單自由度及多自由度系統(tǒng)模態(tài)分析

單自由度及多自由度系統(tǒng)

模態(tài)分析結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析基本理論一般的振動(dòng)問題已知激勵(lì)和振動(dòng)結(jié)構(gòu)，求系統(tǒng)響應(yīng)（正問題）已知激勵(lì)和響應(yīng)，求系統(tǒng)參數(shù)——系統(tǒng)識(shí)別（逆問題）已知系統(tǒng)和響應(yīng)，求激勵(lì)——荷載識(shí)別激勵(lì)輸入振動(dòng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)輸出結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析基本理論振動(dòng)結(jié)構(gòu)模型：空間模型——用于描述結(jié)構(gòu)的物理特性，即質(zhì)量、剛度和阻尼特性。模態(tài)模型——一系列固有頻率及相應(yīng)的模態(tài)阻尼系數(shù)和模態(tài)振型。響應(yīng)模型——一系列響應(yīng)函數(shù)組成空間模型（質(zhì)量、阻尼、剛度）模態(tài)模型（固有頻率，模態(tài)振型）響應(yīng)模型（頻率響應(yīng)、脈沖響應(yīng)）物理參數(shù)識(shí)別模態(tài)參數(shù)識(shí)別非參數(shù)識(shí)別結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析基本理論模態(tài)分析：以振動(dòng)理論為基礎(chǔ)，以模態(tài)參數(shù)為目標(biāo)的分析方法。理論模態(tài)分析實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析（EMA）在理論模態(tài)分析中，首先從空間模型開始最終到響應(yīng)模型。在實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析中，首先從響應(yīng)特性開始，最終推求空間模型?？臻g模型（質(zhì)量、阻尼、剛度）模態(tài)模型（固有頻率，模態(tài)振型）響應(yīng)模型（頻率響應(yīng)、脈沖響應(yīng)）單自由度系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)單自由度系統(tǒng)，承受單位脈沖荷載(t)時(shí)，響應(yīng)為h(t)——單位脈沖響應(yīng)函數(shù)（脈沖響應(yīng)函數(shù)）該式的解為式中，若系統(tǒng)受到任意函數(shù)f(t)激勵(lì)，則響應(yīng)為（Duhamel積分）：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)單自由度系統(tǒng)振動(dòng)微分方程：設(shè)系統(tǒng)作用簡(jiǎn)諧激勵(lì)穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)速度響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)加速度響應(yīng)：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)振動(dòng)微分方程：位移頻響函數(shù)為穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)與激勵(lì)幅值之比：速度頻響函數(shù)：加速度頻響函數(shù)：頻響函數(shù)單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)頻響函數(shù)的倒數(shù)稱為阻抗位移阻抗：速度阻抗：加速度阻抗：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)頻響函數(shù)頻響函數(shù)H()是h(t)的傅里葉變換。若系統(tǒng)的激勵(lì)為已知此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為因此脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻響函數(shù)一樣是反映振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的量，頻響函數(shù)在頻域內(nèi)描述系統(tǒng)固有特性，而脈沖響應(yīng)函數(shù)在時(shí)域內(nèi)描述系統(tǒng)固有特性。脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻響函數(shù)是系統(tǒng)識(shí)別的基礎(chǔ)。線性系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系根據(jù)傅里葉變換時(shí)域卷積性質(zhì)，在時(shí)域的卷積在頻域應(yīng)為乘積單位力作用下的系統(tǒng)時(shí)域與頻域的響應(yīng)線性系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系不同激勵(lì)下頻響函數(shù)表達(dá)式簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，頻響函數(shù)定義為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值與激勵(lì)的幅值之比周期激勵(lì)f(t)（周期為T）作用下，穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)為周期T的函數(shù)x(t)，都可寫為傅里葉級(jí)數(shù)的形式系統(tǒng)在周期激勵(lì)下的頻響函數(shù)定義為在各倍頻點(diǎn)上穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值與激勵(lì)的幅值之比瞬態(tài)激勵(lì)f(t)下響應(yīng)為x(t)，一般可做傅里葉變換系統(tǒng)在瞬態(tài)激勵(lì)下的頻響函數(shù)定義為在響應(yīng)與激勵(lì)的傅里葉變換之比隨機(jī)振動(dòng)中，無(wú)論是激勵(lì)和響應(yīng)信號(hào)都不能進(jìn)行傅里葉變換，只能用概率統(tǒng)計(jì)方法來(lái)處理。頻響函數(shù)定義為輸出與輸入的互功率譜與輸入的自功率譜之比不同激勵(lì)下頻響函數(shù)表達(dá)式單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（1）

——粘性阻尼由頻響函數(shù)表達(dá)式可得頻響函數(shù)復(fù)指數(shù)形式

式中稱為頻率比幅頻特性相頻特性共振幅值點(diǎn)半功率點(diǎn)靜變形單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（2）頻響函數(shù)表示成復(fù)數(shù)形式：其中

實(shí)頻特性虛頻特性單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（3）對(duì)于任一，根據(jù)上式可計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的一對(duì)HR()、HI()值，從而得到復(fù)平面上的一條矢量。從0變到∞，矢端將畫出變化過(guò)程的軌跡，該軌跡近似為一個(gè)圓。（Nyquist圖）半功率點(diǎn)ω=0，R=1/kω=ΩΩ=∞單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（1）

——結(jié)構(gòu)阻尼許多振動(dòng)結(jié)構(gòu)的阻尼不適用于粘性阻尼描述，這類結(jié)構(gòu)的阻尼主要來(lái)源于材料內(nèi)阻和部件結(jié)合面之間的干摩擦，因此引入結(jié)構(gòu)阻尼，又稱遲滯阻尼或固體阻尼。結(jié)構(gòu)阻尼頻響函數(shù)復(fù)指數(shù)形式

式中稱為損耗因子幅頻特性相頻特性單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（2）

——結(jié)構(gòu)阻尼頻響函數(shù)表示成復(fù)數(shù)形式：其中

實(shí)頻特性虛頻特性單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（3）

——結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)的Nyquist圓半徑為一常數(shù)，是個(gè)名副其實(shí)的圓，該圓起點(diǎn)=0的坐標(biāo)為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

——無(wú)阻尼系統(tǒng)多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：1、自由振動(dòng)設(shè)特解代入上式得該方程有非零解的充要條件是其系數(shù)矩陣行列式為零，即解得的n個(gè)互異正根0i，稱為無(wú)阻尼系統(tǒng)的固有頻率（特征方程的特征值）系統(tǒng)特征方程多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

——無(wú)阻尼系統(tǒng)將0i代入：解得n個(gè)線性無(wú)關(guān)非零矢量i的比例解，通常選擇一定方法進(jìn)行歸一化，稱為模態(tài)振型（特征方程的特征向量）模態(tài)振型具有正交性多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

——粘性阻尼系統(tǒng)多自由度粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：其中設(shè)系統(tǒng)受簡(jiǎn)諧激勵(lì)，則頻響函數(shù)矩陣為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

——粘性阻尼系統(tǒng)多自由度粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：進(jìn)行坐標(biāo)變換，設(shè)物理坐標(biāo)系中矢量x在模態(tài)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

，則代入運(yùn)動(dòng)方程得多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

——粘性阻尼系統(tǒng)左乘{(lán)s}T，考慮到模態(tài)振型的正交性，得ms——第s階模態(tài)質(zhì)量ks——第s階模態(tài)剛度cs——第s階模態(tài)阻尼系數(shù)qs——第s階模態(tài)坐標(biāo)令，則多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

——粘性阻尼系統(tǒng)不考慮起始條件，可得位移響應(yīng)：多自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)令令頻響函數(shù)物理意義為：在j點(diǎn)作用單位力時(shí)，在i點(diǎn)引起的響應(yīng)i=j時(shí)，稱為原點(diǎn)頻響函數(shù)頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系頻響函數(shù)矩陣中任一行為

如果在結(jié)構(gòu)上的某一固定點(diǎn)i點(diǎn)拾振，輪流激勵(lì)所有點(diǎn)，即可求得[H]中的一行。（單點(diǎn)拾振法）頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系頻響函數(shù)矩陣中任一列為

如果在結(jié)構(gòu)上的某一固定點(diǎn)j點(diǎn)激振，在其他各點(diǎn)拾振，即可求得[H]中的一列。（單點(diǎn)激勵(lì)法）頻響函數(shù)圖像頻響函數(shù)表達(dá)式

頻響函數(shù)的圖像可以看作為一系列單自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)曲線的迭加。123234頻響函數(shù)圖像

1.H11的幅頻及相頻曲線（原點(diǎn)頻響函數(shù)）：共振點(diǎn)反共振點(diǎn)頻響函數(shù)圖像原點(diǎn)頻響函數(shù)圖像特征：在幅頻圖中，每?jī)蓚€(gè)共振峰之間必有一個(gè)反共振點(diǎn)；在相頻圖中，每經(jīng)過(guò)一個(gè)共振點(diǎn)相位角滯后180°，每經(jīng)過(guò)一個(gè)反共振點(diǎn)，相位角導(dǎo)前180°頻響函數(shù)圖像

2.H21的幅頻及相頻曲線（跨點(diǎn)頻響函數(shù)）：共振點(diǎn)反共振點(diǎn)頻響函數(shù)圖像跨點(diǎn)頻響函數(shù)圖像特征：在幅頻圖中，若相鄰模態(tài)同相位，在這兩個(gè)模態(tài)之間存在一個(gè)反共振點(diǎn)，若相鄰模態(tài)反相位，則這兩個(gè)模態(tài)之間是一段平滑曲線；123234F結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗(yàn)技術(shù)結(jié)構(gòu)模態(tài)實(shí)驗(yàn)是要通過(guò)某種激勵(lì)方法，人為地使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動(dòng)，提取激勵(lì)輸入和結(jié)構(gòu)響應(yīng)輸出的時(shí)域或頻域數(shù)據(jù)；或者在自然環(huán)境激勵(lì)下，現(xiàn)場(chǎng)提取結(jié)構(gòu)的響應(yīng)輸出數(shù)據(jù)。頻響函數(shù)矩陣或單位脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣中的任一列或任一行，蘊(yùn)含了系統(tǒng)全部的模態(tài)參數(shù)信息。測(cè)量方法：SISO：選取一點(diǎn)作單點(diǎn)激振，在所有測(cè)量點(diǎn)依次測(cè)量響應(yīng)

或選取一點(diǎn)作測(cè)量響應(yīng)，在所有測(cè)量點(diǎn)輪流測(cè)量激振SIMO：選取一點(diǎn)作單點(diǎn)激振，在所有測(cè)量點(diǎn)同時(shí)測(cè)量響應(yīng)MIMO：選取多點(diǎn)同時(shí)激振，在所有測(cè)量點(diǎn)同時(shí)測(cè)量響應(yīng)結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗(yàn)技術(shù)結(jié)構(gòu)模態(tài)實(shí)驗(yàn)基本步驟：將試驗(yàn)結(jié)構(gòu)以適當(dāng)?shù)姆绞街纹饋?lái)選擇適當(dāng)方式激勵(lì)試驗(yàn)結(jié)構(gòu)，通過(guò)拾振系統(tǒng)測(cè)量，記錄激勵(lì)和響應(yīng)的時(shí)間歷程（用時(shí)域法往往只需記錄響應(yīng)的時(shí)間歷程）將記錄到的激勵(lì)和響應(yīng)時(shí)域信號(hào)送入A/D（模/數(shù)）轉(zhuǎn)換器，將連續(xù)的模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散的數(shù)字信號(hào)（采用計(jì)算機(jī)記錄時(shí)域信號(hào)時(shí)，將此步并入2）如果采用頻域法進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，需將上述時(shí)域數(shù)字信號(hào)進(jìn)行FFT，獲得系統(tǒng)的離散頻響函數(shù)根據(jù)離散頻響函數(shù)或時(shí)間歷程信號(hào)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，估算出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)試件支承原則：盡量實(shí)現(xiàn)實(shí)際結(jié)構(gòu)所要求的邊界條件支承方式：約束支承方式：將試件安裝在基礎(chǔ)上

理想狀態(tài)：基礎(chǔ)絕對(duì)剛性。（難以達(dá)到）

試驗(yàn)中：基礎(chǔ)的頻響函數(shù)值遠(yuǎn)小于試件結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)值

基礎(chǔ)質(zhì)量至少為試件質(zhì)量的10倍試件支承支承方式：自由支承方式：試件處于懸空狀態(tài)

理想狀態(tài)：系統(tǒng)具有六個(gè)剛體模態(tài)（難以達(dá)到）

試驗(yàn)中：氣、磁懸掛空氣彈簧支承模態(tài)試驗(yàn)激勵(lì)方式分為單點(diǎn)激勵(lì)和多點(diǎn)激勵(lì)單點(diǎn)激勵(lì)：對(duì)測(cè)試結(jié)構(gòu)一次只激勵(lì)一個(gè)點(diǎn)的一個(gè)方向，而在其他任何坐標(biāo)上均沒有激勵(lì)作用。

單點(diǎn)激勵(lì)是SISO參數(shù)識(shí)別所要求的激勵(lì)方式多點(diǎn)激勵(lì)：對(duì)多個(gè)點(diǎn)同時(shí)施加激振力模態(tài)試驗(yàn)激勵(lì)信號(hào)正弦信號(hào)步進(jìn)式正弦激勵(lì)法自動(dòng)正弦慢掃描激勵(lì)快速掃描正弦激勵(lì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)自然隨機(jī)信號(hào)偽隨機(jī)信號(hào)瞬態(tài)隨機(jī)信號(hào)周期偽隨機(jī)信號(hào)模態(tài)試驗(yàn)激勵(lì)信號(hào)瞬態(tài)沖擊信號(hào)

一般由錘擊法產(chǎn)生階躍激勵(lì)

纜繩預(yù)拉試件，突然釋放或切斷纜繩，激起結(jié)構(gòu)對(duì)初始位移輸入的自由衰減振動(dòng)響應(yīng)環(huán)境激勵(lì)激勵(lì)點(diǎn)選擇原則：能激起試驗(yàn)頻帶內(nèi)全部模態(tài)，而且平均模態(tài)位移最大單點(diǎn)隨機(jī)激勵(lì)：

不在所要測(cè)量的任一階模態(tài)節(jié)點(diǎn)上，保證不丟失模態(tài)多點(diǎn)隨機(jī)激勵(lì)：

能同時(shí)激起試驗(yàn)頻帶內(nèi)各階模態(tài)測(cè)點(diǎn)及測(cè)量方法安排測(cè)試系統(tǒng)激勵(lì)設(shè)備傳感系統(tǒng)分析設(shè)備模態(tài)實(shí)驗(yàn)方法時(shí)域模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法SIMOMIMOTimeDomainmethodsIndirectmethodsDirectmethodsMDOFMDOFSIMOSISOMIMOLSCEITDCEPRCEERAARMADSPI模態(tài)試驗(yàn)設(shè)計(jì)試件邊界條件與支承方式設(shè)計(jì)和技術(shù)實(shí)施試驗(yàn)頻率范圍的確定試驗(yàn)方法（激