概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題集和答案解析45

./《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》作業(yè)集及答案第1章概率論的基本概念§1.1隨機(jī)試驗(yàn)及隨機(jī)事件1.<1>一枚硬幣連丟3次,觀察正面H﹑反面T出現(xiàn)的情形.樣本空間是：S=；<2>一枚硬幣連丟3次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).樣本空間是：S=；2.<1>丟一顆骰子.A：出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),則A=；B：數(shù)點(diǎn)大于2,則B=.<2>一枚硬幣連丟2次,A：第一次出現(xiàn)正面,則A=；B：兩次出現(xiàn)同一面,則=；C：至少有一次出現(xiàn)正面,則C=.§1.2隨機(jī)事件的運(yùn)算1.設(shè)A、B、C為三事件,用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件：<1>A、B、C都不發(fā)生表示為：.<2>A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生表示為：.<3>A與B都不發(fā)生,而C發(fā)生表示為：.<4>A、B、C中最多二個(gè)發(fā)生表示為：.<5>A、B、C中至少二個(gè)發(fā)生表示為：.<6>A、B、C中不多于一個(gè)發(fā)生表示為：.2.設(shè)：則〔1,〔2,〔3,〔4=,〔5=。§1.3概率的定義和性質(zhì)已知,則<1>,<2><>=,<3>=.2.已知?jiǎng)t=.§1.4古典概型1.某班有30個(gè)同學(xué),其中8個(gè)女同學(xué),隨機(jī)地選10個(gè),求:<1>正好有2個(gè)女同學(xué)的概率,<2>最多有2個(gè)女同學(xué)的概率,<3>至少有2個(gè)女同學(xué)的概率.2.將3個(gè)不同的球隨機(jī)地投入到4個(gè)盒子中,求有三個(gè)盒子各一球的概率.§1.5條件概率與乘法公式1．丟甲、乙兩顆均勻的骰子,已知點(diǎn)數(shù)之和為7,則其中一顆為1的概率是。2.已知?jiǎng)t?！?.6全概率公式有10個(gè)簽,其中2個(gè)"中",第一人隨機(jī)地抽一個(gè)簽,不放回,第二人再隨機(jī)地抽一個(gè)簽,說明兩人抽"中‘的概率相同。第一盒中有4個(gè)紅球6個(gè)白球,第二盒中有5個(gè)紅球5個(gè)白球,隨機(jī)地取一盒,從中隨機(jī)地取一個(gè)球,求取到紅球的概率?！?.7貝葉斯公式某廠產(chǎn)品有70%不需要調(diào)試即可出廠,另30%需經(jīng)過調(diào)試,調(diào)試后有80%能出廠,求〔1該廠產(chǎn)品能出廠的概率,〔2任取一出廠產(chǎn)品,求未經(jīng)調(diào)試的概率。將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去,接收站收到時(shí),A被誤收作B的概率為0.02,B被誤收作A的概率為0.01,信息A與信息B傳遞的頻繁程度為3:2,若接收站收到的信息是A,問原發(fā)信息是A的概率是多少？§1.8隨機(jī)事件的獨(dú)立性1.電路如圖,其中A,B,C,D為開關(guān)。設(shè)各開關(guān)閉合與否相互獨(dú)立,且每一開關(guān)閉合的概率均為p,求L與R為通路〔用T表示的概率。ABLRCD甲,乙,丙三人向同一目標(biāo)各射擊一次,命中率分別為0.4,0.5和0.6,是否命中,相互獨(dú)立,求下列概率:<1>恰好命中一次,<2>至少命中一次。第1章作業(yè)答案§1.11：〔1；〔22：〔1；〔2正正,正反正正,反反正正,正反,反正}?！?.21：<1>；<2>；<3>；<4>；<5>；<6>或；2：<1>；<2>；<3>；〔4或；〔5?！?.31：<1>=0.3,<2>=0.2,<3>=0.7.2：>=0.4.§1.41：<1>,<2><,<3>1-<.2：.§1.51：.2/6；2：1/4。§1.61：設(shè)A表示第一人"中",則P<A>=2/10設(shè)B表示第二人"中",則P<B>=P<A>P<B|A>+P<>P<B|>=兩人抽"中‘的概率相同,與先后次序無關(guān)。2：隨機(jī)地取一盒,則每一盒取到的概率都是0.5,所求概率為：p=0.5×0.4+0.5×0.5=0.45§1.71：〔194%〔270/94；2：0.993；§1.8.1：用A,B,C,D表示開關(guān)閉合,于是T=AB∪CD,從而,由概率的性質(zhì)及A,B,C,D的相互獨(dú)立性P<T>=P<AB>+P<CD>-P<ABCD>=P<A>P<B>+P<C>P<D>–P<A>P<B>P<C>P<D>2：<1>0.4<1-0.5><1-0.6>+<1-0.4>0.5<1-0.6>+<1-0.4><1-0.5>0.6=0.38；<2>1-<1-0.4><1-0.5><1-0.6>=0.88.第2章隨機(jī)變量及其分布§2.1隨機(jī)變量的概念,離散型隨機(jī)變量1一盒中有編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)球,從中隨機(jī)地取3個(gè),用X表示取出的3個(gè)球中的最大號(hào)碼.,試寫出X的分布律.2某射手有5發(fā)子彈,每次命中率是0.4,一次接一次地射擊,直到命中為止或子彈用盡為止,用X表示射擊的次數(shù),試寫出X的分布律。§2.2分布和泊松分布1某程控交換機(jī)在一分鐘內(nèi)接到用戶的呼叫次數(shù)X是服從λ=4的泊松分布,求<1>每分鐘恰有1次呼叫的概率；<2>每分鐘只少有1次呼叫的概率；<3>每分鐘最多有1次呼叫的概率；2設(shè)隨機(jī)變量X有分布律：X23,Y～π<X>,試求：p0.40.6〔1P<X=2,Y≤2>；<2>P<Y≤2>；<3>已知Y≤2,求X=2的概率。§2.3貝努里分布一辦公室內(nèi)有5臺(tái)計(jì)算機(jī),調(diào)查表明在任一時(shí)刻每臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率為0.6,計(jì)算機(jī)是否被使用相互獨(dú)立,問在同一時(shí)刻<1>恰有2臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少？<2>至少有3臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少？<3>至多有3臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少？<4>至少有1臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少？2設(shè)每次射擊命中率為0.2,問至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊,才能使至少擊中一次的概率不小于0.9？§2.4隨機(jī)變量的分布函數(shù)1設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是：F<x>=求P<X≤0>；P；P<X≥1>,<2>寫出X的分布律。2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是：F<x>=,求〔1常數(shù)A,<2>P.§2.5連續(xù)型隨機(jī)變量1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為：〔1求常數(shù)的值；〔2求X的分布函數(shù)F<x>,畫出F<x>的圖形,〔3用二種方法計(jì)算P<-0.5<X<0.5>.2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為：F<x>=求X的密度函數(shù),畫出的圖形,<2>并用二種方法計(jì)算P<X>0.5>.§2.6均勻分布和指數(shù)分布1設(shè)隨機(jī)變量K在區(qū)間<0,5>上服從均勻分布,求方程4+4Kx+K+2=0有實(shí)根的概率。2假設(shè)打一次電話所用時(shí)間〔單位：分X服從的指數(shù)分布,如某人正好在你前面走進(jìn)電話亭,試求你等待：〔1超過10分鐘的概率；〔210分鐘到20分鐘的概率。§2.7正態(tài)分布1隨機(jī)變量X～N<3,4>,<1>求P<2<X≤5>,P<-4<X≤10>,P<|X|>2>,P<X>3>；確定c,使得P<X>c>=P<X<c>。2某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布,μ=160,若要求P<120<X<200>≥0.80,試問σ最多取多大？§2.8隨機(jī)變量函數(shù)的分布1設(shè)隨機(jī)變量的分布律為；X012p0.30.40.3Y=2X–1,求隨機(jī)變量的分布律。2設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為：,；求隨機(jī)變量Y的密度函數(shù)。3.設(shè)隨機(jī)變量服從〔0,1上的均勻分布,,求隨機(jī)變量Y的密度函數(shù)。第2章作業(yè)答案§2.11：X345p0.10.30.62：X12345p0.40.6×0.40.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.6×1§2.21：<1>P<X=1>=P<X≥1>–P<X≥2>=0.981684–0.908422=0.073262,<2>P<X≥1>=0.981684,<3>P<X≤1>=1-P<X≥2>=1–0.908422=0.091578。2：<1>由乘法公式：P<X=2,Y≤2>=P<X=2>P<Y≤2|X=2>=0.4×<>=2〔2由全概率公式：P<Y≤2>=P<X=2>P<Y≤2|X=2>+P<X=3>P<Y≤2|X=3>=0.4×5+0.6×=0.27067+0.25391=0.52458〔3由貝葉斯公式：P<X=2|Y≤2>=§2.31：設(shè)X表示在同一時(shí)刻被使用的臺(tái)數(shù),則X～B<5,0.6>,<1>P<X=2>=<2>P<X≥3>=<3>P<X≤3>=1-<4>P<X≥1>=1-2：至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊.§2.41：〔1P<X≤0>=0.5；P=0.5；P<X≥1>=0.5,<2>X的分布律為：X-11P0.50.52：<1>A=1,<2>P=1/6§2.51：〔1,〔2；〔3P<-0.5<X<0.5>=；或=F<0,5>–F<-0.5>=。2：〔1〔2§2.61：3/52：§2.71：<1>0.5328,0.9996,0.6977,0.5；<2>c=3,2：σ≤31.25?！?.81：Y-113p0.30.40.32：,3：；第3章多維隨機(jī)變量§3.1二維離散型隨機(jī)變量設(shè)盒子中有2個(gè)紅球,2個(gè)白球,1個(gè)黑球,從中隨機(jī)地取3個(gè),用X表示取到的紅球個(gè)數(shù),用Y表示取到的白球個(gè)數(shù),寫出<X,Y>的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為：XY012試根椐下列條件分別求a和b的值；00.10.2a<1>；10.1b0.2<2>；<3>設(shè)是的分布函數(shù),?！?.2二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為：求〔1常數(shù)k；〔2P<X<1/2,Y<1/2>；<3>P<X+Y<1>；<4>P<X<1/2>。2．的聯(lián)合密度函數(shù)為：求〔1常數(shù)k；〔2P<X+Y<1>；<3>P<X<1/2>?！?.3邊緣密度函數(shù)設(shè)<X,Y>的聯(lián)合密度函數(shù)如下,分別求與的邊緣密度函數(shù)。2.設(shè)<X,Y>的聯(lián)合密度函數(shù)如下,分別求與的邊緣密度函數(shù)。§3.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性<X,Y>的聯(lián)合分布律如下,XY123試根椐下列條件分別求a和b的值；11/61/91/18<1>；2ab1/9<2>；〔3已知與相互獨(dú)立。<X,Y>的聯(lián)合密度函數(shù)如下,求常數(shù)c,并討論與是否相互獨(dú)立？第3章作業(yè)答案§3.11：XY122：<1>a=0.1b=0.310.40.30.7<2>a=0.2b=0.220.30.0.3<3>a=0.3b=0.10.70.31§3.21：<1>k=1；<2>P<X<1/2,Y<1/2>=1/8；<3>P<X+Y<1>=1/3；<4>P<X<1/2>=3/8。2：<1>k=8；<2>P<X+Y<1>=1/6；<3>P<X<1/2>=1/16?！?.31：；；2：；；§3.41：〔1a=1/6b=7/18；<2>a=4/9b=1/9；〔3a=1/3,b=2/9。2：c=6,X與Y相互獨(dú)立。第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征§4.1數(shù)學(xué)期望1．盒中有5個(gè)球,其中2個(gè)紅球,隨機(jī)地取3個(gè),用X表示取到的紅球的個(gè)數(shù),則EX是：〔A1；〔B1.2；〔C1.5；〔D2.設(shè)有密度函數(shù)：,求,并求大于數(shù)學(xué)期望的概率。設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為：XY012已知,00.10.2a則a和b的值是：10.1b0.2〔Aa=0.1,b=0.3；〔Ba=0.3,b=0.1；〔Ca=0.2,b=0.2；〔Da=0.15,b=0.25。4．設(shè)隨機(jī)變量<X,Y>的聯(lián)合密度函數(shù)如下：求?！?.2數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1．設(shè)X有分布律：X0123則是：p0.10.20.30.4〔A1；〔B2；〔C3；〔D4.設(shè)有,試驗(yàn)證,但與不相互獨(dú)立。§4.3方差丟一顆均勻的骰子,用X表示點(diǎn)數(shù),求.有密度函數(shù)：,求D<X>.§4.4常見的幾種隨機(jī)變量的期望與方差設(shè),,相互獨(dú)立,則的值分別是：-1.6和4.88；〔B-1和4；〔C1.6和4.88；〔D1.6和-4.88.2.設(shè),與有相同的期望和方差,求的值。〔A0和8；〔B1和7；〔C2和6；〔D3和5.§4.6獨(dú)立性與不相關(guān)性矩1．下列結(jié)論不正確的是〔〔A與相互獨(dú)立,則與不相關(guān)；〔B與相關(guān),則與不相互獨(dú)立；〔C,則與相互獨(dú)立；〔D,則與不相關(guān)；2．若,則不正確的是〔〔A；〔B；〔C；〔D；3．〔有聯(lián)合分布律如下,試分析與的相關(guān)性和獨(dú)立性。XY－101.－11/81/81/801/801/811/81/81/84．是與不相關(guān)的〔〔A必要條件；〔B充分條件：〔C充要條件；〔D既不必要,也不充分。5.是與相互獨(dú)立的〔必要條件；〔B充分條件：〔C充要條件；〔D既不必要,也不充分。6.設(shè)隨機(jī)變量<X,Y>有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試驗(yàn)證與不相關(guān),但不獨(dú)立。第4章作業(yè)答案§4.11：B；2：3/2,2,3/4,37/64；3：D；4：2/3,4/3,17/9；§4.21：D；§4.31：7/2,35/12；2：11/36；§4.41：A；2：B；§4.51：0.2,0.355；2：－1/144,－1/11；§4.61：C；2：C；3：與不相關(guān),但與不相互獨(dú)立；4：C；5：A；第5章極限定理*§5.1大數(shù)定理§5.2中心極限定理一批元件的壽命〔以小時(shí)計(jì)服從參數(shù)為0.004的指數(shù)分布,現(xiàn)有元件30只,一只在用,其余29只備用,當(dāng)使用的一只損壞時(shí),立即換上備用件,利用中心極限定理求30只元件至少能使用一年〔8760小時(shí)的近似概率。某一隨機(jī)試驗(yàn),"成功"的概率為0.04,獨(dú)立重復(fù)100次,由泊松定理和中心極限定理分別求最多"成功"6次的概率的近似值。第5章作業(yè)答案§5.22：0.1788；3：0.889,0.841；第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)§6.1數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的幾個(gè)概念有n=10的樣本；1.2,1.4,1.9,2.0,1.5,1.5,1.6,1.4,1.8,1.4,則樣本均值=,樣本均方差,樣本方差。2．設(shè)總體方差為有樣本,樣本均值為,則?！?.2數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的三個(gè)分布1.查有關(guān)的附表,下列分位點(diǎn)的值：=,=,=。2．設(shè)是總體的樣本,求?！?.3一個(gè)正態(tài)總體的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的分布1．設(shè)總體,樣本,樣本均值,樣本方差,則,,～,～,第6章作業(yè)答案§6.11．；2.；§6.21．-1.29,9.236,-1.3722；2．；§6.31.；第7章參數(shù)估計(jì)§7.1矩估計(jì)法和順序統(tǒng)計(jì)量法設(shè)總體的密度函數(shù)為：,有樣本,求未知參數(shù)的矩估計(jì)。2.每分鐘通過某橋量的汽車輛數(shù),為估計(jì)的值,在實(shí)地隨機(jī)地調(diào)查了20次,每次1分鐘,結(jié)果如下：次數(shù)：23456