結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)之結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計(jì)算

第八講結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算工程學(xué)院海洋工程系劉臻結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)

從穩(wěn)定性角度考慮，平衡狀態(tài)具有三種情況：（1）穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（2）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（3）中性平衡狀態(tài)；結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)

假設(shè)結(jié)構(gòu)原來(lái)處于某個(gè)平衡狀態(tài)，后來(lái)由于受到輕微擾動(dòng)而稍微偏離原來(lái)位置。當(dāng)干擾消失后1）若結(jié)構(gòu)能夠回到原來(lái)的平衡位置，

則原來(lái)的平衡狀態(tài)成為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。2）若結(jié)構(gòu)繼續(xù)偏離，不能夠回到原來(lái)的平衡位置，

則原來(lái)的平衡狀態(tài)成為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。3）結(jié)構(gòu)由穩(wěn)定平衡過(guò)渡到不穩(wěn)定平衡的中間狀態(tài)

則為中性平衡狀態(tài)。穩(wěn)定計(jì)算的兩類問(wèn)題

研究穩(wěn)定問(wèn)題是考慮變形后的狀態(tài)來(lái)進(jìn)行分析的，分析時(shí)有大變形和小變形兩種理論。

穩(wěn)定是指對(duì)結(jié)構(gòu)施加一微小干擾，使其離開(kāi)初始位置，當(dāng)干擾力撤去以后，結(jié)構(gòu)能恢復(fù)到原來(lái)的平衡位置。反之，若干擾力撤去以后不能回到原來(lái)的位置，則稱結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。

工程中通常有兩類失穩(wěn)問(wèn)題，即第一類穩(wěn)定問(wèn)題和第二類穩(wěn)定問(wèn)題。對(duì)于沒(méi)有缺陷的完善體系，屬于第一類失穩(wěn)問(wèn)題；對(duì)于存在初彎曲或初偏心等缺陷的結(jié)構(gòu)，其失穩(wěn)時(shí)一般遵循第二類穩(wěn)定問(wèn)題的規(guī)律。中心壓桿的荷載位移曲線第一類穩(wěn)定問(wèn)題（分支點(diǎn)失穩(wěn)）特征：當(dāng)荷載小于臨界荷載時(shí)，結(jié)構(gòu)無(wú)初始位移，受到干擾力作用時(shí)，變形可恢復(fù)；當(dāng)荷載大于臨界荷載時(shí)，結(jié)構(gòu)受到一微小干擾就會(huì)突然產(chǎn)生較大的側(cè)移而失穩(wěn)。

Pcr稱為臨界荷載，它對(duì)應(yīng)的狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)，因?yàn)锽點(diǎn)為穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡的分支點(diǎn)，所以Pcr又稱為分支荷載，又由于結(jié)構(gòu)破壞的突然性，Pcr又稱屈曲荷載。ABP<PcrP>PcrBAΔmB`不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡

壓桿和梁等結(jié)構(gòu)屈曲后所承擔(dān)的荷載可略有增加，但由于變形迅速增大，故不考慮此部分承載力。P2POP1DΔPcrD'CAB穩(wěn)定不穩(wěn)定小撓度大撓度

第二類穩(wěn)定問(wèn)題應(yīng)按大撓度理論建立應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，并且在荷載達(dá)到臨界值之前，結(jié)構(gòu)部分進(jìn)入塑性狀態(tài)，不在討論之列。第二類穩(wěn)定問(wèn)題（極值點(diǎn)失穩(wěn)）特征：結(jié)構(gòu)受力開(kāi)始就有變形，當(dāng)力大于Pcr時(shí)，結(jié)構(gòu)變形發(fā)展很快，在此過(guò)程中無(wú)突然變化，但是由于變形的增大或材料的應(yīng)力超出許可值導(dǎo)致結(jié)構(gòu)不能工作。

偏心受壓桿及荷載--位移曲線(a)偏心受壓桿ΔPePPPOPe(b)荷載——位移曲線（P—Δ

曲線）ΔPcrCAB穩(wěn)定驗(yàn)算與強(qiáng)度驗(yàn)算區(qū)別穩(wěn)定驗(yàn)算強(qiáng)度驗(yàn)算目的防止出現(xiàn)不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)保證結(jié)構(gòu)的實(shí)際最大應(yīng)力不超過(guò)相應(yīng)的強(qiáng)度指標(biāo)內(nèi)容研究結(jié)構(gòu)同時(shí)存在的兩種本質(zhì)不同的平衡狀態(tài)的最小荷載值，即臨界荷載求解結(jié)構(gòu)在荷載下的內(nèi)力問(wèn)題分析方法根據(jù)結(jié)構(gòu)變形后的狀態(tài)建立平衡方程求臨界荷載采用未變形前的狀態(tài)建立平衡方程及變形協(xié)調(diào)條件求內(nèi)力實(shí)質(zhì)是變形問(wèn)題是應(yīng)力問(wèn)題結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算

以下圖所示單自由度體系為例研究

時(shí)，體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，體系處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)lABP<Pcr（a）Lsinθθ（b）P>Pcrkθθ靜力法結(jié)構(gòu)變形后的平衡狀態(tài)如圖（b），由B點(diǎn)平衡得：方程有兩解：1、當(dāng)時(shí)，穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡按大撓度理論分析Lsinθθ（b）P>PcrθkθBAkθθP<kθ/l（a）θlsinθHdH’d穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡為求Pθ最大值，令即代入時(shí)式（1）可以得到：不考慮分枝點(diǎn)后P的增加，則時(shí)2、隨遇平衡不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡PcrDABCPθO(1)因此，按大撓度理論分析

θ可以為任意值，即結(jié)構(gòu)處于隨意平衡狀態(tài)。大小撓度理論求出的分枝點(diǎn)荷載臨界值是相同的，但是失穩(wěn)后的承載能力結(jié)論是不同的。按小撓度理論分析1、P為任意值，即無(wú)外界干擾時(shí)，結(jié)構(gòu)無(wú)撓度，不會(huì)失穩(wěn)。即有外界干擾時(shí)，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)的臨界荷載為：2、由小撓度理論：平衡方程可以簡(jiǎn)化為：隨遇平衡CABPθOPcr能量法求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載.PlkyP解:應(yīng)變能外力勢(shì)能結(jié)構(gòu)勢(shì)能由勢(shì)能駐值原理得臨界荷載無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定靜力法無(wú)限自由度體系的典型代表：壓桿穩(wěn)定問(wèn)題靜力法解題思路：1）先對(duì)變形狀態(tài)建立平衡方程；2）根據(jù)平衡形式的二重性建立特征方程；3）由特征方程求出臨界荷載無(wú)限自由度體系的平衡方程為微分方程而不是代數(shù)方程，是區(qū)別于有限自由度體系的不同點(diǎn)無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定靜力法pcryxxppcrM(x)yRl-x無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定靜力法左式為“超越方程”解“超越方程”的兩種方法：1、逐步逼近法（試算法）：2、圖解法：

以l為自變量，分別繪出z=l和z=tgl的圖形，求大于零的第一個(gè)交點(diǎn)，確定l。無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定靜力法例14-1試求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載yxxpcrpcrM(x)yp無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定靜力法無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定靜力法（另法）試求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載yxxpcrpM(x)xy能量法（一）用能量原理建立的能量準(zhǔn)則（適用于單自由度體系）2、解題思路1、三種平衡狀態(tài)（1）穩(wěn)定平衡：偏離平衡位置，總勢(shì)能增加。（2）不穩(wěn)定平衡：偏離平衡位置，總勢(shì)能減少。（3）隨遇平衡：偏離平衡位置，總勢(shì)能不變。圖1圖2圖3（1）當(dāng)外力為保守力系時(shí)（2）當(dāng)體系偏離平衡位置，發(fā)生微小移動(dòng)時(shí)（3）直桿穩(wěn)定（剛性桿）能量法能量法計(jì)算公式（單桿）xy（二）用勢(shì)能原理建立的能量準(zhǔn)則（適用于多自由度體系）設(shè)彈性曲線為多參數(shù)曲線：

依“勢(shì)能駐值原理”：臨界狀態(tài)下真實(shí)的變形曲線應(yīng)使體系的總勢(shì)能為駐值。得：無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定

能量法

這就是計(jì)算臨界荷載的特征方程，其展開(kāi)式是關(guān)于P的n次線性方程組，可求出n個(gè)根，由最小根可確定臨界荷載。得：令：簡(jiǎn)寫(xiě)為：無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定能量法彈性支承等截面直桿的穩(wěn)定計(jì)算具有彈性支承的壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題。一般情況下有四類ΔMA=kθθABPcrxxyyEIPcrBxkΔlyxyΔEIMA=kθθAPcrxyyRBEIyθPcrBxkΔΔAEI一端固定、一端為彈性支座PcrBxkΔlyxyΔEI由邊界條件：x=0處，y=y'=0；x=l處，y=Δ。得到：ΔMA=kθθABPcrxxyyEI一端自由、另一端為彈性抗轉(zhuǎn)支座邊界條件：平衡方程：穩(wěn)定方程：一端鉸支、另一端為彈性抗轉(zhuǎn)支座邊界條件：平衡方程：穩(wěn)定方程：MA=kθθAPcrxyyRBEI一端鉸支、另一端為彈性支座yθPcrBxkΔΔAEI考慮在小變形情況下，取sinθ=θ、cosθ=1，上式改寫(xiě)為彈簧的支反力臨界荷載：

補(bǔ)充例題（1）試求圖示結(jié)