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數(shù)學(xué)模型概論1、什么是數(shù)學(xué)建模3、數(shù)學(xué)建模的方法和步驟2、建模示例椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎玩具、照片…~實(shí)物模型風(fēng)洞中的飛機(jī)…~物理模型地圖、電路圖…~符號(hào)模型模型是為了一定目的,對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物。模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。我們常見(jiàn)的模型什么是數(shù)學(xué)模型你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型——“航行問(wèn)題”用x表示船速,y表示水速,列出方程:求解得到x=20,y=5,答:船速每小時(shí)20公里航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟

作出簡(jiǎn)化假設(shè)(船速、水速為常數(shù));

用符號(hào)表示有關(guān)量(x,y表示船速和水速);

用物理定律(勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間)列出數(shù)學(xué)式子(二元一次方程);

求解得到數(shù)學(xué)解答(x=20,y=5);

回答原問(wèn)題(船速每小時(shí)20公里)。數(shù)學(xué)模型

(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模(MathematicalModeling)數(shù)學(xué)模型:對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象,為了一個(gè)特定目的,根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律,作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè),運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模:建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程(包括建立、求解、分析、檢驗(yàn))。數(shù)學(xué)建模的重要意義

電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展

數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步,越來(lái)越受到人們的重視。數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)如虎添翼知識(shí)經(jīng)濟(jì)椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地

四條腿一樣長(zhǎng),椅腳與地面點(diǎn)接觸,四腳連線呈正方形;

地面高度連續(xù)變化,可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;

地面相對(duì)平坦,使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。建模示例1模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性xBADCOD′C′B′A′用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個(gè)距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f(),g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意,f(),g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知:f(),g()是連續(xù)函數(shù);

對(duì)任意,f()?g()=0;

且g(0)=0,f(0)>0.證明:存在0,使f(0)=g(0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗造的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900,對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0,f(0)>0,知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因?yàn)閒()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子和f(),g()的確定

二、數(shù)學(xué)建模的一般方法和步驟建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟并沒(méi)有一定的模式,但一個(gè)理想的模型應(yīng)能反映系統(tǒng)的全部重要特征:模型的可靠性和模型的使用性建模的一般方法:◆機(jī)理分析◆測(cè)試分析方法機(jī)理分析:根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí),分析其因果關(guān)系,找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律,所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義。測(cè)試分析方法:將研究對(duì)象視為一個(gè)“黑箱”系統(tǒng),內(nèi)部機(jī)理無(wú)法直接尋求,通過(guò)測(cè)量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù),并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法,按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個(gè)數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。測(cè)試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識(shí)。將這兩種方法結(jié)合起來(lái)使用,即用機(jī)理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu),用系統(tǒng)測(cè)試方法來(lái)確定模型的參數(shù),也是常用的建模方法。

在實(shí)際過(guò)程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對(duì)研究對(duì)象的了解程度和建模目的來(lái)決定。機(jī)理分析法建模的具體步驟大致可見(jiàn)右圖。符合實(shí)際不符合實(shí)際交付使用,從而可產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)、社會(huì)效益實(shí)際問(wèn)題抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)確定變量、參數(shù)建立數(shù)學(xué)模型并數(shù)學(xué)、數(shù)值地求解、確定參數(shù)用實(shí)際問(wèn)題的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)等來(lái)檢驗(yàn)該數(shù)學(xué)模型建模過(guò)程示意圖

模型

數(shù)學(xué)模型的分類:◆按研究方法和對(duì)象的數(shù)學(xué)特征分:初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴(kuò)散模型等?!舭囱芯繉?duì)象的實(shí)際領(lǐng)域(或所屬學(xué)科)分:人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等。三、數(shù)學(xué)模型及其分類數(shù)學(xué)模型類型

確定-隨機(jī)靜態(tài)-動(dòng)態(tài)

線性-非線

離散-連續(xù)3、雙層玻璃的功效北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的,即窗戶上裝兩層厚度為的玻璃夾著一層厚度為的空氣,如左圖所示,據(jù)說(shuō)這樣做是為了保暖,即減少室內(nèi)向室外的熱量流失。我們要建立一個(gè)模型來(lái)描述熱量通過(guò)窗戶的熱傳導(dǎo)(即流失)過(guò)程,并將雙層玻璃窗與用同樣多材料做成的單層玻璃窗(如右圖,玻璃厚度為)的熱量傳導(dǎo)進(jìn)行對(duì)比,對(duì)雙

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