大學(xué)物理 2、剛體轉(zhuǎn)動

第二章剛體轉(zhuǎn)動2戰(zhàn)國時期開始，轆轤在作戰(zhàn)器械、井中提水、生產(chǎn)勞動中廣泛應(yīng)用，它們的共同特征是什么呢？引言3轉(zhuǎn)動在生活、生產(chǎn)上的應(yīng)用。引言4轉(zhuǎn)動在軍事、生活中的應(yīng)用。引言5

這章學(xué)習(xí)方法:對比法將剛體轉(zhuǎn)動與質(zhì)點力學(xué)對比

剛體：形狀與大小都不變的物體(理想模型)剛體是特殊的質(zhì)點系-----質(zhì)點之間的距離與相對位置都保持不變。因此,第一章的質(zhì)點系的所有規(guī)律都可用于剛體！引言6目錄2-1轉(zhuǎn)動的描述2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律2-3角動量與角動量守恒定律2-4

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理2-5

工程中的剛體轉(zhuǎn)動7剛體的運動分為：平動和轉(zhuǎn)動。2-1

轉(zhuǎn)動的描述參考線一、平動與轉(zhuǎn)動1、平動剛體中所有點的運動軌跡完全相同，或剛體上的直線在運動過程中總是保持平行。82-1

轉(zhuǎn)動的描述平動特點：各點運動狀態(tài)一樣，如位移、軌跡、速度、加速度等都相同。剛體作平動運動時，可將剛體看成一個質(zhì)點放在質(zhì)心，剛體平動運動看成質(zhì)心質(zhì)點運動。9剛體中所有質(zhì)點都繞同一直線做圓周運動。轉(zhuǎn)動又分定軸轉(zhuǎn)動和非定軸轉(zhuǎn)動。

2、轉(zhuǎn)動2-1

轉(zhuǎn)動的描述定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸方向不隨時間變化。非定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸方向隨時間變化。10

3、剛體的一般運動是平動和轉(zhuǎn)動的合成一般情況下，剛體的運動既有平動，又有轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸的位置或方向都隨時間變化。例如汽車行駛過程中，車輪的運動是車輪平動和車輪繞定軸轉(zhuǎn)動的疊加合成。2-1

轉(zhuǎn)動的描述平動定軸轉(zhuǎn)動車輪邊緣質(zhì)點的軌跡11二、剛體轉(zhuǎn)動的角量描述參考平面2.角位移

1.角位置3.角速度參考軸角速度大?。航俏恢脤r間求導(dǎo)：2-1

轉(zhuǎn)動的描述在時間內(nèi),角位置的變化剛體上任意質(zhì)點的位置矢量與參考方向的夾角：12角速度方向：角速度方向與剛體轉(zhuǎn)動方向滿足右手螺旋法則。2-1

轉(zhuǎn)動的描述右手四指沿轉(zhuǎn)動方向，大姆指是角速度方向，沿轉(zhuǎn)軸。4.角加速度角加速度大小：角速度對時間求導(dǎo)：角加速度方向：角速度矢量變化方向。角速度矢量變化在時間內(nèi),角速度矢量變化13角加速度和角速度變化

Δ

同方向。2-1

轉(zhuǎn)動的描述ΔΔ減速轉(zhuǎn)動加速轉(zhuǎn)動5.定軸轉(zhuǎn)動的特點1）剛體上各質(zhì)點均作半徑不同的圓周運動；2）各質(zhì)點運動

均相同，但不同；14

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點勻變速直線運動剛體轉(zhuǎn)動的角加速度為恒量時，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動。由勻變速圓運動得到剛體勻變速轉(zhuǎn)動的公式：剛體勻變速轉(zhuǎn)動與質(zhì)點勻變速直線運動公式對比2-1

轉(zhuǎn)動的描述三、勻變速轉(zhuǎn)動15

例題1

一飛輪半徑為0.2m、轉(zhuǎn)速為150r·min-1，因受制動而均勻減速，經(jīng)30s停止轉(zhuǎn)動。求：（1）角加速度和在此時間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動開始后

t=6s時飛輪的角速度；（3）t=6s時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度。解：（1）

t=30s

時，設(shè)。飛輪做勻減速運動：時，

t=0s

2-1

轉(zhuǎn)動的描述16飛輪30s

內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度轉(zhuǎn)過的圈數(shù)（2）時，飛輪的角速度2-1

轉(zhuǎn)動的描述17（3）時，飛輪邊緣上一點的線速度大小飛輪邊緣上一點的切向加速度和法向加速度大小為2-1

轉(zhuǎn)動的描述18

石磨一般包含上下兩個石頭磨盤，在上面的磨盤上裝有一橫桿作為把手，當(dāng)人用力推動把手時，上面的磨盤就會轉(zhuǎn)動，通過兩個磨盤之間的摩擦就可以研磨食物了。

2-1

轉(zhuǎn)動的描述思考題1

人們?yōu)槭裁匆b一個橫桿而不是直接推動磨盤？人在什么位置推把手才能使磨盤轉(zhuǎn)動的迅速？人在什么位置推把手更省力？19目錄2-1轉(zhuǎn)動的描述2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律

2-3角動量與角動量守恒定律2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理2-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動20P*O

剛體繞Oz

軸旋轉(zhuǎn),外力作用在剛體上點P,

力的作用點P的位矢。

一、力矩

對轉(zhuǎn)軸Z產(chǎn)生力矩為:

力矩大?。?力臂2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律=:切向力21P*O力矩方向：位矢和力的方向滿足右手螺旋2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律法則。右手四指由位矢方向轉(zhuǎn)到力

方向，大姆指是力矩方向，沿轉(zhuǎn)軸。22O2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律二、轉(zhuǎn)動定律剛體內(nèi)任意質(zhì)點

j受外力

，內(nèi)力將剛體分為大量質(zhì)量元（質(zhì)點）！內(nèi)力是剛體其它質(zhì)點給的力。外力

和內(nèi)力

對轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生力矩為：F外jt+F內(nèi)jt=Δmjɑjt=Δmjrjα

Mj=F外jtrj+F內(nèi)jtrj在切向方向，由牛頓第二定律得：（a）（b）23O2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律Mj=Δmjrj2α

由上面二式（a）和（b）得質(zhì)點

j受力矩為：將上式對剛體的所有質(zhì)量元求和得剛體的受力矩為：M=?Mj=?Δmjrj2α

jjM=(?Δmjrj2)α

j定義剛體的轉(zhuǎn)動慣量為：（c）24

上式（c）變?yōu)?-2力矩與轉(zhuǎn)動定律所以由上式（d）（e）和（f）得剛體轉(zhuǎn)動定律：M=(?Δmjrj2)α=Jα

jM=?Mj是剛體各質(zhì)元受所有外力和所有內(nèi)力產(chǎn)生合外力矩和合內(nèi)力矩的和。即：M=M合外力矩+M合內(nèi)力矩

因為剛體各質(zhì)元受所有內(nèi)力產(chǎn)生合內(nèi)力矩為零：M合內(nèi)力矩

=0（d）（e）（f）25O2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律因為剛體的任意兩質(zhì)元間的內(nèi)力是等大反向，兩個內(nèi)力的力臂d相同，兩個內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生力矩相互抵消！M合內(nèi)力矩

=0證明：26轉(zhuǎn)動定律與牛頓第二定律對比，有：合外力矩M

對應(yīng)合外力F

轉(zhuǎn)動慣量J

對應(yīng)質(zhì)量

m

角加速度

對應(yīng)加速度a轉(zhuǎn)動定律：剛體轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律27三、轉(zhuǎn)動慣量

1、轉(zhuǎn)動慣量物理意義：轉(zhuǎn)動慣量反映剛體轉(zhuǎn)動慣性的大小。由得：轉(zhuǎn)動慣量的大小取決于剛體的1）質(zhì)量，2）形狀，3）轉(zhuǎn)軸的位置剛體轉(zhuǎn)動慣量的定義：2、轉(zhuǎn)動慣性的計算方法2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律28

1）質(zhì)量分離分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量為

2）質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量為：任意質(zhì)量元求和變積分：任意質(zhì)量元到轉(zhuǎn)軸的距離2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律29O′O解：棒的線密度為，距離轉(zhuǎn)軸OO′

為處的任意質(zhì)元的質(zhì)量。轉(zhuǎn)動慣量為例題2

一質(zhì)量為

、長為

的均勻細(xì)長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。O′O討論：轉(zhuǎn)軸過端點垂直于棒，轉(zhuǎn)動慣量為2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律30

補例1.

一質(zhì)量為、半徑為的質(zhì)量均勻或非均勻分布細(xì)圓環(huán)，求通過圓環(huán)中心O并與圓環(huán)垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。O解：圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動慣量為薄圓筒的轉(zhuǎn)動慣量也為2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律任意質(zhì)元31質(zhì)量為

的剛體，如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為

，則對任一與質(zhì)心軸平行，相距為

的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為：CO2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律四、平行軸定理32

薄圓盤轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直典型的幾種剛體的轉(zhuǎn)動慣量2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律lr圓柱體轉(zhuǎn)軸沿幾何軸33l

細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直l

細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過端點與棒垂直2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律342r球體轉(zhuǎn)軸沿直徑2r球殼轉(zhuǎn)軸沿直徑2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律35五、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用解題方法和步驟：1、選取物體；2、分析物體的運動(物體作勻變速或變速運動)；3、分析物體的受力和力矩（隔離物體分析受力）；4、選運動方向為正方向，列方程；5、聯(lián)立求解方程。2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律36例題3.

一長為質(zhì)量為均勻細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉(zhuǎn)動。由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O

轉(zhuǎn)動。求：細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成

角時角加速度和角速度。解：細(xì)桿受重力和鉸鏈對桿的約束力，約束力通過轉(zhuǎn)軸O，不產(chǎn)生力矩，重力產(chǎn)生力矩。由轉(zhuǎn)動定律得桿受合力矩為2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律37桿的轉(zhuǎn)動慣量為由上式得桿轉(zhuǎn)動到時的角加速度：由角加速度的定義得：得桿轉(zhuǎn)動到時的角速度上式積分得：2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律38m1m2mR補例2

已知：兩物體m1、m2（m2m1)，滑輪m、R,可看成質(zhì)量均勻的圓盤，

繩與滑輪無相對滑動。求:

物體的加速度及繩中張力。2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律39對m1有：對m2有：以加速度方向為正方向。【解】物體m1，m2，圓盤受力如圖。

T1-m1g=m1a

----（1）

m2g-T2=m2a

----（2）2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律物體m1，m2作勻加速直線運動，圓盤作勻加速轉(zhuǎn)動。40對圓盤m，由轉(zhuǎn)動方程得：--（3）---（4）聯(lián)立式(1)—-(4)解得：因為繩與圓盤間無相對滑動，所以繩的速度等于圓盤邊緣質(zhì)點的切向速度：2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律上式對時間求導(dǎo)得繩的加速度等于圓盤邊緣質(zhì)點的切向加速度，即：41討論

當(dāng)圓盤質(zhì)量為零時:m=0，由上式得：（與中學(xué)作過的一致?。?-2力矩與轉(zhuǎn)動定律由上式得兩邊繩的張力不相等：42補例3

已知：如圖，R=0.2m，m=1kg，vo=o，h=1.5m，勻加速下落時間t=3s,、繩與輪無相對滑動，軸光滑。求：輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J=？定軸0Rthmv0=0繩α·Rma2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律【解】物體m，輪受力如圖。物體m作勻加速直線運動，輪作勻加速轉(zhuǎn)動。以加速度方向為正方向。43（1）·Rm（2）（3）（4）聯(lián)立式(1),(2),(3),(4)解得輪的轉(zhuǎn)動慣量：對滑輪m，由轉(zhuǎn)動方程得對物體m，由牛2方程得2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律

m由靜止出發(fā)作勻加速運動，下落的距離為因為繩與圓盤間無相對滑動，所以繩的加速度等于輪邊緣質(zhì)點的切向加速度，即：44

補例4.

質(zhì)量為物體A靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為R、質(zhì)量為的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為的物體B上?；喤c繩索間沒有滑動，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計。求：（1）兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體B從靜止落下距離

時，其速率是多少？ABC2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律45（1）（2）2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律【解】物體mA,，mB，輪受力如圖。物體mA，mB作勻加速直線運動，輪作勻加速轉(zhuǎn)動。以加速度方向為正方向。對mA有：對mB有：46對輪mC,

由轉(zhuǎn)動定律得：（4）（3）2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律因為繩與輪間無相對滑動，所以繩的加速度等于輪邊緣質(zhì)點的切向加速度，即：47(2)B由靜止出發(fā)作勻加速運動，下落的速率為聯(lián)立式(1),(2),(3),(4)解得：2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律48哪種握法轉(zhuǎn)動慣量大？2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律思考題349目錄2-1轉(zhuǎn)動的描述2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律2-3角動量與角動量守恒定律

2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理2-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動502-3角動量與角動量守恒定律眾所周知，一個恒星系中，行星會繞恒星做橢圓軌道運動，地球也因太陽的萬有引力存在于太陽系中。芭蕾舞演員通過展示各種優(yōu)美的動作，使人們心曠神怡。在星系與芭蕾舞演員之間似乎很難看得出有什么聯(lián)系，事實上兩者的運動都遵從相同的物理規(guī)律。512-3角動量與角動量守恒定律為什么行星總能保持同樣的運動軌道、并總能在軌道上的某一點按時出現(xiàn)呢？芭蕾舞演員又是怎樣做到動作變換的？兩者存在著怎樣的聯(lián)系呢？

52平動沖量動量的改變轉(zhuǎn)動沖量矩角動量的改變

力對時間積分沖量、動量、動量定理。力矩對時間積分沖量矩、角動量、角動量定理。2-3角動量與角動量守恒定律一、角動量1、質(zhì)點的角動量53

質(zhì)量為的質(zhì)點以速度在空間運動，某時刻對參考點O

的位矢為，質(zhì)點對于參考點O的角動量矢量定義為角動量大?。航莿恿糠较颍何皇?/p>

和速度

的方向滿足右手螺旋法則。2-3角動量與角動量守恒定律54補例1.質(zhì)點以角速度作半徑為

的圓運動，質(zhì)點對圓心的角動量大小為2-3角動量與角動量守恒定律角動量方向：垂直圓面向上，不變。注意：質(zhì)點作同一運動，對不同參考點O的角動量不同！因為θ=π/2，得質(zhì)點對圓心的角動量大小為：552、剛體的角動量剛體由大量質(zhì)點組成，根據(jù)質(zhì)點的角動量定義得剛體轉(zhuǎn)動的角動量為剛體上所有質(zhì)點的角動量的和，即2-3角動量與角動量守恒定律O剛體轉(zhuǎn)動慣量為：剛體的角動量為二、角動量定理剛體的角動量和角速度同方向。562-3角動量與角動量守恒定律1、質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點受合外力為由上式兩邊叉乘位矢

得：××質(zhì)點受合力對參考點O產(chǎn)生的力矩，等于質(zhì)點對參考點O

的角動量隨時間的變化率。由，得：57在時間內(nèi)，質(zhì)點受的沖量矩，合外力矩對時間積分。質(zhì)點的角動量定理：質(zhì)點受對參考點O的沖量矩等于質(zhì)點對參考點O的角動量增加量。2、剛體的角動量定理2-3角動量與角動量守恒定律上式對時間積分得：58將質(zhì)點的角動量定理推廣到剛體，得剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理為將剛體的角動量定理推廣到非剛體，得非剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理為2-3角動量與角動量守恒定律非剛體的角動量定理：非剛體受對轉(zhuǎn)軸的沖量矩等于非剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量增加量。59質(zhì)點的角動量守恒：質(zhì)點受對參考點O

的合外力矩為零時，質(zhì)點對該參考點O的角動量為恒矢量。

三、角動量守恒定律1、質(zhì)點的角動量守恒定律質(zhì)點的角動量定理為當(dāng)合力矩為零時，由上式得：2-3角動量與角動量守恒定律60非剛體的角動量守恒：非剛體受對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時,非剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量為恒量。非剛體的角動量定理為當(dāng)合外力矩為零時，有或2-3角動量與角動量守恒定律2、剛體和非剛體的角動量守恒定律3、說明

1）角動量守恒條件：2）角動量守恒：剛體轉(zhuǎn)動慣量

不變，剛體角速度

不變。非剛體轉(zhuǎn)動慣量

變，非剛體角速度

變。3）角動量守恒定律是自然界的一個基本定律。有許多現(xiàn)象都可以用角動量守恒來說明。2-3角動量與角動量守恒定律人是典型的非剛體，當(dāng)人旋轉(zhuǎn)時，通過變化自己的動作，來改變?nèi)梭w的轉(zhuǎn)動慣量，進(jìn)而達(dá)到變化旋轉(zhuǎn)速度的目的，這是利用角動量守恒定律。622-3角動量與角動量守恒定律芭蕾舞蹈演員跳舞時，他或她張開兩臂，并繞通過足尖的垂直轉(zhuǎn)軸以旋轉(zhuǎn)，當(dāng)迅速把兩臂和腿向內(nèi)收攏，這時由于轉(zhuǎn)動慣量變小，演員的角速度會增大，因而快速旋轉(zhuǎn)，表演出優(yōu)美的旋轉(zhuǎn)動作。再如跳水運動員進(jìn)行高臺跳水比賽時，運動員在空中蜷縮身體，使人體轉(zhuǎn)動慣量變小，導(dǎo)致他在空中的翻轉(zhuǎn)加速，有盡可能多的時間調(diào)整姿態(tài)和節(jié)奏，而當(dāng)運動員快入水時，他則舒展身體，增加自身的轉(zhuǎn)動慣量，盡量停止翻轉(zhuǎn)使身體能垂直入水。63例題4.彗星繞太陽作橢圓軌道運動，太陽位于橢圓軌道的一個焦點上。問：（1）系統(tǒng)的角動量是否守恒？（2）近日點與遠(yuǎn)日點的速度誰大？解：在彗星繞太陽轉(zhuǎn)動時，受萬有引力指向太陽（參考點O

）。萬有引力對參考點O產(chǎn)生外力矩為零：2-3角動量與角動量守恒定律彗星繞太陽運動時，彗星對參考點O的角動量守恒：（參考點O）O64近日點遠(yuǎn)日點由質(zhì)點的角動量定義得：即2-3角動量與角動量守恒定律彗星在近日點與遠(yuǎn)日點的角動量相等：（參考點O）O65補例1

已知衛(wèi)星在近地點和遠(yuǎn)地點時到地心的距離分別為R1和R2。求衛(wèi)星的近地點和遠(yuǎn)地點的速度v1，v2。R2R1v2=?v1=?解：衛(wèi)星繞地球運動時，機械能守恒：2-3角動量與角動量守恒定律系統(tǒng)：衛(wèi)星和地球。衛(wèi)星繞地球運動時，衛(wèi)星對對地心O角動量守恒：OR1R2

R1mv1=R2mv266R2R1v2=?v1=?兩方程聯(lián)立解出衛(wèi)星的近地點和遠(yuǎn)地點的速度：2-3角動量與角動量守恒定律O67補例2

一長為

l,質(zhì)量為

的桿可繞支點O自由轉(zhuǎn)動。一質(zhì)量為、速率為的子彈射入桿內(nèi)距支點為處。求：桿的角速

ω?解：系統(tǒng)：子彈和桿。子彈射入桿中時，子彈和桿受的向下重力通過轉(zhuǎn)軸，對轉(zhuǎn)軸O產(chǎn)生的合外力矩為零，子彈射入桿前后，系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸O的角動量守恒。解得桿的角速為2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理

ω子彈射入桿前角動量子彈射入桿后角動量68補例3

轉(zhuǎn)盤上站立一人，開始人和轉(zhuǎn)盤靜止，當(dāng)人沿邊緣以角速度ω運動。求:轉(zhuǎn)盤運動的角速度Ω

。解：系統(tǒng)：人＋轉(zhuǎn)盤。人和轉(zhuǎn)盤受向下重力平行轉(zhuǎn)軸，對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零，人運動前后，系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸Z的角動量守恒：解得轉(zhuǎn)盤運動的角速度為z2-3角動量與角動量守恒定律地人運動后角動量人運動前角動量69目錄2-1轉(zhuǎn)動的描述2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律2-3角動量與角動量守恒定律2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理2-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動70力作功力對路程的積分

轉(zhuǎn)動動能定理、機械能守恒。動能定理、機械能守恒。力矩作功

力矩對角位置積分

2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理動能、轉(zhuǎn)動動能、71一、力矩作功剛體在力作用下，轉(zhuǎn)動很小角位移

dθ，力對剛體作元功為：剛體從角坐標(biāo)轉(zhuǎn)到，力對剛體作功為：

2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理OdW=Ftds=Ftrdθ=M合外力矩dθdsds是力作用點移動的路程。72上式又稱為外力矩作的功。二、力矩的功率上式又稱為外力矩的功率。2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理三、轉(zhuǎn)動動能在很小時間dt內(nèi)，外力對剛體作功為外力的功率為73四、剛體轉(zhuǎn)動的動能定理剛體的轉(zhuǎn)動動能等于n個質(zhì)元動能之和為：O剛體由n個質(zhì)元構(gòu)成，各質(zhì)元做圓周運動。任意質(zhì)元i

的動能為轉(zhuǎn)動慣量2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理74剛體轉(zhuǎn)動的動能定理：合外力（合外力矩）對剛體作功等于剛體的轉(zhuǎn)動動能增加量。O剛體從角坐標(biāo)轉(zhuǎn)到，力對剛體作功為：

2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理75只有重力產(chǎn)生力矩，且重力矩隨擺角變化而變化。桿擺到鉛直位置時，重力對桿作功為：解：以桿為研究對象，例題5

一細(xì)桿質(zhì)量為m，長度為l，一端固定在轉(zhuǎn)軸上，靜止從水平位置擺下。求細(xì)桿擺到鉛直位置時的角速度。2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理76桿的末態(tài)轉(zhuǎn)動動能：由轉(zhuǎn)動動能定理：本題可用機械能守恒定律計算2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理得：桿的初態(tài)轉(zhuǎn)動動能：桿轉(zhuǎn)動慣量為得：桿擺到鉛直位置時的角速度為ω77子彈擊入桿子彈和桿為系統(tǒng)機械能不守恒。角動量守恒；水平方向動量不守恒；子彈和沙袋為系統(tǒng)水平方向動量守恒；角動量守恒；機械能不守恒。子彈擊入沙袋細(xì)繩質(zhì)量不計2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理補例1分析下面各問題中的守恒量。水平力78目錄2-1轉(zhuǎn)動的描述2-2力矩與轉(zhuǎn)動定律2-3角動量與角動量守恒定律2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理2-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動792-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動一、航天器的方向控制器旅行者2號（Voyager

2）是美國國家航空航天局在1977年8月20日發(fā)射的無人星際太空船，1981年它通過土星的引力區(qū)域后加速飛往天王星和海王星，之后以約15.493公里/秒的速度離開太陽系.對旅行者2號的觀測中發(fā)現(xiàn)，在1986年它經(jīng)過天王星時，船身不時地發(fā)生轉(zhuǎn)動，使飛船的運動軌跡出現(xiàn)一定的偏離，科學(xué)家們覺得很奇怪，這是什么原因?qū)е碌哪兀?02-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動

研究發(fā)現(xiàn)，飛船的異常轉(zhuǎn)動與飛船中的打印機高速旋轉(zhuǎn)有關(guān)。如果將飛船船體和打印機視為一個系統(tǒng)，該系統(tǒng)幾乎不受外力矩的作用，系統(tǒng)角動量守恒，在打印機工作時打印機磁鼓快速轉(zhuǎn)動，打印機產(chǎn)生一個角動量的增量，飛船就會自動向打印機磁鼓轉(zhuǎn)動的反方向轉(zhuǎn)動，以保持整個系統(tǒng)的角動量不變。

根據(jù)旅行者2號飛船異常轉(zhuǎn)動的分析，使科學(xué)家意識到可以利用類似的原理來控制飛船的行駛方向，于是制造出了飛船的方向控制器。81飛輪x如圖示為固定地裝有一個飛輪的宇宙飛船2-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動x方向控制器的核心部件是一個可以旋轉(zhuǎn)的飛輪。若人們需要將飛船運動方向向逆時針方向調(diào)整角度，即從方向轉(zhuǎn)向方向，就啟動方向控制器中的飛輪，并使其沿順時針旋轉(zhuǎn)。因為系統(tǒng)角動量守恒，飛船船體將向逆時針方向轉(zhuǎn)動，當(dāng)飛船轉(zhuǎn)過

后，再停止方向控制器中飛輪轉(zhuǎn)動，這樣就實現(xiàn)了改變飛船前進(jìn)方向的目的。順時針旋轉(zhuǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)822-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動1、飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為飛船（除開飛輪）的轉(zhuǎn)動慣量為2、飛船正常飛行時，飛輪和飛船不轉(zhuǎn)動。3、當(dāng)飛輪順時針旋轉(zhuǎn)，而飛船船體將逆時針方向旋轉(zhuǎn)。飛輪不轉(zhuǎn)動x飛船不轉(zhuǎn)動飛輪和飛船組成系統(tǒng)的總角動量為零。即：L0=0飛船正常飛行832-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動飛輪和飛船組成系統(tǒng)的總角動量為4、由飛輪旋轉(zhuǎn)前后系統(tǒng)的角動量守恒得：L0=L飛輪x飛船逆時針旋轉(zhuǎn)飛輪順時針旋轉(zhuǎn)ωAωB飛輪的角動量飛船的角動量842-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動將θ=ωt代入得飛輪和飛船旋轉(zhuǎn)的角為飛船旋轉(zhuǎn)的角θBxθA飛輪旋轉(zhuǎn)的角上式為飛船調(diào)整的角度與方向控制器中飛輪需要旋轉(zhuǎn)的角度的關(guān)系，由此可以精確地控制飛船的方向。85