1,∴S△ABC=4,∴S四邊形PBCQ=S△ABC﹣S△APQ=1,故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì),三角形中位線定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),屬于中考??碱}型.16、【解析】
在形狀為等腰三角形、圓、矩形、菱形、直角梯形的5張紙片中,中心對(duì)稱圖案的卡片是圓、矩形、菱形,直接利用概率公式求解即可求得答案.【詳解】∵在:等腰三角形、圓、矩形、菱形和直角梯形中屬于中心對(duì)稱圖形的有:圓、矩形和菱形3種,∴從這5張紙片中隨機(jī)抽取一張,抽到中心對(duì)稱圖形的概率為:.故答案為.17、5【解析】
作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E,作EP⊥AC于P,交CD于點(diǎn)Q,此時(shí)QA+QP最短,由QA+QP=QE+PQ=PE可知,求出PE即可解決問題.【詳解】解:作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E,作EP⊥AC于P,交CD于點(diǎn)Q.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,∴DQ⊥AE,∵DE=AD,∴QE=QA,∴QA+QP=QE+QP=EP,∴此時(shí)QA+QP最短(垂線段最短),∵∠CAB=30°,∴∠DAC=60°,在Rt△APE中,∵∠APE=90°,AE=2AD=10,∴EP=AE?sin60°=10×=5.故答案為5.【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、最短問題、銳角三角函數(shù)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱以及垂線段最短找到點(diǎn)P、Q的位置,屬于中考常考題型.18、143549【解析】
根據(jù)題中密碼規(guī)律確定所求即可.【詳解】532=5×3×10000+5×2×100+5×(2+3)=151025924=9×2×10000+9×4×100+9×(2+4)=183654,863=8×6×10000+8×3×100+8×(3+6)=482472,∴725=7×2×10000+7×5×100+7×(2+5)=143549.故答案為:143549【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算,根據(jù)題意得出規(guī)律并熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19、(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)DF=.【解析】
(1)先判斷出AD⊥BC,即可得出結(jié)論;(2)先判斷出OD∥AC,進(jìn)而判斷出∠CED=∠ODE,判斷出△CDE∽△CAD,即可得出結(jié)論;(3)先求出OD,再求出CD=3,進(jìn)而求出CE,AE,DE,再判斷出,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)連接AD,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD;(2)連接OD,∵DE是⊙O的切線,∴∠ODE=90°,由(1)知,BD=CD,∵OA=OB,∴OD∥AC,∴∠CED=∠ODE=90°=∠ADC,∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CAD,∴,∴CD2=CE?AC;(3)∵AB=AC=5,由(1)知,∠ADB=90°,OA=OB,∴OD=AB=,由(1)知,CD=BC=3,由(2)知,CD2=CE?AC,∵AC=5,∴CE=,∴AE=AC-CE=5-=,在Rt△CDE中,根據(jù)勾股定理得,DE=,由(2)知,OD∥AC,∴,∴,∴DF=.【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題,主要考查了圓的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判斷和性質(zhì),勾股定理,判斷出△CDE∽△CAD是解本題的關(guān)鍵.20、(1)12;(2)1【解析】
(1)直接利用概率公式求解即可;(2)依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果,然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率即可.【詳解】(1)從中隨機(jī)抽出一張牌,牌面所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有4種,且它們出現(xiàn)的可能性相等,其中出現(xiàn)偶數(shù)的情況有2種,∴P(牌面是偶數(shù))=24=1故答案為:12(2)根據(jù)題意,畫樹狀圖:可知,共有16種等可能的結(jié)果,其中恰好是4的倍數(shù)的共有4種,∴【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,適合于兩步完成的事件.用到的知識(shí)點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.21、(1)拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2;(2)△ABC為直角三角形,理由見解析;(3)當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,)時(shí),△PBC周長(zhǎng)最小【解析】
(1)設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+4)(x-1),展開得到-4a=2,然后求出a即可得到拋物線解析式;
(2)先利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出AC2=42+22,BC2=12+22,AB2=25,然后利用勾股定理的逆定理可判斷△ABC為直角三角形;
(3)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-,連接AC交直線x=-于P點(diǎn),如圖,利用兩點(diǎn)之間線段最短得到PB+PC的值最小,則△PBC周長(zhǎng)最小,接著利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+2,然后進(jìn)行自變量為-所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】(1)拋物線的解析式為y=a(x+4)(x﹣1),即y=ax2+3ax﹣4a,∴﹣4a=2,解得a=﹣,∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2;(2)△ABC為直角三角形.理由如下:當(dāng)x=0時(shí),y=﹣x2﹣x+2=2,則C(0,2),∵A(﹣4,0),B(1,0),∴AC2=42+22,BC2=12+22,AB2=52=25,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC為直角三角形,∠ACB=90°;(3)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣,連接AC交直線x=﹣于P點(diǎn),如圖,∵PA=PB,∴PB+PC=PA+PC=AC,∴此時(shí)PB+PC的值最小,△PBC周長(zhǎng)最小,設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m,把A(﹣4,0),C(0,2)代入得,解得,∴直線AC的解析式為y=x+2,當(dāng)x=﹣時(shí),y=x+2=,則P(﹣,)∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,)時(shí),△PBC周長(zhǎng)最?。军c(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn):把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化解.關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo).也考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和最短路徑問題.22、1m【解析】
連接AN、BQ,過B作BE⊥AN于點(diǎn)E.在Rt△AMN和在Rt△BMQ中,根據(jù)三角函數(shù)就可以求得AN,BQ,求得NQ,AE的長(zhǎng),在直角△ABE中,依據(jù)勾股定理即可求得AB的長(zhǎng).【詳解】連接AN、BQ,∵點(diǎn)A在點(diǎn)N的正北方向,點(diǎn)B在點(diǎn)Q的正北方向,∴AN⊥l,BQ⊥l,在Rt△AMN中:tan∠AMN=,∴AN=1,在Rt△BMQ中:tan∠BMQ=,∴BQ=30,過B作BE⊥AN于點(diǎn)E,則BE=NQ=30,∴AE=AN-BQ=30,在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2,AB2=(30)2+302,∴AB=1.答:湖中兩個(gè)小亭A、B之間的距離為1米.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、解直角三角形等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造直角三角形解決問題.23、(1)y=﹣x2+2x+3;D(1,4);(2)證明見解析;(3)m=;【解析】
(1)①把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=﹣x2+2mx+3m2可求出m的值,從而得到拋物線解析式,然后把一般式配成頂點(diǎn)式得到D點(diǎn)坐標(biāo);②如圖1,先解方程﹣x2+2x+3=0得B(3,0),則可判斷△OCB為等腰直角三角形得到∠OBC=45°,再證明△CDE為等腰直角三角形得到∠DCE=45°,從而得到∠DCE=∠BCE;(2)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于F點(diǎn),交直線BC于G點(diǎn),如圖2,把一般式配成頂點(diǎn)式得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=m,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,4m2),通過解方程﹣x2+2mx+3m2=0得B(3m,0),同時(shí)確定C(0,3m2),再利用相似比表示出GF=2m2,則DG=2m2,接著證明∠DCG=∠DGC得到DC=DG,所以m2+(4m2﹣3m2)2=4m4,然后解方程可求出m.【詳解】(1)①把C(0,3)代入y=﹣x2+2mx+3m2得3m2=3,解得m1=1,m2=﹣1(舍去),∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;∵∴頂點(diǎn)D為(1,4);②證明:如圖1,當(dāng)y=0時(shí),﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3,則B(3,0),∵OC=OB,∴△OCB為等腰直角三角形,∴∠OBC=45°,∵CE⊥直線x=1,∴∠BCE=45°,∵DE=1,CE=1,∴△CDE為等腰直角三角形,∴∠DCE=45°,∴∠DCE=∠BCE;(2)解:拋物線的對(duì)稱軸交x軸于F點(diǎn),交直線BC于G點(diǎn),如圖2,∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=m,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,4m2),當(dāng)y=0時(shí),﹣x2+2mx+3m2=0,解得x1=﹣m,x2=3m,則B(3m,0),當(dāng)x=0時(shí),y=﹣x2+2mx+3m2=3m2,則C(0,3m2),∵GF∥OC,∴即解得GF=2m2,∴DG=4m2﹣2m2=2m2,∵CB平分∠DCO,∴∠DCB=∠OCB,∵∠OCB=∠DGC,∴∠DCG=∠DGC,∴DC=DG,即m2+(4m2﹣3m2)2=4m4,∴而m>0,∴【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題:熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì);會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;靈活應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算;理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì),記住兩點(diǎn)間的距離公式.24、(1);(2)的值為.【解析】
(1)利用判別式的意義得到,然后解不等式即可;(2)利用(1)中的結(jié)論得到的最大整數(shù)為2,解方程解得,把和分別代入一元二次方程求出對(duì)應(yīng)的,同時(shí)滿足.【詳解】解:(1)根據(jù)題意得,解得;(2)的最大整數(shù)為2,方程變形為,解得,∵一元二次方程與方程有一個(gè)相同的根,∴當(dāng)時(shí),,解得;當(dāng)時(shí),,解得,而,∴的值為.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式:一元二次方程的根與有如下關(guān)系:當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
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