誤差理論課件(08修改稿)課件

1測量誤差與數(shù)據(jù)處理緒論《大學物理實驗A1、B》于第一周星期一（9月2日）開課，1-2周為實驗理論集中授課，3-18周為實踐教學環(huán)節(jié)。實驗理論集中授課時間、場地及人員安排見附表，實驗課表及分組安排開課前請到A館一樓大廳查詢或登陸物理實驗中心主頁進行查詢。查詢方法：/shiyanzhongxin/wuli/zy/index.htm（物理實驗中心主頁）/通知公告/2013秋季學期大物A1、B實驗分組名單、實驗課表/在線或下載查看注：因本學期教務選課系統(tǒng)只是將同一時段實驗學生安排在一個大組（三、四百人），實驗室將根據(jù)實驗場地資源和本時段學生人數(shù)進行重新分組，每時段劃分為8或9個實驗小組進行循環(huán)實驗，同一時段不同小組的實驗項目不同，具體情況登陸中心主頁查詢。物理實驗A1、B開課通知物物理實驗中心2013年8月31日注意事項：1、所有選課學生必須參加誤差理論課學習，缺勤一次，按一次實驗項目無成績對待，三次無成績本學期總評不及格。2、實驗教材使用《大學物理實驗》（劉延君，褚潤通等主編，蘭州大學出版社，2007年第一版）。為了保障著作權人合法權益，嚴禁復印或購買（使用）個別復印店出售的教材復印本，上課期間一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，實驗室有權收繳。本教材定價34元，對本校學生優(yōu)惠價25元。3、實驗報告冊（A實驗分上下兩冊共6元，B實驗一冊3元）及教材請于第一、二周周三中午13：00～14：00、周五上午9：00～12：00以班級為單位到A館311室購買，過時不侯。物理實驗基本程序和要求1.實驗預習

(1)實驗前仔細閱讀實驗教材。要求以理解教材中將要做的實驗目的、原理為主，了解實驗所用的儀器以及實驗內容與要求，明白實驗所要觀測的是哪些物理量。

(2)寫出預習報告（內容包括實驗題目、目的、原理、主要計算公式、原理簡圖）。

(3)準備原始實驗數(shù)據(jù)記錄表格。2.實驗操作（1）上課需帶實驗講義、筆、尺、計算器等工具。（2）預習報告必須于課前交給教師審批，預習報告合格者允許進行實驗；沒有預習或預習不符合要求者，不得進行實驗。（3）操作前，認真聽取教師簡要講述，必須在了解儀器的工作原理、使用方法、注意事項的基礎上，方可進行實驗。（4）實驗操作過程中，應做到嚴格、細致、準確、穩(wěn)妥、實事求是，絕不能拼湊數(shù)據(jù)。

（5）認真記錄測量數(shù)據(jù)，實驗記錄中的每一個數(shù)據(jù)的位數(shù)都應符合有效數(shù)字的表達規(guī)范，如發(fā)現(xiàn)記錄的數(shù)據(jù)有錯誤，可在錯誤的數(shù)據(jù)上畫一直線或打叉。（6）完成實驗后要將實驗數(shù)據(jù)交給教師審查簽字，達到要求后，再將實驗儀器整理還原，方可離開實驗室。（7）離開實驗室后不允許修改記錄的數(shù)據(jù)。3．撰寫實驗報告物理實驗報告一般應包括以下幾項內容：

（1）實驗名稱。（2）實驗目的。（3）實驗儀器。

（4）實驗原理。簡要敘述實驗的物理思想和依據(jù)的物理規(guī)律，主要計算公式；電學和光學實驗應畫出相應的電路圖或光路圖。（5）實驗內容及步驟。根據(jù)實際的實驗過程寫明實驗的關鍵步驟。（7）注意事項。（8）數(shù)據(jù)處理及分析。

實驗報告要用統(tǒng)一的實驗報告冊書寫，字體要工整，文句要簡明。原始數(shù)據(jù)要附在報告中一并交給教師審閱，沒有原始數(shù)據(jù)的實驗報告是無效的。

1.學生進入實驗室需帶上預習報告和記錄實驗數(shù)據(jù)的表格，經(jīng)教師檢查同意后，方可進行實驗。

2.遵守課堂紀律，保持安靜的實驗環(huán)境。

3.使用電源時，務必經(jīng)過教師檢查線路后方能接通電源。

4.愛護儀器。進入實驗室不能擅自搬弄儀器,實驗中嚴格按教材或儀器說明書操作，如有損壞照章賠償。公用工具用完后應立即放回原處。

5.做完實驗，經(jīng)教師審查測量數(shù)據(jù)并簽字后，學生應將儀器整理還原，將桌面和凳子收拾整齊后離開實驗室。

6.按要求及時上交實驗報告。實驗室規(guī)則教學安排

本學期教學計劃26學時，其中講課6學時（2次），實驗20（8次）學時。第1章測量誤差及數(shù)據(jù)處理§1.1測量與誤差§1.2誤差處理§1.3儀器誤差§1.4測量結果的不確定度估計§1.5有效數(shù)字及其運算法則§1.6實驗數(shù)據(jù)處理的基本方法§1.1.1測量1.測量的基本概念測量是利用儀器設備通過一定測量方法，將待測物理量與一個選做為標準的同類物理量進行比較，確定待測物理量大小的過程。測量三個要素（1）測量方法；（2）儀器設備；（3）測量結果比較法米尺90.70cm§1.1測量與誤差測量的目的：獲得測量值(數(shù)據(jù))。例如：用最小刻度為mm的米尺測量物體的長度。90.70cm2.測量值120.50cm一個物理量的測量值必須由數(shù)值和單位組成，兩者缺一不可。測量值＝數(shù)值+單位測量數(shù)值只有賦予了單位才有具體的物理意義例如：（1）120.50，不知道表示什么物理量；（2）120.50cm，表示長度；（3）120.50Kg，表示質量。按測量結果獲得方法：測量可分為直接測量和間接測量在物理量的測量中，絕大多數(shù)是間接測量，但是，直接測量是一切測量的基礎。3.

測量的分類（1）直接測量用標準量與待測量直接進行比較。例如：用直尺測量長度；以表計時間；天平稱質量；安培表測電流；等等。

（2）間接測量經(jīng)過直接測量與待測量有函數(shù)關系的物理量，再經(jīng)過運算得到待測物理量的測量方法。例如：用鋼卷尺測量桌子的面積S=a×b=S(a,b)按測量條件：測量可分為等精度測量和不等精度測量3.

測量的分類（1）等精度測量相同測量條件下，對同一被測量進行重復性測量。相同測量條件：同一測量水平的觀測者同一精度的儀器同樣的實驗方法同樣的實驗環(huán)境等精度測量測量的所有數(shù)據(jù)，可信賴程度相同，數(shù)據(jù)處理過程中的地位相同，一視同仁。（2）非等精度測量不相同測量條件下，對同一被測量進行重復性測量。非等精度測量測量的所有數(shù)據(jù)，可信賴程度不同，數(shù)據(jù)處理過程中的地位不同，按測量精度的高低，區(qū)別對待。1.真值與誤差（1）真值：物理量在客觀上存在著的確定數(shù)值。真值是一個抽象的概念，一般無法得到。真值及其變化規(guī)律的未知性，正是科學實驗的意義所在。實際應用中真值約定的方式：理論真值；公認真值；計量約定真值；標準相對真值；等等。（2）誤差誤差＝測量值-真值§1.1.2誤差

測量不能得到真值，但可以減小測量誤差，估算誤差范圍。2.誤差的基本性質普遍性：存在一切測量之中，貫穿于測量始終。不可知性：一般真值是未知的，誤差就無法知道。2.誤差的表示形式（1）（絕對）誤差用絕對大小給出的誤差，表示為δ＝x－x0

相對誤差反映了測量精度的高低，無單位，用百分數(shù)表示。絕對誤差反映了測量值偏離真值的大小和方向，可正可負，有單位。（2）相對誤差絕對誤差與被測量真值的比值，表示為E＝δ/x0×100％例如：測量兩個物體的長度分別為L1=100.0mm，L2=80.0mm；絕對誤差分別為δ1=0.8mm，δ2=0.8mm。相對誤差分別為：E1=0.8%，E2=1.0%

。測量值真值§1.1.3誤差的分類粗大誤差系統(tǒng)誤差隨機誤差按產(chǎn)生的原因和性質分類：

誤差的分類（2）隨機誤差在相同條件下，對同一測量量的多次測量過程中，每次測量的誤差可能是正或負，也可能是比較大或小，這是難以預測的，而且毫無規(guī)律而言。但是，如果測量次數(shù)很多時，誤差的出現(xiàn)又符合一定的統(tǒng)計規(guī)律。（1）系統(tǒng)誤差在相同條件下，對同一測量量的多次測量過程中，保持恒定（大小、正負不變）或按特定規(guī)律變化的誤差。來源:1）儀器誤差；2）理論誤差；3）觀測誤差；4）環(huán)境條件。隨機誤差無法從實驗中完全消除，但多次測量可以減小。隨機性，補償性按誤差掌握程度：已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。按誤差變化規(guī)律：不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差盡量消除或減小誤差的分類（3）粗大誤差在測量中某種非正常原因所引起的錯誤，也稱疏失誤差。如讀數(shù)錯誤，記錄錯誤，操作錯誤，估算錯誤等等。說明系統(tǒng)誤差與隨機誤差關系系統(tǒng)誤差由測量過程中某一突出因素變化引起。隨機誤差由測量過程中多種因素微小變化綜合引起。存在粗大誤差時，測量值明顯偏離被測量的真值。數(shù)據(jù)處理時，先檢驗測量數(shù)據(jù)是否存在粗大誤差，剔除含有粗大誤差的數(shù)據(jù)。隨機誤差與系統(tǒng)誤差不存在絕對的界限。在一定條件下，隨機誤差和系統(tǒng)誤差可以相互轉化?！?.1.4測量的精密度、準確度和精確度（1）精密度。表示重復測量所得數(shù)據(jù)的相互接近程度（離散程度）。（2）準確度。表示測量數(shù)據(jù)的平均值與真值的接近程度。（3）精確度。是對測量數(shù)據(jù)的精密度和準確度的綜合評定。

以打靶為例來比較說明精密度、準確度、精確度三者之間的關系。圖中靶心為射擊目標，相當于真值，每次測量相當于一次射擊。（a）準確度高、（b）精密度高、（c）精密度、準確精密度低準確度低度均高§1.2誤差的處理§1.2.1處理系統(tǒng)誤差的一般知識

發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，盡可能消除或減小。（參閱物理實驗中心新編大學物理實驗教材§1.2.1)1、隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律在一定的測量條件下設某一物理量的真實值為x0，對其多次重復測量值x1，x2，…，xn，則各次測量的隨機誤差可表示為§1.2.2隨機誤差的統(tǒng)計處理f(δ)δ概率密度函數(shù)誤差隨機誤差可以應用概率統(tǒng)計理論進行估算概率密度分布函數(shù)為隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律式中σ為標準誤差。令概率密度分布函數(shù)的二階導數(shù)為零，便可解出標準偏差，正好是概率密度分布曲線拐點的橫坐標值。隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律遵從正態(tài)分布規(guī)律的隨機誤差特征：單峰性：絕對值小/大的誤差可能性大/小對稱性：大小相等的誤差正、負機會均等有界性：絕對值非常大的可能性幾乎為零抵償性：正負誤差相互抵消f(δ)δ概率密度函數(shù)誤差隨機誤差可以應用概率統(tǒng)計理論進行估算隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律

概率密度分布函數(shù)f（δ）的意義是：在誤差值δ附近，單位間隔內誤差出現(xiàn)的概率，測量值的隨機誤差出現(xiàn)在區(qū)間（δ，δ+dδ）概率為f（δ）dδ，即圖中陰影內所包含的面積元。按照概率理論，誤差出現(xiàn)在區(qū)間（-∞，+∞）范圍內是必然的，即概率為100%。隨機誤差可以應用概率統(tǒng)計理論進行估算曲線下的總面積表示各種可能誤差值出現(xiàn)的總概率為2．標準誤差的物理意義標準誤差的物理意義測量值超過±3σ范圍的情況幾乎不會出現(xiàn)，所以我們把3σ稱為極限誤差。在實際測量中置信概率有不同的取值，根據(jù)國家計量技術規(guī)范，在寫出測量結果的表達式時，要注明它的置信概率。在P=0.95時，不必注明P值；當P取0.68或0.99時要求注明P值。在物理實驗教學中，我們約定取置信概率P=0.95。多次測量，x1、x2、…、xn，測量列的算術平均值為：當測量次數(shù)n趨于無窮時，算術平均值趨于真值。其中xi為第i次測得值。誤差的對稱性和抵償性§1.2.2隨機誤差的處理

1、算術平均值和標準偏差

算術平均值和標準偏差當測量次數(shù)n為有限次時，測量列的算術平均值作為真值的最佳估計值；其標準差常采用貝塞爾法來估計。多組等精度重復測量時，各測量列算術平均值也具有離散性，用算術平均值的標準差來描述。算術平均值的標準差一個測量列中各測量值的標準偏差

多組等精度重復測量時，算術平均值的標準差偏差：4．t分布當測量次數(shù)很少（n<10）時，誤差的分布就不服從正態(tài)分布，從而過渡到t分布（即學生分布）。t分布曲線與正態(tài)分布曲線類似，兩者的主要區(qū)別是t分布的峰值低于正態(tài)分布，而且上部較窄、下部較寬，如圖所示，在有限次測量的情況下，就要將隨機誤差的估算值取大一些。即在貝塞爾公式的基礎上再乘以一個tp因子，tp與測量次數(shù)有關，也與置信概率有關。

tp因子與測量次數(shù)、置信概率的對應關系

n2345678…∞(P=0.68)1.841.321.201.141.111.091.08…1.00(P=0.95)12.714.303.182.782.572.452.36…1.96(P=0.99)65.669.925.844.604.033.713.50…2.58對于服從正態(tài)分布的隨機誤差，出現(xiàn)在±S區(qū)間內概率為68.3%，與此相仿，同樣可以計算，在相同條件下對某一物理量進行多次測量，其任意一次測量值的誤差落在-3S到+3S區(qū)域之間的可能性（概率）。其值為1.拉依達判據(jù)§1.2.3

實驗中錯誤數(shù)據(jù)的剔除如果用測量列的算術平均替代真值，則測量列中約有99.7%的數(shù)據(jù)應落在區(qū)間內，如果有數(shù)據(jù)出現(xiàn)在此區(qū)間之外，則我們可以認為它是錯誤數(shù)據(jù)，這時我們應把它舍去，這樣以標準偏差Sx的3倍為界去決定數(shù)據(jù)的取舍就成為一個剔除壞數(shù)據(jù)的準則，稱為拉依達準則。但要注意的是數(shù)據(jù)少于10個時此準則無效。對于服從正態(tài)分布的測量結果，其偏差出現(xiàn)在±3S附近的概率已經(jīng)很小，如果測量次數(shù)不多，偏差超過±3S幾乎不可能，因而，用拉依達判據(jù)剔除疏失誤差時，往往有些疏失誤差剔除不掉。另外，僅僅根據(jù)少量的測量值來計算S，這本身就存在不小的誤差。因此當測量次數(shù)不多時，不宜用拉依達判據(jù)，但可以用肖維勒準則。按此判據(jù)給出一個數(shù)據(jù)個數(shù)n相聯(lián)系的系數(shù)Gn，當已知數(shù)據(jù)個數(shù)n，算術平均值和測量列標準偏差S，則可以保留的測量值xi的范圍為2.肖維勒準則Gn系數(shù)表

nGnnGnnGn51.65132.07252.3361.73142.10302.3971.80152.13402.4981.86162.15502.5891.92172.171002.80101.96182.20112.00192.22122.03202.24儀器的極限誤差（儀器誤差）：儀器誤差屬于未定系統(tǒng)誤差，影響因素多，規(guī)律復雜，一般只能給出最大允許誤差的估計值。即儀器的極限誤差Δ儀。極限誤差的獲得：(1)說明書、計量部門檢定等；(2)由儀器的準確度級別來計算；(3)未給出儀器誤差時估計:

①連續(xù)可讀儀器:最小分度1/2②非連續(xù)可讀儀器:最小分度③數(shù)字式儀表：取末位±1§1.3儀器誤差儀器名稱量程分度值儀器誤差鋼直尺0~300mm1mm±0.1mm鋼卷尺0~1000mm1mm±0.5mm游標卡尺0~300mm0.02,0.05mm分度值螺旋測微計0~100mm0.01mm±0.004mm物理天平1000g100mg±50mg水銀溫度計-30~300℃1℃,0.2℃,0.1℃分度值讀數(shù)顯微鏡0.01mm±0.004mm數(shù)字式電表最末一位的一個單位指針式電表0.1,0.2,0.5,1.01.5,2.5,5.0±量程×a%A.由儀器的準確度表示②.儀器誤差的確定：數(shù)字秒表:最小分度=0.01sC.未給出儀器誤差時非連續(xù)可讀儀器

測量不確定度是對測量結果不確定范圍的標度，也可以理解為測量誤差可能出現(xiàn)的范圍，表征測量結果的分散性、準確性和可靠程度，也表示待測量的真值可能在某個量值范圍的評定。不確定度是與測量結果相聯(lián)系的一種參數(shù)?；径x：對測量結果可信賴程度對評定。不確定度是評價測量質量的一個重要的指標。不確定度大，可信賴程度低；不確定度小，可信賴程度高?！?.4測量結果的不確定度估計不確定度的表示形式絕對不確定度：△相對不確定度：E測量結果的表示形式被測量x，最佳估計值不確定度，完整的測量結果表示為（單位）不確定度的分類按評定方法的不同，可分成兩類：A類不確定度和B類不確定度。A類不確定度：用統(tǒng)計方法評定的不確定度，△AB類不確定度：用非統(tǒng)計方法評定的不確定度，△B測量結果：mm(P=0.683)真值以68.3%的概率落在區(qū)間內測量值x和不確定度單位置信度（2）B類不確定度只考慮儀器誤差，標準不確定度的B類分量為最佳估計值多次測量，x1、x2、…、xn，測量列的算術平均值可表示為：§1.4.1

不確定度的分類多次測量（1）A類不確定度直接測量的標準不確定度的A類分量用算術平均值的標準差公式估算。用算術平均值作為直接測量量的最佳估計值?！?.4.2合成不確定度直接測量的不確定度估計§1.4.2合成不確定度單次測量有時因條件所限不可能進行多次測量(如地震波強度、雷電時電暈電流強度等)；或者由于儀器精度太低，多次測量讀數(shù)相同，測量隨機誤差較小；或者對測量結果的精度要求不高等情況，往往只進行一次測量。單次測量時，A類不確定度，無法考慮；最佳估計值即測量值本身。單次測量合成不確定度只考慮B類分量為測量結果的表示用合成標準不確定度表示測量結果。直接測量的不確定度估計一、間接測量的最佳值二、間接測量的不確定度傳播公式間接測量量N的不確定度與各直接測量量的不確定度有關，它們之間的關系由標準差傳播公式表示為間接測量是利用已知函數(shù)關系式的轉換測量。間接測量量：N直接測量量：x,y,z,…函數(shù)關系形式為：2．間接測量結果的合成不確定度例如：間接測量量的不確定度是每一個直接測量量的合成。兩邊求微分得:§1.4.3有關不確定度的數(shù)據(jù)處理過程與實例1．單次直接測量的數(shù)據(jù)處理

2．多次直接測量的數(shù)據(jù)處理對多次直接測量的數(shù)據(jù)，進行處理的一般步驟是：（1）計算被測量的算術平均值（2）求出各測量值的殘差（3）用貝塞爾公式求出測量列的標準偏差。

（4）審查測量數(shù)據(jù)，如發(fā)現(xiàn)有異常數(shù)據(jù)，應予以舍棄。舍棄異常數(shù)據(jù)后，再重復步（1）、（2）、（3）、（4），直至完全剔除異常數(shù)據(jù)。（5）求A類不確定度（6）求出總不確定度（7）表示出最后測量結果，直接測量量數(shù)據(jù)處理舉例

某長度測6次,分別為29.1829.1929.2729.2529.2629.24(cm)儀=0.05cmcm2、計算解：1、無可定系統(tǒng)誤差3、計算挑選最大最小值比較4、剔除異常值所以無異常值5、計算不確定度有效數(shù)字保留1位,且與平均值的最后一位對齊.8、最后結果：6、計算：7、計算：直接測量問題用0~25mm的一級千分尺測鋼球的直徑D，6次數(shù)據(jù)為：D1=3.121mm，D2=3.128mm，D3=3.125mmD4=3.123mm，D5=3.126mm，D6=3.124mm寫出完整的實驗結果。解：①求算術平均值②求不確定度A類分量③求不確定度B類分量④計算合成不確定度⑤完整的測量結果表示注意：測量結果的有效數(shù)字，不確定度的有效數(shù)字，相對不確定度的有效數(shù)字，單位。3、間接測量量數(shù)據(jù)處理(2)、計算(1)、計算(3)、計算(4)、最后結果{間接測量量數(shù)據(jù)處理舉例

測得某園柱體質量M，直徑D，高度H值如下，計算其密度及不確定度。代入數(shù)據(jù)計算密度相對不確定度總不確定度測量結果試求體積V并表示多取一位實驗結果。解：①求V：間接測量問題用千分尺測量圓柱體的體積V，已求得直徑為：注：常數(shù)的有效數(shù)字應比測量值的有效數(shù)字多取一位，至少位數(shù)相同，目的是讓常數(shù)取值的誤差忽略不計。體積的有效數(shù)字應符合有效數(shù)字運算法則，或多取一位。②求V的不確定度：3、間接測量量數(shù)據(jù)處理(2)、計算(1)、計算(3)、計算(4)、最后結果{根據(jù)不確定度傳播公式：③實驗結果表示：不確定度的有效數(shù)字首位是1或2可以取二位，但不能超過二位?！?.5有效數(shù)字及運算規(guī)則數(shù)據(jù)左起第一位非零數(shù)起,到第一位欠準數(shù)止的全部數(shù)字。有效數(shù)字=準確數(shù)字+欠準數(shù)位§1.5.1有效數(shù)字的一般概念

有效數(shù)字來源于測量時所用的儀器。我們的任務是使測量值盡可能準確地反映出它的真實值。有兩個特征：（2）在最小刻度之間可估計一位。欠準位準確位（1）以刻度為依據(jù)可讀到最小刻度所在位。

3536(cm)[1]位置為35.00cm,不能寫成35cm。[1][2]位置為35.40cm[2][3][3]位置介于35.7--35.8之間,可以估計為35.75.35.7635.77，不妨取35.76cm。

估計值只有一位，所以也叫欠準數(shù)位或可疑數(shù)位。有效數(shù)字的特點（1）位數(shù)與單位變換或小數(shù)點位置無關。35.76cm=0.3576m=0.0003576km（2）0的地位0.00035763.0053.000都是四位（3）特大或特小數(shù)用科學計數(shù)法§1.5.2有效數(shù)字的讀取

進行直接測量時，由于儀器多種多樣，正確讀取有效數(shù)字的方法大致歸納如下：1、一般讀數(shù)應讀到最小分度以下再估一位。例如，1/2，1/5，1/4，1/10等。2、有時讀數(shù)的估計位，就取在最小分度位。例如，儀器的最小分度值為0.5，則0.1-0.4,0.6-0.9都是估計的，不必估到下一位。3、游標類量具，讀到卡尺分度值。多不估讀，特殊情況估讀到游標分度值的一半。5、特殊情況，直讀數(shù)據(jù)的有效數(shù)字由儀器的靈敏閾決定。例如在“靈敏電流計研究”中，測臨界電阻時，調節(jié)電阻箱“

”，儀器才剛有反應，盡管最小步進為0.1電阻值只記錄到“

”。4、數(shù)字式儀表及步進讀數(shù)儀器不需估讀。6、若測值恰為整數(shù)，必須補零，直補到可疑位?！?.5.3有效數(shù)字的運算規(guī)則準準準欠欠欠[1]加減：與位數(shù)最高者對齊。[2]乘除：一般可與位數(shù)最少者相同。[3]冪運算、對數(shù)（指數(shù)）、三角函數(shù)(反三角）不改變有效數(shù)字位數(shù)。加、減法約簡

可見，約簡不影響計算結果。在加減法運算中，各量可約簡到其中位數(shù)最高者的下一位，其結果的欠準數(shù)位與參與運算各量中位數(shù)最高者對齊。乘、除法

在乘除運算之前，各量可先約簡到比其中位數(shù)最少者多一位。運算結果一般與位數(shù)最少者相同，特殊情況比最少者多（少）一位。多一位的情況全部欠準時，商所在位即為為欠準數(shù)位。比位數(shù)最少者少一位的情況。有效數(shù)字位數(shù)與底數(shù)的相同乘方、立方、開方初等函數(shù)運算四位有效數(shù)字，經(jīng)正弦運算后得幾位？

問題是在位上有波動，比如為，對正弦值影響到哪一位，哪一位就應是欠準數(shù)所在位。根據(jù)微分在近似計算中的應用，可知：第四位為欠準數(shù)位。不參與有效數(shù)字運算常數(shù)1.不確定度的有效數(shù)字

一般情況下不確定度的有效數(shù)字取一位，精密測量情況下，可取二位。2.測量結果的有效數(shù)字

測量結果最佳值的有效數(shù)字的末位與不確定度首位取齊。3.舍入規(guī)則：四舍六入五湊偶舍入法則§1.6

.1、列表法

表1.不同溫度下的金屬電阻值n1234567t(C)10.526.038.351.062.875.585.7R()10.42310.89211.20111.58612.02512.34412.670物理量的名稱(符號)和單位有效數(shù)字正確§1.6實驗數(shù)據(jù)處理基本方法注意:[1]根據(jù)數(shù)據(jù)分布范圍，合理選擇單位長度及坐標軸始末端的數(shù)值，并以有效數(shù)字的形式標出。[2]將實驗點的位置用符號X或等標在圖上，用鉛筆連成光滑曲線或一條直線，并標出曲線的名稱?！?.6.2作圖及圖解法[3]線性關系數(shù)據(jù)求直線的斜率時,應在直線上選相距較遠的兩新點A.B標明位置及坐標A(X1Y1),B(X2Y2)由此求得斜率。

作圖法特點:

簡單明了。

缺點:有一定任意性（人為因素），故不能求不確定度。非線性關系數(shù)據(jù)可進行曲線改直后再處理因變量自變量標度起點終點(4)描點+++++++(5)連線(6)注解說明(7)求斜率B(83.5,12.600)+++++++電阻R隨溫度t變化曲線A(13.0,10.500)當X等間隔變化，且X的誤差可以不計的條件下，將其分成兩組，進行逐差可求得：

對于X：X1XnX2nY：Y1YnY2n

§1.6.3逐差法砝碼質量(Kg)1.0002.0003.0004.0005.0006.0007.0008.000彈簧伸長位置(cm)x1x2x3x4x5x6x7x8

是從統(tǒng)計的角度處理數(shù)據(jù)，并能得到測量結果不確定度的一種方法。滿足線性關系

y=a+bx

若最簡單的情況:§1.6.4最小二乘法由于每次測量均有誤差，使

在所有誤差平方和為最小的條件下，得到的方程

y=a+bx

的方法叫最小二乘法。

假定最佳方程為：y=a0+b0x，其中a0和b0是最佳系數(shù)。殘差方程組為：根據(jù)上式計算出最佳系數(shù)a0和b0，得到最佳方程為：y=a0+b0x最小二乘法應用舉例為確定電阻隨溫度變化的關系式，測得不同溫度下的電阻如表一。試用最小二乘法確定關系式：R=a+bt。

表一電阻隨溫度變化的關系t/℃19.025.030.136.040.045.150.0R/Ω76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10解：1.列表算出：2.寫出a、b的最佳值滿足方程nt/℃R/Ωt2/℃2Rt/Ω℃119.176.303651457225.077.806251945330.179.509062400436.080.8012962909540.082.3516003294645.183.9020343784750.085.1025004255n=7=245.3=566.00=9326=200443.寫出待求關系式：設計性實驗基礎知識

定義：給定實驗目的及要求，由學生自行設計實驗方案并加以實施的實驗。主要設計內容包括：建立物理模型確定實驗方法選擇儀器設備制定實驗步驟設計性實驗測量型實驗：對某一物理量（如電容、折射率、靜態(tài)磁特性的測量等）進行測定，達到設計要求；研究型實驗：用實驗確定兩物理量或多物理量之間的關系（電源特性研究），并對其物理原理、外界條件的影響或應用價值等進行研究；制作型實驗：設計并組裝裝置，如萬用表、全息光柵等

三種類型：設計性實驗的一般程序：建立物理模型確定實驗方法選擇實驗儀器選擇實驗參數(shù)實驗操作處理數(shù)據(jù)撰寫實驗報告制定實驗步驟一、建立物理模型

根據(jù)實驗對象的物理性質，研究與實驗對象相關的物理過程原理及過程中各物理量之間的關系、推導數(shù)學公式。例：測量蘭州地區(qū)的重力加速度g。

測量精度要求：

什么物理現(xiàn)象或物理過程與g有關？自由落體運動/物體在斜面上的滑動/拋體運動/單擺/……物理模型的建立要測某一地區(qū)的重力加速度或者建立一個單擺的物理模型?？山ⅰ獋€自由落體運動的物理模型注意適用條件：1、只有系小球的細線的質量比小球質量小很多；2、小球的直徑比細線的長度小很多；3、小球在重力作用下做小角度擺動等，周期才滿足公式測量重力加速度的物理模型自由落體模型只能測一個單程的時間與位移，當下落行程h為2m時，所需時間t只有0.6s多，這就對計時儀器的精度提出了很高的要求。單擺模型可測n個周期的累積擺動時間，對于擺長L=1m的單擺，周期T約為2s，若累計測50個周期，則時間間隔達100s左右.顯然采用此方案，既簡單，又準確。因此，選單擺模型比自由落體要好。比如：在測量溫度時——可以使用水銀溫度計、熱電偶、熱敏電阻等多種器具；測量電壓——可以用萬用表、數(shù)字電壓表、電位差計、示波器等。一個實驗中可能要測量多個物理量，而每個物理量又都可能有多種測量方法。必須根據(jù)被測對象的性質和特點，羅列各種可能的實驗方法，分析各種方法的適用條件，比較各種方法的局限性及可能達到的實驗精度等因素，并考慮各種方法實施的可能性，優(yōu)缺點，綜合后做出選擇。一般情況下，為減小誤差應盡可能采取等精度的多次測量；對于等間隔、線性變化的實驗數(shù)據(jù)的處理可采用“逐差法”、“最小二乘法”等。實驗方法的選擇測量儀器的選擇與配套在間接測量中，每個獨立測量量的不確定度都會對最終結果的不確定度有貢獻。若測量結果的合成不確定度為，則中的每一項都要大致相等。選擇的方法是通過待測的間接測量量與各直接測量量的函數(shù)關系導出不確定度傳遞公式，并按照“不確定度均分”原理將對間接測量量的不確定度要求分配給各直接測量量，再由此選擇精度和量程適合的儀器。例如：不確定度均分原理選擇測量儀器不確定度傳遞公式單擺實驗測長儀器的允許最大不確定度(示值誤差)為3.5mm，計時儀器的允許最大不確定度(示值誤差)為0.0036s?？紤]到測量方便選擺長L約為lm，則周期約為2s。選擇lmm刻度的米尺測長完全可以達到要求；考慮到用停表計時時最小顯示為0.01s，又由于操作者技術引起的誤差在0.2s左右，所以需采用累積計時法，如先測量100個周期的時間，再轉換成一個周期的時間，就能滿足上述設計要求。

由此估算出：比如：由于條件限制，某一物理量測量的不確定度稍大，繼續(xù)降低不確定度又比較困難，這時可以允許該量的不確定度大一些，而將其它物理量的測量不確定度降得更低，以保證合成不確定度達到設計要求。另外，由有效數(shù)字運算法則可知，所選測量儀器的測量精度(有效數(shù)字位數(shù))應大致相同。為了合理使用儀器，達到相應的測量精度，在選擇儀器時應根據(jù)實際情況，兼顧儀器的等級和量程，使儀器的量程略大于測量值即可?！安淮_定度均分”只是一個原則上的分配方法，對于具體情況還可具體處理。例如：若待測電流為60mA0.5級量程為300mA的電流表1.0級量程為75mA的電流表儀器示值誤差限

誤差限值的相對值

由于待測量的量值與儀器的量程不匹配，用0.5級的表測得的結果反而不如1.0級的表好。

比較其結果可見：在實驗方法及儀器選定的情況下，選擇有利的測量條件，最大限度地減小系統(tǒng)誤差。測量條件與最佳參數(shù)的確定如用單擺測重力加速度時，我們選用的實驗裝置必須滿足：球要小，可看成質點；線要輕，可忽略擺線質量；擺角要小于，以滿足