數(shù)學(xué)必修第三章傾斜角與斜率

理解教材新知突破?？碱}型應(yīng)用落實(shí)體驗(yàn)題型一題型二第三章題型三3.13.1.1第1部分跨越高分障礙隨堂即時(shí)演練課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二3．1.1傾斜角與斜率直線的傾斜角

[提出問題]在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過點(diǎn)P.問題1：直線l的位置能夠確定嗎？提示：不能．問題2：過點(diǎn)P可以作與l相交的直線多少條？提示：無(wú)數(shù)條．問題3：上述問題中的所有直線有什么區(qū)別？提示：傾斜程度不同．[導(dǎo)入新知]1.傾斜角的定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸_________與直線l______方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．如圖所示，直線l的傾斜角是∠APx，直線l′的傾斜角是∠BPx.2．傾斜角的范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是________________，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.正方向向上0°≤α＜180°3．傾斜角與直線形狀的關(guān)系[化解疑難]對(duì)直線的傾斜角的理解(1)傾斜角定義中含有三個(gè)條件：①x軸正向；②直線向上的方向；③小于180°的非負(fù)角．(2)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)看，直線的傾斜角是由x軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角．(3)傾斜角是一個(gè)幾何概念，它直觀地描述且表現(xiàn)了直線對(duì)x軸的傾斜程度．(4)平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等.直線的斜率

問題1：對(duì)于直線可利用傾斜角描述傾斜程度，可否借助于坡度來(lái)描述直線的傾斜程度？提示：可以．問題2：由上圖中坡度為升高量與水平前進(jìn)量的比值，那么對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中直線的傾斜程度能否如此度量？提示：可以．問題3：通過坐標(biāo)比，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它與傾斜角有何關(guān)系？提示：與傾斜角的正切值相等．[導(dǎo)入新知]1．斜率的定義：一條直線的傾斜角α的______值叫做這條直線的斜率．常用小寫字母k表示，即k＝________.正切tanα3．斜率作用：用實(shí)數(shù)反映了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線的__________．傾斜程度[化解疑難]1．傾斜角α與斜率k的關(guān)系(1)直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率．當(dāng)傾斜角是90°時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)，直線垂直于x軸(平行于y軸或與y軸重合)．(2)直線的斜率也反映了直線相對(duì)于x軸的正方向的傾斜程度．當(dāng)0°≤α＜90°時(shí)，斜率越大，直線的傾斜程度越大；當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，斜率越大，直線的傾斜程度也越大．(2)用斜率公式時(shí)要一看，二用，三求值．一看，就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進(jìn)行第二步；二用，就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式；三求值，就是計(jì)算斜率的值，尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式時(shí)要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論．直線的傾斜角[例1]

(1)若直線l的向上方向與y軸的正方向成30°角，則直線l的傾斜角為(

)A．30°

B．60°C．30°或150° D．60°或120°(2)下列說法中，正確的是(

)A．直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanαB．直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為αC．若直線的傾斜角為α，則sinα＞0D．任意直線都有傾斜角α，且α≠90°時(shí)，斜率為tanα[解析]

(1)如圖，直線l有兩種情況，故l的傾斜角為60°或120°.(2)對(duì)于A，當(dāng)α＝90°時(shí)，直線的斜率不存在，故不正確；對(duì)于B，雖然直線的斜率為tanα，但只有0°≤α＜180°時(shí)，α才是此直線的傾斜角，故不正確；對(duì)于C，當(dāng)直線平行于x軸時(shí)，α＝0°，sinα＝0，故C不正確，故選D.[答案]

(1)D

(2)D[類題通法]求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意(1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0°，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，傾斜角為90°.②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°.[活學(xué)活用]1．直線l經(jīng)過第二、四象限，則直線l的傾斜角范圍是(

)A．[0°，90°)

B．[90°，180°)C．(90°，180°) D．(0°，180°)解析：直線傾斜角的取值范圍是[0°，180°)，又直線l經(jīng)過第二、四象限，所以直線l的傾斜角范圍是(90°，180°)．答案：C答案：D直線的斜率[例2]

(1)已知過兩點(diǎn)A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角為135°，則y＝________；(2)過點(diǎn)P(－2，m)，Q(m,4)的直線的斜率為1，則m的值為________；(3)已知過A(3,1)，B(m，－2)的直線的斜率為1，則m的值為________．[答案]

(1)－5

(2)1

(3)0直線的斜率的應(yīng)用

[例3]已知實(shí)數(shù)x，y滿足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．[易錯(cuò)防范]1．本題易錯(cuò)誤地認(rèn)為－1≤k≤1，結(jié)合圖形考慮，l的傾斜角應(yīng)介于直線PB與直線PA的傾斜角之間，要特別注意，當(dāng)l的傾斜角小于90°時(shí)，有k≥kPB；當(dāng)l的傾斜角大于90°時(shí)，則有k≤kPA.2.如圖，過點(diǎn)P的直線l與直線段AB相交時(shí)，因?yàn)檫^點(diǎn)P且與x軸垂直的直線PC的斜率不存在，而PC所在的直線與線段AB不相交，所以滿足題意的斜率夾在中間，即kPA≤k≤kPB.解決這類問題時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合思想直觀地判斷直線是夾在中間還是在兩邊．[隨堂即時(shí)演練]1．關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列說法正確的是(

)A．任一直線都有傾斜角，都存在斜率B．傾斜角為135°的直線的斜率為1C．若一條直線的傾斜角為α，則它的斜率為k＝tanαD．直線斜率的取值范圍是(－∞，＋∞)解析：任一直線都有傾斜角，但當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在．所以A、C錯(cuò)誤；傾斜角為135°的直線的斜率為－1，所以B錯(cuò)誤；只有D正確．答案：D3．直線l經(jīng)過原點(diǎn)和(－1,1)，則它的傾斜角為________．答案：135°4．已知三點(diǎn)A(a,