誤差理論課件(08修改稿)課件

1測量誤差與數(shù)據(jù)處理緒論《大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)A1、B》于第一周星期一（9月2日）開課，1-2周為實(shí)驗(yàn)理論集中授課，3-18周為實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)。實(shí)驗(yàn)理論集中授課時(shí)間、場地及人員安排見附表，實(shí)驗(yàn)課表及分組安排開課前請到A館一樓大廳查詢或登陸物理實(shí)驗(yàn)中心主頁進(jìn)行查詢。查詢方法：/shiyanzhongxin/wuli/zy/index.htm（物理實(shí)驗(yàn)中心主頁）/通知公告/2013秋季學(xué)期大物A1、B實(shí)驗(yàn)分組名單、實(shí)驗(yàn)課表/在線或下載查看注：因本學(xué)期教務(wù)選課系統(tǒng)只是將同一時(shí)段實(shí)驗(yàn)學(xué)生安排在一個(gè)大組（三、四百人），實(shí)驗(yàn)室將根據(jù)實(shí)驗(yàn)場地資源和本時(shí)段學(xué)生人數(shù)進(jìn)行重新分組，每時(shí)段劃分為8或9個(gè)實(shí)驗(yàn)小組進(jìn)行循環(huán)實(shí)驗(yàn)，同一時(shí)段不同小組的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目不同，具體情況登陸中心主頁查詢。物理實(shí)驗(yàn)A1、B開課通知物物理實(shí)驗(yàn)中心2013年8月31日注意事項(xiàng)：1、所有選課學(xué)生必須參加誤差理論課學(xué)習(xí)，缺勤一次，按一次實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目無成績對待，三次無成績本學(xué)期總評不及格。2、實(shí)驗(yàn)教材使用《大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)》（劉延君，褚潤通等主編，蘭州大學(xué)出版社，2007年第一版）。為了保障著作權(quán)人合法權(quán)益，嚴(yán)禁復(fù)印或購買（使用）個(gè)別復(fù)印店出售的教材復(fù)印本，上課期間一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)室有權(quán)收繳。本教材定價(jià)34元，對本校學(xué)生優(yōu)惠價(jià)25元。3、實(shí)驗(yàn)報(bào)告冊（A實(shí)驗(yàn)分上下兩冊共6元，B實(shí)驗(yàn)一冊3元）及教材請于第一、二周周三中午13：00～14：00、周五上午9：00～12：00以班級為單位到A館311室購買，過時(shí)不侯。物理實(shí)驗(yàn)基本程序和要求1.實(shí)驗(yàn)預(yù)習(xí)

(1)實(shí)驗(yàn)前仔細(xì)閱讀實(shí)驗(yàn)教材。要求以理解教材中將要做的實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、原理為主，了解?shí)驗(yàn)所用的儀器以及實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求，明白實(shí)驗(yàn)所要觀測的是哪些物理量。

(2)寫出預(yù)習(xí)報(bào)告（內(nèi)容包括實(shí)驗(yàn)題目、目的、原理、主要計(jì)算公式、原理簡圖）。

(3)準(zhǔn)備原始實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄表格。2.實(shí)驗(yàn)操作（1）上課需帶實(shí)驗(yàn)講義、筆、尺、計(jì)算器等工具。（2）預(yù)習(xí)報(bào)告必須于課前交給教師審批，預(yù)習(xí)報(bào)告合格者允許進(jìn)行實(shí)驗(yàn)；沒有預(yù)習(xí)或預(yù)習(xí)不符合要求者，不得進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。（3）操作前，認(rèn)真聽取教師簡要講述，必須在了解儀器的工作原理、使用方法、注意事項(xiàng)的基礎(chǔ)上，方可進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。（4）實(shí)驗(yàn)操作過程中，應(yīng)做到嚴(yán)格、細(xì)致、準(zhǔn)確、穩(wěn)妥、實(shí)事求是，絕不能拼湊數(shù)據(jù)。

（5）認(rèn)真記錄測量數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)記錄中的每一個(gè)數(shù)據(jù)的位數(shù)都應(yīng)符合有效數(shù)字的表達(dá)規(guī)范，如發(fā)現(xiàn)記錄的數(shù)據(jù)有錯(cuò)誤，可在錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)上畫一直線或打叉。（6）完成實(shí)驗(yàn)后要將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)交給教師審查簽字，達(dá)到要求后，再將實(shí)驗(yàn)儀器整理還原，方可離開實(shí)驗(yàn)室。（7）離開實(shí)驗(yàn)室后不允許修改記錄的數(shù)據(jù)。3．撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告一般應(yīng)包括以下幾項(xiàng)內(nèi)容：

（1）實(shí)驗(yàn)名稱。（2）實(shí)驗(yàn)?zāi)康?。?）實(shí)驗(yàn)儀器。

（4）實(shí)驗(yàn)原理。簡要敘述實(shí)驗(yàn)的物理思想和依據(jù)的物理規(guī)律，主要計(jì)算公式；電學(xué)和光學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)畫出相應(yīng)的電路圖或光路圖。（5）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟。根據(jù)實(shí)際的實(shí)驗(yàn)過程寫明實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵步驟。（7）注意事項(xiàng)。（8）數(shù)據(jù)處理及分析。

實(shí)驗(yàn)報(bào)告要用統(tǒng)一的實(shí)驗(yàn)報(bào)告冊書寫，字體要工整，文句要簡明。原始數(shù)據(jù)要附在報(bào)告中一并交給教師審閱，沒有原始數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)報(bào)告是無效的。

1.學(xué)生進(jìn)入實(shí)驗(yàn)室需帶上預(yù)習(xí)報(bào)告和記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的表格，經(jīng)教師檢查同意后，方可進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

2.遵守課堂紀(jì)律，保持安靜的實(shí)驗(yàn)環(huán)境。

3.使用電源時(shí)，務(wù)必經(jīng)過教師檢查線路后方能接通電源。

4.愛護(hù)儀器。進(jìn)入實(shí)驗(yàn)室不能擅自搬弄儀器,實(shí)驗(yàn)中嚴(yán)格按教材或儀器說明書操作，如有損壞照章賠償。公用工具用完后應(yīng)立即放回原處。

5.做完實(shí)驗(yàn)，經(jīng)教師審查測量數(shù)據(jù)并簽字后，學(xué)生應(yīng)將儀器整理還原，將桌面和凳子收拾整齊后離開實(shí)驗(yàn)室。

6.按要求及時(shí)上交實(shí)驗(yàn)報(bào)告。實(shí)驗(yàn)室規(guī)則教學(xué)安排

本學(xué)期教學(xué)計(jì)劃26學(xué)時(shí)，其中講課6學(xué)時(shí)（2次），實(shí)驗(yàn)20（8次）學(xué)時(shí)。第1章測量誤差及數(shù)據(jù)處理§1.1測量與誤差§1.2誤差處理§1.3儀器誤差§1.4測量結(jié)果的不確定度估計(jì)§1.5有效數(shù)字及其運(yùn)算法則§1.6實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的基本方法§1.1.1測量1.測量的基本概念測量是利用儀器設(shè)備通過一定測量方法，將待測物理量與一個(gè)選做為標(biāo)準(zhǔn)的同類物理量進(jìn)行比較，確定待測物理量大小的過程。測量三個(gè)要素（1）測量方法；（2）儀器設(shè)備；（3）測量結(jié)果比較法米尺90.70cm§1.1測量與誤差測量的目的：獲得測量值(數(shù)據(jù))。例如：用最小刻度為mm的米尺測量物體的長度。90.70cm2.測量值120.50cm一個(gè)物理量的測量值必須由數(shù)值和單位組成，兩者缺一不可。測量值＝數(shù)值+單位測量數(shù)值只有賦予了單位才有具體的物理意義例如：（1）120.50，不知道表示什么物理量；（2）120.50cm，表示長度；（3）120.50Kg，表示質(zhì)量。按測量結(jié)果獲得方法：測量可分為直接測量和間接測量在物理量的測量中，絕大多數(shù)是間接測量，但是，直接測量是一切測量的基礎(chǔ)。3.

測量的分類（1）直接測量用標(biāo)準(zhǔn)量與待測量直接進(jìn)行比較。例如：用直尺測量長度；以表計(jì)時(shí)間；天平稱質(zhì)量；安培表測電流；等等。

（2）間接測量經(jīng)過直接測量與待測量有函數(shù)關(guān)系的物理量，再經(jīng)過運(yùn)算得到待測物理量的測量方法。例如：用鋼卷尺測量桌子的面積S=a×b=S(a,b)按測量條件：測量可分為等精度測量和不等精度測量3.

測量的分類（1）等精度測量相同測量條件下，對同一被測量進(jìn)行重復(fù)性測量。相同測量條件：同一測量水平的觀測者同一精度的儀器同樣的實(shí)驗(yàn)方法同樣的實(shí)驗(yàn)環(huán)境等精度測量測量的所有數(shù)據(jù)，可信賴程度相同，數(shù)據(jù)處理過程中的地位相同，一視同仁。（2）非等精度測量不相同測量條件下，對同一被測量進(jìn)行重復(fù)性測量。非等精度測量測量的所有數(shù)據(jù)，可信賴程度不同，數(shù)據(jù)處理過程中的地位不同，按測量精度的高低，區(qū)別對待。1.真值與誤差（1）真值：物理量在客觀上存在著的確定數(shù)值。真值是一個(gè)抽象的概念，一般無法得到。真值及其變化規(guī)律的未知性，正是科學(xué)實(shí)驗(yàn)的意義所在。實(shí)際應(yīng)用中真值約定的方式：理論真值；公認(rèn)真值；計(jì)量約定真值；標(biāo)準(zhǔn)相對真值；等等。（2）誤差誤差＝測量值-真值§1.1.2誤差

測量不能得到真值，但可以減小測量誤差，估算誤差范圍。2.誤差的基本性質(zhì)普遍性：存在一切測量之中，貫穿于測量始終。不可知性：一般真值是未知的，誤差就無法知道。2.誤差的表示形式（1）（絕對）誤差用絕對大小給出的誤差，表示為δ＝x－x0

相對誤差反映了測量精度的高低，無單位，用百分?jǐn)?shù)表示。絕對誤差反映了測量值偏離真值的大小和方向，可正可負(fù)，有單位。（2）相對誤差絕對誤差與被測量真值的比值，表示為E＝δ/x0×100％例如：測量兩個(gè)物體的長度分別為L1=100.0mm，L2=80.0mm；絕對誤差分別為δ1=0.8mm，δ2=0.8mm。相對誤差分別為：E1=0.8%，E2=1.0%

。測量值真值§1.1.3誤差的分類粗大誤差系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差按產(chǎn)生的原因和性質(zhì)分類：

誤差的分類（2）隨機(jī)誤差在相同條件下，對同一測量量的多次測量過程中，每次測量的誤差可能是正或負(fù)，也可能是比較大或小，這是難以預(yù)測的，而且毫無規(guī)律而言。但是，如果測量次數(shù)很多時(shí)，誤差的出現(xiàn)又符合一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。（1）系統(tǒng)誤差在相同條件下，對同一測量量的多次測量過程中，保持恒定（大小、正負(fù)不變）或按特定規(guī)律變化的誤差。來源:1）儀器誤差；2）理論誤差；3）觀測誤差；4）環(huán)境條件。隨機(jī)誤差無法從實(shí)驗(yàn)中完全消除，但多次測量可以減小。隨機(jī)性，補(bǔ)償性按誤差掌握程度：已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。按誤差變化規(guī)律：不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差盡量消除或減小誤差的分類（3）粗大誤差在測量中某種非正常原因所引起的錯(cuò)誤，也稱疏失誤差。如讀數(shù)錯(cuò)誤，記錄錯(cuò)誤，操作錯(cuò)誤，估算錯(cuò)誤等等。說明系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差關(guān)系系統(tǒng)誤差由測量過程中某一突出因素變化引起。隨機(jī)誤差由測量過程中多種因素微小變化綜合引起。存在粗大誤差時(shí)，測量值明顯偏離被測量的真值。數(shù)據(jù)處理時(shí)，先檢驗(yàn)測量數(shù)據(jù)是否存在粗大誤差，剔除含有粗大誤差的數(shù)據(jù)。隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差不存在絕對的界限。在一定條件下，隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差可以相互轉(zhuǎn)化?！?.1.4測量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度（1）精密度。表示重復(fù)測量所得數(shù)據(jù)的相互接近程度（離散程度）。（2）準(zhǔn)確度。表示測量數(shù)據(jù)的平均值與真值的接近程度。（3）精確度。是對測量數(shù)據(jù)的精密度和準(zhǔn)確度的綜合評定。

以打靶為例來比較說明精密度、準(zhǔn)確度、精確度三者之間的關(guān)系。圖中靶心為射擊目標(biāo)，相當(dāng)于真值，每次測量相當(dāng)于一次射擊。（a）準(zhǔn)確度高、（b）精密度高、（c）精密度、準(zhǔn)確精密度低準(zhǔn)確度低度均高§1.2誤差的處理§1.2.1處理系統(tǒng)誤差的一般知識

發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，盡可能消除或減小。（參閱物理實(shí)驗(yàn)中心新編大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教材§1.2.1)1、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律在一定的測量條件下設(shè)某一物理量的真實(shí)值為x0，對其多次重復(fù)測量值x1，x2，…，xn，則各次測量的隨機(jī)誤差可表示為§1.2.2隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)處理f(δ)δ概率密度函數(shù)誤差隨機(jī)誤差可以應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)行估算概率密度分布函數(shù)為隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律式中σ為標(biāo)準(zhǔn)誤差。令概率密度分布函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，便可解出標(biāo)準(zhǔn)偏差，正好是概率密度分布曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)值。隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律遵從正態(tài)分布規(guī)律的隨機(jī)誤差特征：單峰性：絕對值小/大的誤差可能性大/小對稱性：大小相等的誤差正、負(fù)機(jī)會均等有界性：絕對值非常大的可能性幾乎為零抵償性：正負(fù)誤差相互抵消f(δ)δ概率密度函數(shù)誤差隨機(jī)誤差可以應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)行估算隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律

概率密度分布函數(shù)f（δ）的意義是：在誤差值δ附近，單位間隔內(nèi)誤差出現(xiàn)的概率，測量值的隨機(jī)誤差出現(xiàn)在區(qū)間（δ，δ+dδ）概率為f（δ）dδ，即圖中陰影內(nèi)所包含的面積元。按照概率理論，誤差出現(xiàn)在區(qū)間（-∞，+∞）范圍內(nèi)是必然的，即概率為100%。隨機(jī)誤差可以應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)行估算曲線下的總面積表示各種可能誤差值出現(xiàn)的總概率為2．標(biāo)準(zhǔn)誤差的物理意義標(biāo)準(zhǔn)誤差的物理意義測量值超過±3σ范圍的情況幾乎不會出現(xiàn)，所以我們把3σ稱為極限誤差。在實(shí)際測量中置信概率有不同的取值，根據(jù)國家計(jì)量技術(shù)規(guī)范，在寫出測量結(jié)果的表達(dá)式時(shí)，要注明它的置信概率。在P=0.95時(shí)，不必注明P值；當(dāng)P取0.68或0.99時(shí)要求注明P值。在物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，我們約定取置信概率P=0.95。多次測量，x1、x2、…、xn，測量列的算術(shù)平均值為：當(dāng)測量次數(shù)n趨于無窮時(shí)，算術(shù)平均值趨于真值。其中xi為第i次測得值。誤差的對稱性和抵償性§1.2.2隨機(jī)誤差的處理

1、算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差

算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差當(dāng)測量次數(shù)n為有限次時(shí)，測量列的算術(shù)平均值作為真值的最佳估計(jì)值；其標(biāo)準(zhǔn)差常采用貝塞爾法來估計(jì)。多組等精度重復(fù)測量時(shí)，各測量列算術(shù)平均值也具有離散性，用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差來描述。算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差一個(gè)測量列中各測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差

多組等精度重復(fù)測量時(shí)，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差偏差：4．t分布當(dāng)測量次數(shù)很少（n<10）時(shí)，誤差的分布就不服從正態(tài)分布，從而過渡到t分布（即學(xué)生分布）。t分布曲線與正態(tài)分布曲線類似，兩者的主要區(qū)別是t分布的峰值低于正態(tài)分布，而且上部較窄、下部較寬，如圖所示，在有限次測量的情況下，就要將隨機(jī)誤差的估算值取大一些。即在貝塞爾公式的基礎(chǔ)上再乘以一個(gè)tp因子，tp與測量次數(shù)有關(guān)，也與置信概率有關(guān)。

tp因子與測量次數(shù)、置信概率的對應(yīng)關(guān)系

n2345678…∞(P=0.68)1.841.321.201.141.111.091.08…1.00(P=0.95)12.714.303.182.782.572.452.36…1.96(P=0.99)65.669.925.844.604.033.713.50…2.58對于服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，出現(xiàn)在±S區(qū)間內(nèi)概率為68.3%，與此相仿，同樣可以計(jì)算，在相同條件下對某一物理量進(jìn)行多次測量，其任意一次測量值的誤差落在-3S到+3S區(qū)域之間的可能性（概率）。其值為1.拉依達(dá)判據(jù)§1.2.3

實(shí)驗(yàn)中錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的剔除如果用測量列的算術(shù)平均替代真值，則測量列中約有99.7%的數(shù)據(jù)應(yīng)落在區(qū)間內(nèi)，如果有數(shù)據(jù)出現(xiàn)在此區(qū)間之外，則我們可以認(rèn)為它是錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，這時(shí)我們應(yīng)把它舍去，這樣以標(biāo)準(zhǔn)偏差Sx的3倍為界去決定數(shù)據(jù)的取舍就成為一個(gè)剔除壞數(shù)據(jù)的準(zhǔn)則，稱為拉依達(dá)準(zhǔn)則。但要注意的是數(shù)據(jù)少于10個(gè)時(shí)此準(zhǔn)則無效。對于服從正態(tài)分布的測量結(jié)果，其偏差出現(xiàn)在±3S附近的概率已經(jīng)很小，如果測量次數(shù)不多，偏差超過±3S幾乎不可能，因而，用拉依達(dá)判據(jù)剔除疏失誤差時(shí)，往往有些疏失誤差剔除不掉。另外，僅僅根據(jù)少量的測量值來計(jì)算S，這本身就存在不小的誤差。因此當(dāng)測量次數(shù)不多時(shí)，不宜用拉依達(dá)判據(jù)，但可以用肖維勒準(zhǔn)則。按此判據(jù)給出一個(gè)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n相聯(lián)系的系數(shù)Gn，當(dāng)已知數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n，算術(shù)平均值和測量列標(biāo)準(zhǔn)偏差S，則可以保留的測量值xi的范圍為2.肖維勒準(zhǔn)則Gn系數(shù)表

nGnnGnnGn51.65132.07252.3361.73142.10302.3971.80152.13402.4981.86162.15502.5891.92172.171002.80101.96182.20112.00192.22122.03202.24儀器的極限誤差（儀器誤差）：儀器誤差屬于未定系統(tǒng)誤差，影響因素多，規(guī)律復(fù)雜，一般只能給出最大允許誤差的估計(jì)值。即儀器的極限誤差Δ儀。極限誤差的獲得：(1)說明書、計(jì)量部門檢定等；(2)由儀器的準(zhǔn)確度級別來計(jì)算；(3)未給出儀器誤差時(shí)估計(jì):

①連續(xù)可讀儀器:最小分度1/2②非連續(xù)可讀儀器:最小分度③數(shù)字式儀表：取末位±1§1.3儀器誤差儀器名稱量程分度值儀器誤差鋼直尺0~300mm1mm±0.1mm鋼卷尺0~1000mm1mm±0.5mm游標(biāo)卡尺0~300mm0.02,0.05mm分度值螺旋測微計(jì)0~100mm0.01mm±0.004mm物理天平1000g100mg±50mg水銀溫度計(jì)-30~300℃1℃,0.2℃,0.1℃分度值讀數(shù)顯微鏡0.01mm±0.004mm數(shù)字式電表最末一位的一個(gè)單位指針式電表0.1,0.2,0.5,1.01.5,2.5,5.0±量程×a%A.由儀器的準(zhǔn)確度表示②.儀器誤差的確定：數(shù)字秒表:最小分度=0.01sC.未給出儀器誤差時(shí)非連續(xù)可讀儀器

測量不確定度是對測量結(jié)果不確定范圍的標(biāo)度，也可以理解為測量誤差可能出現(xiàn)的范圍，表征測量結(jié)果的分散性、準(zhǔn)確性和可靠程度，也表示待測量的真值可能在某個(gè)量值范圍的評定。不確定度是與測量結(jié)果相聯(lián)系的一種參數(shù)?；径x：對測量結(jié)果可信賴程度對評定。不確定度是評價(jià)測量質(zhì)量的一個(gè)重要的指標(biāo)。不確定度大，可信賴程度低；不確定度小，可信賴程度高?！?.4測量結(jié)果的不確定度估計(jì)不確定度的表示形式絕對不確定度：△相對不確定度：E測量結(jié)果的表示形式被測量x，最佳估計(jì)值不確定度，完整的測量結(jié)果表示為（單位）不確定度的分類按評定方法的不同，可分成兩類：A類不確定度和B類不確定度。A類不確定度：用統(tǒng)計(jì)方法評定的不確定度，△AB類不確定度：用非統(tǒng)計(jì)方法評定的不確定度，△B測量結(jié)果：mm(P=0.683)真值以68.3%的概率落在區(qū)間內(nèi)測量值x和不確定度單位置信度（2）B類不確定度只考慮儀器誤差，標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類分量為最佳估計(jì)值多次測量，x1、x2、…、xn，測量列的算術(shù)平均值可表示為：§1.4.1

不確定度的分類多次測量（1）A類不確定度直接測量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類分量用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差公式估算。用算術(shù)平均值作為直接測量量的最佳估計(jì)值。§1.4.2合成不確定度直接測量的不確定度估計(jì)§1.4.2合成不確定度單次測量有時(shí)因條件所限不可能進(jìn)行多次測量(如地震波強(qiáng)度、雷電時(shí)電暈電流強(qiáng)度等)；或者由于儀器精度太低，多次測量讀數(shù)相同，測量隨機(jī)誤差較??；或者對測量結(jié)果的精度要求不高等情況，往往只進(jìn)行一次測量。單次測量時(shí)，A類不確定度，無法考慮；最佳估計(jì)值即測量值本身。單次測量合成不確定度只考慮B類分量為測量結(jié)果的表示用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示測量結(jié)果。直接測量的不確定度估計(jì)一、間接測量的最佳值二、間接測量的不確定度傳播公式間接測量量N的不確定度與各直接測量量的不確定度有關(guān)，它們之間的關(guān)系由標(biāo)準(zhǔn)差傳播公式表示為間接測量是利用已知函數(shù)關(guān)系式的轉(zhuǎn)換測量。間接測量量：N直接測量量：x,y,z,…函數(shù)關(guān)系形式為：2．間接測量結(jié)果的合成不確定度例如：間接測量量的不確定度是每一個(gè)直接測量量的合成。兩邊求微分得:§1.4.3有關(guān)不確定度的數(shù)據(jù)處理過程與實(shí)例1．單次直接測量的數(shù)據(jù)處理

2．多次直接測量的數(shù)據(jù)處理對多次直接測量的數(shù)據(jù)，進(jìn)行處理的一般步驟是：（1）計(jì)算被測量的算術(shù)平均值（2）求出各測量值的殘差（3）用貝塞爾公式求出測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

（4）審查測量數(shù)據(jù)，如發(fā)現(xiàn)有異常數(shù)據(jù)，應(yīng)予以舍棄。舍棄異常數(shù)據(jù)后，再重復(fù)步（1）、（2）、（3）、（4），直至完全剔除異常數(shù)據(jù)。（5）求A類不確定度（6）求出總不確定度（7）表示出最后測量結(jié)果，直接測量量數(shù)據(jù)處理舉例

某長度測6次,分別為29.1829.1929.2729.2529.2629.24(cm)儀=0.05cmcm2、計(jì)算解：1、無可定系統(tǒng)誤差3、計(jì)算挑選最大最小值比較4、剔除異常值所以無異常值5、計(jì)算不確定度有效數(shù)字保留1位,且與平均值的最后一位對齊.8、最后結(jié)果：6、計(jì)算：7、計(jì)算：直接測量問題用0~25mm的一級千分尺測鋼球的直徑D，6次數(shù)據(jù)為：D1=3.121mm，D2=3.128mm，D3=3.125mmD4=3.123mm，D5=3.126mm，D6=3.124mm寫出完整的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。解：①求算術(shù)平均值②求不確定度A類分量③求不確定度B類分量④計(jì)算合成不確定度⑤完整的測量結(jié)果表示注意：測量結(jié)果的有效數(shù)字，不確定度的有效數(shù)字，相對不確定度的有效數(shù)字，單位。3、間接測量量數(shù)據(jù)處理(2)、計(jì)算(1)、計(jì)算(3)、計(jì)算(4)、最后結(jié)果{間接測量量數(shù)據(jù)處理舉例

測得某園柱體質(zhì)量M，直徑D，高度H值如下，計(jì)算其密度及不確定度。代入數(shù)據(jù)計(jì)算密度相對不確定度總不確定度測量結(jié)果試求體積V并表示多取一位實(shí)驗(yàn)結(jié)果。解：①求V：間接測量問題用千分尺測量圓柱體的體積V，已求得直徑為：注：常數(shù)的有效數(shù)字應(yīng)比測量值的有效數(shù)字多取一位，至少位數(shù)相同，目的是讓常數(shù)取值的誤差忽略不計(jì)。體積的有效數(shù)字應(yīng)符合有效數(shù)字運(yùn)算法則，或多取一位。②求V的不確定度：3、間接測量量數(shù)據(jù)處理(2)、計(jì)算(1)、計(jì)算(3)、計(jì)算(4)、最后結(jié)果{根據(jù)不確定度傳播公式：③實(shí)驗(yàn)結(jié)果表示：不確定度的有效數(shù)字首位是1或2可以取二位，但不能超過二位?！?.5有效數(shù)字及運(yùn)算規(guī)則數(shù)據(jù)左起第一位非零數(shù)起,到第一位欠準(zhǔn)數(shù)止的全部數(shù)字。有效數(shù)字=準(zhǔn)確數(shù)字+欠準(zhǔn)數(shù)位§1.5.1有效數(shù)字的一般概念

有效數(shù)字來源于測量時(shí)所用的儀器。我們的任務(wù)是使測量值盡可能準(zhǔn)確地反映出它的真實(shí)值。有兩個(gè)特征：（2）在最小刻度之間可估計(jì)一位。欠準(zhǔn)位準(zhǔn)確位（1）以刻度為依據(jù)可讀到最小刻度所在位。

3536(cm)[1]位置為35.00cm,不能寫成35cm。[1][2]位置為35.40cm[2][3][3]位置介于35.7--35.8之間,可以估計(jì)為35.75.35.7635.77，不妨取35.76cm。

估計(jì)值只有一位，所以也叫欠準(zhǔn)數(shù)位或可疑數(shù)位。有效數(shù)字的特點(diǎn)（1）位數(shù)與單位變換或小數(shù)點(diǎn)位置無關(guān)。35.76cm=0.3576m=0.0003576km（2）0的地位0.00035763.0053.000都是四位（3）特大或特小數(shù)用科學(xué)計(jì)數(shù)法§1.5.2有效數(shù)字的讀取

進(jìn)行直接測量時(shí)，由于儀器多種多樣，正確讀取有效數(shù)字的方法大致歸納如下：1、一般讀數(shù)應(yīng)讀到最小分度以下再估一位。例如，1/2，1/5，1/4，1/10等。2、有時(shí)讀數(shù)的估計(jì)位，就取在最小分度位。例如，儀器的最小分度值為0.5，則0.1-0.4,0.6-0.9都是估計(jì)的，不必估到下一位。3、游標(biāo)類量具，讀到卡尺分度值。多不估讀，特殊情況估讀到游標(biāo)分度值的一半。5、特殊情況，直讀數(shù)據(jù)的有效數(shù)字由儀器的靈敏閾決定。例如在“靈敏電流計(jì)研究”中，測臨界電阻時(shí)，調(diào)節(jié)電阻箱“

”，儀器才剛有反應(yīng)，盡管最小步進(jìn)為0.1電阻值只記錄到“

”。4、數(shù)字式儀表及步進(jìn)讀數(shù)儀器不需估讀。6、若測值恰為整數(shù)，必須補(bǔ)零，直補(bǔ)到可疑位?！?.5.3有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則準(zhǔn)準(zhǔn)準(zhǔn)欠欠欠[1]加減：與位數(shù)最高者對齊。[2]乘除：一般可與位數(shù)最少者相同。[3]冪運(yùn)算、對數(shù)（指數(shù)）、三角函數(shù)(反三角）不改變有效數(shù)字位數(shù)。加、減法約簡

可見，約簡不影響計(jì)算結(jié)果。在加減法運(yùn)算中，各量可約簡到其中位數(shù)最高者的下一位，其結(jié)果的欠準(zhǔn)數(shù)位與參與運(yùn)算各量中位數(shù)最高者對齊。乘、除法

在乘除運(yùn)算之前，各量可先約簡到比其中位數(shù)最少者多一位。運(yùn)算結(jié)果一般與位數(shù)最少者相同，特殊情況比最少者多（少）一位。多一位的情況全部欠準(zhǔn)時(shí)，商所在位即為為欠準(zhǔn)數(shù)位。比位數(shù)最少者少一位的情況。有效數(shù)字位數(shù)與底數(shù)的相同乘方、立方、開方初等函數(shù)運(yùn)算四位有效數(shù)字，經(jīng)正弦運(yùn)算后得幾位？

問題是在位上有波動，比如為，對正弦值影響到哪一位，哪一位就應(yīng)是欠準(zhǔn)數(shù)所在位。根據(jù)微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，可知：第四位為欠準(zhǔn)數(shù)位。不參與有效數(shù)字運(yùn)算常數(shù)1.不確定度的有效數(shù)字

一般情況下不確定度的有效數(shù)字取一位，精密測量情況下，可取二位。2.測量結(jié)果的有效數(shù)字

測量結(jié)果最佳值的有效數(shù)字的末位與不確定度首位取齊。3.舍入規(guī)則：四舍六入五湊偶舍入法則§1.6

.1、列表法

表1.不同溫度下的金屬電阻值n1234567t(C)10.526.038.351.062.875.585.7R()10.42310.89211.20111.58612.02512.34412.670物理量的名稱(符號)和單位有效數(shù)字正確§1.6實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理基本方法注意:[1]根據(jù)數(shù)據(jù)分布范圍，合理選擇單位長度及坐標(biāo)軸始末端的數(shù)值，并以有效數(shù)字的形式標(biāo)出。[2]將實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的位置用符號X或等標(biāo)在圖上，用鉛筆連成光滑曲線或一條直線，并標(biāo)出曲線的名稱?！?.6.2作圖及圖解法[3]線性關(guān)系數(shù)據(jù)求直線的斜率時(shí),應(yīng)在直線上選相距較遠(yuǎn)的兩新點(diǎn)A.B標(biāo)明位置及坐標(biāo)A(X1Y1),B(X2Y2)由此求得斜率。

作圖法特點(diǎn):

簡單明了。

缺點(diǎn):有一定任意性（人為因素），故不能求不確定度。非線性關(guān)系數(shù)據(jù)可進(jìn)行曲線改直后再處理因變量自變量標(biāo)度起點(diǎn)終點(diǎn)(4)描點(diǎn)+++++++(5)連線(6)注解說明(7)求斜率B(83.5,12.600)+++++++電阻R隨溫度t變化曲線A(13.0,10.500)當(dāng)X等間隔變化，且X的誤差可以不計(jì)的條件下，將其分成兩組，進(jìn)行逐差可求得：

對于X：X1XnX2nY：Y1YnY2n

§1.6.3逐差法砝碼質(zhì)量(Kg)1.0002.0003.0004.0005.0006.0007.0008.000彈簧伸長位置(cm)x1x2x3x4x5x6x7x8

是從統(tǒng)計(jì)的角度處理數(shù)據(jù)，并能得到測量結(jié)果不確定度的一種方法。滿足線性關(guān)系

y=a+bx

若最簡單的情況:§1.6.4最小二乘法由于每次測量均有誤差，使

在所有誤差平方和為最小的條件下，得到的方程

y=a+bx

的方法叫最小二乘法。

假定最佳方程為：y=a0+b0x，其中a0和b0是最佳系數(shù)。殘差方程組為：根據(jù)上式計(jì)算出最佳系數(shù)a0和b0，得到最佳方程為：y=a0+b0x最小二乘法應(yīng)用舉例為確定電阻隨溫度變化的關(guān)系式，測得不同溫度下的電阻如表一。試用最小二乘法確定關(guān)系式：R=a+bt。

表一電阻隨溫度變化的關(guān)系t/℃19.025.030.136.040.045.150.0R/Ω76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10解：1.列表算出：2.寫出a、b的最佳值滿足方程nt/℃R/Ωt2/℃2Rt/Ω℃119.176.303651457225.077.806251945330.179.509062400436.080.8012962909540.082.3516003294645.183.9020343784750.085.1025004255n=7=245.3=566.00=9326=200443.寫出待求關(guān)系式：設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)知識

定義：給定實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙?，由學(xué)生自行設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案并加以實(shí)施的實(shí)驗(yàn)。主要設(shè)計(jì)內(nèi)容包括：建立物理模型確定實(shí)驗(yàn)方法選擇儀器設(shè)備制定實(shí)驗(yàn)步驟設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)測量型實(shí)驗(yàn)：對某一物理量（如電容、折射率、靜態(tài)磁特性的測量等）進(jìn)行測定，達(dá)到設(shè)計(jì)要求；研究型實(shí)驗(yàn)：用實(shí)驗(yàn)確定兩物理量或多物理量之間的關(guān)系（電源特性研究），并對其物理原理、外界條件的影響或應(yīng)用價(jià)值等進(jìn)行研究；制作型實(shí)驗(yàn)：設(shè)計(jì)并組裝裝置，如萬用表、全息光柵等

三種類型：設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)的一般程序：建立物理模型確定實(shí)驗(yàn)方法選擇實(shí)驗(yàn)儀器選擇實(shí)驗(yàn)參數(shù)實(shí)驗(yàn)操作處理數(shù)據(jù)撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告制定實(shí)驗(yàn)步驟一、建立物理模型

根據(jù)實(shí)驗(yàn)對象的物理性質(zhì)，研究與實(shí)驗(yàn)對象相關(guān)的物理過程原理及過程中各物理量之間的關(guān)系、推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式。例：測量蘭州地區(qū)的重力加速度g。

測量精度要求：

什么物理現(xiàn)象或物理過程與g有關(guān)？自由落體運(yùn)動/物體在斜面上的滑動/拋體運(yùn)動/單擺/……物理模型的建立要測某一地區(qū)的重力加速度或者建立一個(gè)單擺的物理模型。可建立—個(gè)自由落體運(yùn)動的物理模型注意適用條件：1、只有系小球的細(xì)線的質(zhì)量比小球質(zhì)量小很多；2、小球的直徑比細(xì)線的長度小很多；3、小球在重力作用下做小角度擺動等，周期才滿足公式測量重力加速度的物理模型自由落體模型只能測一個(gè)單程的時(shí)間與位移，當(dāng)下落行程h為2m時(shí)，所需時(shí)間t只有0.6s多，這就對計(jì)時(shí)儀器的精度提出了很高的要求。單擺模型可測n個(gè)周期的累積擺動時(shí)間，對于擺長L=1m的單擺，周期T約為2s，若累計(jì)測50個(gè)周期，則時(shí)間間隔達(dá)100s左右.顯然采用此方案，既簡單，又準(zhǔn)確。因此，選單擺模型比自由落體要好。比如：在測量溫度時(shí)——可以使用水銀溫度計(jì)、熱電偶、熱敏電阻等多種器具；測量電壓——可以用萬用表、數(shù)字電壓表、電位差計(jì)、示波器等。一個(gè)實(shí)驗(yàn)中可能要測量多個(gè)物理量，而每個(gè)物理量又都可能有多種測量方法。必須根據(jù)被測對象的性質(zhì)和特點(diǎn)，羅列各種可能的實(shí)驗(yàn)方法，分析各種方法的適用條件，比較各種方法的局限性及可能達(dá)到的實(shí)驗(yàn)精度等因素，并考慮各種方法實(shí)施的可能性，優(yōu)缺點(diǎn)，綜合后做出選擇。一般情況下，為減小誤差應(yīng)盡可能采取等精度的多次測量；對于等間隔、線性變化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理可采用“逐差法”、“最小二乘法”等。實(shí)驗(yàn)方法的選擇測量儀器的選擇與配套在間接測量中，每個(gè)獨(dú)立測量量的不確定度都會對最終結(jié)果的不確定度有貢獻(xiàn)。若測量結(jié)果的合成不確定度為，則中的每一項(xiàng)都要大致相等。選擇的方法是通過待測的間接測量量與各直接測量量的函數(shù)關(guān)系導(dǎo)出不確定度傳遞公式，并按照“不確定度均分”原理將對間接測量量的不確定度要求分配給各直接測量量，再由此選擇精度和量程適合的儀器。例如：不確定度均分原理選擇測量儀器不確定度傳遞公式單擺實(shí)驗(yàn)測長儀器的允許最大不確定度(示值誤差)為3.5mm，計(jì)時(shí)儀器的允許最大不確定度(示值誤差)為0.0036s。考慮到測量方便選擺長L約為lm，則周期約為2s。選擇lmm刻度的米尺測長完全可以達(dá)到要求；考慮到用停表計(jì)時(shí)時(shí)最小顯示為0.01s，又由于操作者技術(shù)引起的誤差在0.2s左右，所以需采用累積計(jì)時(shí)法，如先測量100個(gè)周期的時(shí)間，再轉(zhuǎn)換成一個(gè)周期的時(shí)間，就能滿足上述設(shè)計(jì)要求。

由此估算出：比如：由于條件限制，某一物理量測量的不確定度稍大，繼續(xù)降低不確定度又比較困難，這時(shí)可以允許該量的不確定度大一些，而將其它物理量的測量不確定度降得更低，以保證合成不確定度達(dá)到設(shè)計(jì)要求。另外，由有效數(shù)字運(yùn)算法則可知，所選測量儀器的測量精度(有效數(shù)字位數(shù))應(yīng)大致相同。為了合理使用儀器，達(dá)到相應(yīng)的測量精度，在選擇儀器時(shí)應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況，兼顧儀器的等級和量程，使儀器的量程略大于測量值即可?！安淮_定度均分”只是一個(gè)原則上的分配方法，對于具體情況還可具體處理。例如：若待測電流為60mA0.5級量程為300mA的電流表1.0級量程為75mA的電流表儀器示值誤差限

誤差限值的相對值

由于待測量的量值與儀器的量程不匹配，用0.5級的表測得的結(jié)果反而不如1.0級的表好。

比較其結(jié)果可見：在實(shí)驗(yàn)方法及儀器選定的情況下，選擇有利的測量條件，最大限度地減小系統(tǒng)誤差。測量條件與最佳參數(shù)的確定如用單擺測重力加速度時(shí)，我們選用的實(shí)驗(yàn)裝置必須滿足：球要小，可看成質(zhì)點(diǎn)；線要輕，可忽略擺線質(zhì)量；擺角要小于，以滿足