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楊輝三角楊輝三角四(2)王平
楊輝-明代官員基本信息中文名楊輝國籍:中國出生地浙江杭州逝世日期1298年楊輝,字謙光,漢族,錢塘(今杭州)人,南宋杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家,生平履歷不詳。由現(xiàn)存文獻(xiàn)可推知,楊輝擔(dān)任過南宋地方行政官員,為政清廉,足跡遍及蘇杭一帶,他署名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷。他在總結(jié)民間乘除捷算法、“垛積術(shù)”、縱橫圖以及數(shù)學(xué)教育方面,均做出了重大的貢獻(xiàn)。他是世界上第一個(gè)排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。著有《詳解九章算法》、《日用算法》、《乘除通變本末》、《田畝比類乘除捷法》、《續(xù)古摘奇算法》。與秦九韶、李冶、朱世杰并稱“宋元數(shù)學(xué)四大家”。楊輝一生留下了大量的著述,他著名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷,它們是:《詳解九章算法》12卷(1261年),《日用算法》2卷(1262年),《乘除通變本末》3卷(1274年,第3卷與他人合編),《田畝比類乘除捷法》2卷(1275年),《續(xù)古摘奇算法》2卷(1275年,與他人合編),其中后三種為楊輝后期所著,一般稱之為《楊輝算法》。他非常重視數(shù)學(xué)教育的普及和發(fā)展,在《算法通變本末》中,楊輝為初學(xué)者制訂的"習(xí)算綱目"是中國數(shù)學(xué)教育史上的重要文獻(xiàn)。楊輝三角簡介簡介楊輝三角形,又稱賈憲三角形,帕斯卡三角形,是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列。在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》(1261年)一書中用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律。北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開方運(yùn)算。楊輝,字謙光,南宋時(shí)期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中,輯錄了如上所示的三角形數(shù)表,稱之為“開方作法本源”圖,并說明此表引自11世紀(jì)前半賈憲的《釋鎖算術(shù)》,并繪畫了“古法七乘方圖”。故此,楊輝三角又被稱為“賈憲三角”。元朝數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》(1303年)擴(kuò)充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”。意大利人稱之為“塔塔利亞三角形”以紀(jì)念在16世紀(jì)發(fā)現(xiàn)一元三次方程解的塔塔利亞。在歐洲直到1623年以后,法國數(shù)學(xué)家帕斯卡在13歲時(shí)發(fā)現(xiàn)了“帕斯卡三角”。布萊士·帕斯卡的著作(1655年)介紹了這個(gè)三角形。帕斯卡搜集了幾個(gè)關(guān)于它的結(jié)果,并以此解決一些概率論上的問題,影響面廣泛,(1708年)和亞伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡來稱呼這個(gè)三角形。近年來國外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國,所以有些書上稱這是“中國三角形”(Chinesetriangle)楊輝三角的秘密楊輝三角最本質(zhì)的特征是:它的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的,而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和。其實(shí),中國古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域中處于遙遙領(lǐng)先的地位。中國古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章,而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁。楊輝,字謙光,北宋時(shí)期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中,輯錄了如上所示的三角形數(shù)表,稱之為“開方作法本源”圖。而這樣一個(gè)三角在我們的奧數(shù)競賽中也是經(jīng)常用到,最簡單的就是叫你找規(guī)律。具體的用楊輝三角的簡史:北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開方運(yùn)算,南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》(1961年)記載并保存了“賈憲三角”,故稱楊輝三角。元朝數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》(1303年)擴(kuò)充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”。時(shí)間上:楊輝(一二六一)朱世杰(一三○三)也明顯就可以知道是楊輝發(fā)現(xiàn)的朱世杰只是擴(kuò)充了其中的內(nèi)容同時(shí)這也是多項(xiàng)式(a+b)^n打開括號后的各個(gè)項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律即為因此楊輝三角第x層第y項(xiàng)直接就是(ynCrx)我們也不難得到第x層的所有項(xiàng)的總和為2^(x-1)(即(a+b)^x中a,b都為1的時(shí)候)[上述y^x指y的x次方;(anCrb)指組合數(shù)]而這樣一個(gè)三角在我們的奧數(shù)競賽中也是經(jīng)常用到,最簡單的就是叫你找規(guī)律。具體的用法我們會在教學(xué)內(nèi)容中講授。在國外,這也叫做“帕斯卡三角形”.S1:這些數(shù)排列的形狀像等腰三角形,兩腰上的數(shù)都是1S2:從右往左斜著看,從左往右斜著看,和前面的看法一樣。我發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列是左右對稱的。S3:上面兩個(gè)數(shù)之和就是下面的一行的數(shù)。S4:這行數(shù)是第幾行,就是第二個(gè)數(shù)加一?!梅?,在我國也稱縱橫圖,它的神奇特點(diǎn)吸引了無數(shù)人對它的癡迷。從我國古代的“河出圖,洛出書,圣人則之”的傳說起,系統(tǒng)研究幻方的第一人,當(dāng)數(shù)我國古代數(shù)學(xué)家——楊輝。楊輝,字謙光,錢塘(今杭州)人,我國南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家,與秦九韶、李冶、朱世杰并稱宋元四大數(shù)學(xué)家,他在我國古代數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育史上占有十分重要的地位。楊輝對幻方的研究源于一個(gè)小故事。當(dāng)時(shí)楊輝是臺州的地方官,一次外出巡游,碰到一孩童擋道,楊輝問明原因方知是一孩童在地做一道數(shù)學(xué)算題,楊輝一聽來了興趣,下轎來到孩童旁問是什么算題。原來,這個(gè)孩童在算一位老先生出的一道趣題:把1到9的數(shù)字分行排列,不論豎著加、橫著加,還是斜著加,結(jié)果都等于15。楊輝看到這個(gè)算題,時(shí)想起來他在西漢學(xué)者戴德編纂的《大戴禮》一書中也見過。楊輝想到這兒,和孩童一起算了起來,直到午后,兩人終于將算式擺出來了。后來,楊輝隨孩童來到老先生家里,與老先生談?wù)撈饠?shù)學(xué)問題來。老先生說:“北周的甄彎注《數(shù)術(shù)記遺》一書中寫過‘九宮者,二四為肩,六八為足,左三右七,戴九履一,五居中央。”’楊輝聽了,這與自己與孩童擺出來的完全一樣。便問老先生:“你可知這個(gè)九宮圖是如何造出來的?”老先生說不知道。楊輝回到家中,反復(fù)琢磨。一天,他終于發(fā)現(xiàn)一條規(guī)律,并總結(jié)成四句話:“九子斜排,上下對易,左右相更,四維挺出”。就是說:先把l~9九個(gè)數(shù)依次斜排,再把上l下9兩數(shù)對調(diào),左7右3兩數(shù)對調(diào),最后把四面的2、4、6、8向外面挺出,這樣三階幻方就填好了。楊輝研究出三階幻方(也叫絡(luò)書或九宮圖)的構(gòu)造方法后
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