計(jì)算動(dòng)力學(xué)第二章

§2.1相平面的基本概念§2.2奇點(diǎn)與極限環(huán)§2.3相平面分析第2章相平面法1§2.1相平面的基本概念

相平面法由龐加萊1885年首先提出。該方法通過(guò)圖解法將一階和二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程轉(zhuǎn)化為位置和速度平面上的相軌跡，從而比較直觀(guān)、準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)和穩(wěn)態(tài)精度以及初始條件及參數(shù)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響。

2相平面法概述

相平面法是一種求解一、二階常微分方程的圖解法,即二維狀態(tài)空間法。這種方法的實(shí)質(zhì)是將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程形象地轉(zhuǎn)化為相平面上一個(gè)點(diǎn)的移動(dòng),通過(guò)研究這個(gè)點(diǎn)移動(dòng)的軌跡,就能獲得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的全部信息.3相平面法的基本概念式中,是的線(xiàn)性或非線(xiàn)性函數(shù).設(shè)二階系統(tǒng)的常微分方程如下：

由微分方程的理論可知，只要

是解析的，那么在給定的初始條件下，方程的解是唯一的。這個(gè)唯一的解可以寫(xiě)成時(shí)間解的形式——x(t),也可以寫(xiě)成以t為參變量的形式，用來(lái)表示。tx(t)x4相軌跡1.相軌跡：如果我們?nèi)和作為平面的直角坐標(biāo)，則系統(tǒng)在每一時(shí)刻的均相應(yīng)于平面上的一點(diǎn)。當(dāng)t變化時(shí)，這一點(diǎn)在

平面上將繪出一條相應(yīng)的軌跡-----相軌跡。它描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。5相軌跡二階系統(tǒng)微分方程：兩個(gè)獨(dú)立變量： 位置量 速度量 構(gòu)成相平面 為相變量。給定初始條件相變量 在相平面上的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)軌跡稱(chēng)為相軌跡。

6相平面2.相平面:

平面稱(chēng)為相平面。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，初始條件不同時(shí)，其方程的解也不同。因而針對(duì)不同的初始條件，可以繪出不同的相軌跡。若以各種可能的狀態(tài)作為初始條件，則可得到一組相軌跡族。7相平面圖3.相平面圖：相平面及其上的相軌跡族組成的圖形稱(chēng)為系統(tǒng)的相平面圖。它表示系統(tǒng)在各種初始條件下的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。8相軌跡的斜率方程設(shè)二階系統(tǒng)的方程為：改寫(xiě)為：兩邊除以可得：----相軌跡的斜率方程9等傾線(xiàn)等傾線(xiàn)：在相平面中，相軌跡斜率相等的點(diǎn)的連線(xiàn),即等傾線(xiàn)應(yīng)滿(mǎn)足方程：由前述可知，相軌跡的斜率方程為：

則等傾線(xiàn)方程為：10等傾線(xiàn)可見(jiàn)，等傾線(xiàn)為過(guò)原點(diǎn)、斜率為的直線(xiàn)。11等傾線(xiàn)注意：兩等傾線(xiàn)之間用其平均值來(lái)表示相軌跡。若給定系統(tǒng)參數(shù)：=0.5,=1.取不同的值，求得等傾線(xiàn)如右圖所示：若給定初始條件為A,則可作出相軌跡為ABCDE.....等傾線(xiàn)和相軌跡=-1.4=-1.6=-2=-3=1=2ABCDEx0=-1=∞=0則等傾線(xiàn)為：12所有通過(guò)等傾線(xiàn)的相軌跡都有相同的斜率13普通點(diǎn)

這樣的點(diǎn)稱(chēng)為普通點(diǎn)。通過(guò)普通點(diǎn)的相軌跡只有一條。（即相軌跡曲線(xiàn)不會(huì)在普通點(diǎn)相交）

由相軌跡的斜率方程可知,相平面上的點(diǎn)只要不同時(shí)滿(mǎn)足,則該點(diǎn)相軌跡的斜率是唯一確定的。

14奇點(diǎn)

若相平面中的某點(diǎn)，同時(shí)滿(mǎn)足,則該點(diǎn)相軌跡的斜率,為不定值，這類(lèi)特殊點(diǎn)稱(chēng)為奇點(diǎn)。通過(guò)奇點(diǎn)的相軌跡不止一條，它是相軌跡曲線(xiàn)的交點(diǎn)。二階線(xiàn)性系統(tǒng)：奇點(diǎn)是唯一的，位于原點(diǎn)。二階非線(xiàn)性系統(tǒng)：奇點(diǎn)可能不止一個(gè)。15相平面分析方法

由于相平面圖表示了系統(tǒng)在各種初始條件下的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，因而，只要繪出了系統(tǒng)的相平面圖，就可以用它來(lái)分析：3）穩(wěn)態(tài)誤差。1）系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2）瞬態(tài)響應(yīng)性能；16例題例2-1.設(shè)系統(tǒng)的微分方程為：

圖中的箭頭表示系統(tǒng)的狀態(tài)沿相軌跡的移動(dòng)方向。

其相平面圖如右圖所示相平面圖1x0pDABCE17例題

（1）在各種初始條件下（任意一條相軌跡），系統(tǒng)都趨向原點(diǎn)（0,0）,說(shuō)明原點(diǎn)是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由圖可知：

可將其狀態(tài)轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為時(shí)間響應(yīng)曲線(xiàn)x(t)來(lái)驗(yàn)證如圖所示

（2）如果初始條件為：x(0)=1，。則相應(yīng)的相軌跡為ABCDE0。系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為阻尼振蕩形式，最大超調(diào)量為p，穩(wěn)態(tài)誤差為零。10x(t)tABCDE時(shí)間響應(yīng)曲線(xiàn)18§2.2奇點(diǎn)與極限環(huán)由前述可知，奇點(diǎn)是相平面中斜率不確定的點(diǎn)，即有多條相軌跡以不同的斜率通過(guò)或逼近該點(diǎn)。

所以奇點(diǎn)是平衡點(diǎn)。奇點(diǎn)及臨近的相軌跡反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。一、奇點(diǎn)19奇點(diǎn)鄰域的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)奇點(diǎn)鄰域的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)由于在奇點(diǎn)上，相軌跡的斜率不定，所以可以引出無(wú)窮條相軌跡。相軌跡在奇點(diǎn)鄰域的運(yùn)動(dòng)可以分為1.趨向于奇點(diǎn)2.遠(yuǎn)離奇點(diǎn)3.包圍奇點(diǎn)

20非線(xiàn)性系統(tǒng)奇點(diǎn)非線(xiàn)性系統(tǒng)的方程相平面上孤立奇點(diǎn)的位置可以從下列方程21非線(xiàn)性系統(tǒng)奇點(diǎn)在原點(diǎn)處，展成臺(tái)勞級(jí)數(shù)22非線(xiàn)性系統(tǒng)奇點(diǎn)用矩陣表示其中23非線(xiàn)性系統(tǒng)奇點(diǎn)采用變換[b]為[a]的復(fù)模態(tài)矩陣，得到24結(jié)點(diǎn)如果特征值1和2為兩個(gè)不同的實(shí)根且同號(hào)，對(duì)應(yīng)于此種情況的奇點(diǎn)稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)。穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)25鞍點(diǎn)如果特征值1和2為兩個(gè)不同的實(shí)根且異號(hào)，對(duì)應(yīng)于此種情況的奇點(diǎn)稱(chēng)為鞍點(diǎn)。26焦點(diǎn)如果特征值1和2為共軛復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)于此種情況的奇點(diǎn)稱(chēng)為焦點(diǎn)。穩(wěn)定焦點(diǎn)27中心如果特征值1和2為共軛虛數(shù)，對(duì)應(yīng)于此種情況的奇點(diǎn)稱(chēng)為中心。中心28極限環(huán)相平面內(nèi)的封閉軌線(xiàn)是對(duì)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的定性描述。穩(wěn)定的中心周?chē)芗姆忾]軌線(xiàn)對(duì)應(yīng)于單自由度保守系統(tǒng)的自由振動(dòng)，振幅取決于初始條件。孤立的封閉軌線(xiàn)稱(chēng)作極限環(huán)，振幅取決于系統(tǒng)參數(shù)。極限環(huán)穩(wěn)定性的幾何解釋29穩(wěn)定極限環(huán)特點(diǎn):極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡都卷向極限環(huán),自振蕩是穩(wěn)定的.環(huán)內(nèi):不穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡發(fā)散環(huán)外:穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡收斂穩(wěn)定極限環(huán)0x(t)t030不穩(wěn)定極限環(huán)特點(diǎn):極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡都卷離極限環(huán)環(huán)內(nèi):穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡收斂環(huán)外:不穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡發(fā)散這種系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定,大范圍不穩(wěn)定.設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量增大穩(wěn)定區(qū)域(即增大極限環(huán)).不穩(wěn)定極限環(huán)x(t)t0031半穩(wěn)定的極限環(huán)環(huán)內(nèi),環(huán)外都不穩(wěn)定.

具有這種極限環(huán)的系統(tǒng)是不會(huì)產(chǎn)生自振蕩的,系統(tǒng)的狀態(tài)最終是發(fā)散的。a)半穩(wěn)定的極限環(huán)0x(t)t032半穩(wěn)定的極限環(huán)

環(huán)內(nèi),環(huán)外都是穩(wěn)定的.具有這種極限環(huán)的系統(tǒng)也不會(huì)產(chǎn)生自振蕩的,系統(tǒng)的狀態(tài)最終是趨向于環(huán)內(nèi)的穩(wěn)定奇點(diǎn)。.b)半穩(wěn)定的極限環(huán)0x(t)t033§2.3相平面分析

對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，相平面分析法的步驟為：（1）寫(xiě)出一階微分方程；（2）求出奇點(diǎn)位置；（3）畫(huà)出相軌跡。34單擺例題例2-2無(wú)阻尼單擺的自由振蕩擺錘質(zhì)量為m的單擺的運(yùn)動(dòng)方程為(1)35單擺例題令得(2)36單擺例題當(dāng)很小時(shí)，平衡點(diǎn)兩個(gè)：（0，0）和（，0）1.在（0，0）處37單擺例題特征值為共軛虛根，奇點(diǎn)為中心38單擺例題2.在（，0）處39單擺例題特征值為實(shí)數(shù)且符號(hào)相反，奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)40單擺例題由式(2)中的兩式相除．并消去t，則可得：再將式(5)改寫(xiě)為(3)積分上式，可得：(4)(5)41單擺例題式中h是一個(gè)積分常數(shù)，它正比于系統(tǒng)的總能量，可由初始條件來(lái)確定其值。(6)42自激振動(dòng)例題例2-3范得波（VanderPol）方程范得波方程存在著和起始條件無(wú)關(guān)的定常解，稱(chēng)為自激振動(dòng)系統(tǒng)。43自激振動(dòng)例題將它化為兩個(gè)一階方程上面兩式相除，則得相跡的微分方程為它有唯一的奇點(diǎn)(0，0)。44自激振動(dòng)例題其一次近似系統(tǒng)顯然有45自激振動(dòng)例題其特征值為當(dāng)ε＞2時(shí),平衡點(diǎn)(0，0)為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。46自激振動(dòng)例題當(dāng)ε<2時(shí),平衡點(diǎn)(0，0)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。當(dāng)ε=2時(shí),平衡點(diǎn)(0，0)為不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)。由此可知，不論ε為何值；平衡點(diǎn)(0，0)都是不穩(wěn)定的，且相跡均以平衡點(diǎn)為漸近點(diǎn)，而相點(diǎn)沿相跡的運(yùn)動(dòng)總是背離平衡點(diǎn)的。47