經典控制理論-第四章1

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法

主要內容重點

掌握系統(tǒng)根軌跡所揭示出的系統(tǒng)零、極點對系統(tǒng)性能的影響，熟練掌握系統(tǒng)根軌跡圖的作圖步驟，會根據系統(tǒng)的根軌跡圖分析系統(tǒng)的性質。根軌跡的基本概念、繪制系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則,參數(shù)根軌跡和零度根軌跡的概念和繪制方法，以及如何利用根軌跡分析計算控制系統(tǒng)的性能（穩(wěn)定性、暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)性能指標等）。特征方程的根運動模態(tài)系統(tǒng)動態(tài)響應（穩(wěn)定性、系統(tǒng)性能）

4-1

根軌跡法的基本概念4.1.1根軌跡

開環(huán)系統(tǒng)（傳遞函數(shù)）的某一個參數(shù)從零變化到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根在s平面上的軌跡稱為根軌跡。若閉環(huán)系統(tǒng)不存在零點與極點相消，閉環(huán)特征方程的根與閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點是一一對應的。注意：K一變，一組根變；K一停，一組根停；一組根對應同一個K；根軌跡概念

-2-10jks(0.5s+1)K:0~∞特征方程：S2+2s+2k=0特征根：s1,2=－1±√1－2kk=0時，s1=0,s2=－20＜k＜0.5時，兩個負實根；若s1=－0.25,s2=?k=0.5時，s1=s2=－10.5＜k＜∞時，s1,2=－1±j√2k－1系統(tǒng)的特征方程為：可解出特征方程式的特征根，這些根與阻尼比以及

有關，這些根也是閉環(huán)的極點。對于不同的

，有七種情況，這七種情況在s平面上分別為：

對于高階系統(tǒng)，不能用特征方程求根的解析方法得到根軌跡。根軌跡法圖解法求根軌跡。從開環(huán)傳遞函數(shù)著手，通過圖解法來求閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。GHG(s)=

KG*∏(s-piqi=1);∏(s-zifi=1)H(s)=KH*∏(s-pjhj=1)j=1∏(s-zjl)Φ(s)=∏(s-piqi=1)hj=1∏(s-pj)∏(s-zifi=1)+kG*kH*∏(s-zjl)j=1∏(s-zifi=1)∏(s-pjhj=1)*KG閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點的關系根軌跡方程特征方程1+GH=01+K*=0j=1m∏spi(-)pi開環(huán)極點“×”,也是常數(shù)！開環(huán)零點“○”,是常數(shù)！Zji=1n∏根軌跡增益K*，不是定數(shù)，從0~∞變化這種形式的特征方程就是根軌跡方程szj(-)根軌跡的模值條件與相角條件j=1mn1+K*=0∏∏((ss--zjpi))i=1-1∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mnj=1mnK*=1∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=1K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1相角條件:模值條件:繪制根軌跡的充要條件

確定根軌跡上某點對應的K*值4-2根軌跡繪制的基本法則規(guī)則1：根軌跡的起點和終點：根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。簡要證明：又從在實際系統(tǒng)通常是，則還有條根軌跡終止于s平面的無窮遠處，這意味著在無窮遠處有個無限遠（無窮）零點。有兩個無窮遠處的終點有一個無窮遠處的起點規(guī)則2：根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)極點數(shù)n相等（n>m）或與開環(huán)有限零點數(shù)m相等（n<m)根軌跡連續(xù)：根軌跡增益是連續(xù)變化導致特征根也連續(xù)變化。實軸對稱：特征方程的系數(shù)為實數(shù)，特征根必為實數(shù)或共軛復數(shù)。規(guī)則3：根軌跡漸近線當n>m時，則有（n-m)條根軌跡分支終止于無限零點。這些根軌跡分支趨向無窮遠的漸近線由與實軸的夾角和交點來確定。與實軸夾角與實軸交點例4.1設單位反饋系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)為（2）有4條根軌跡的分支，對稱于實軸（1）（3）有n-m=4-1=3條根軌跡漸近線與實軸夾角與實軸交點規(guī)則4：實軸上的根軌跡若實軸的某一個區(qū)域是一部分根軌跡，則必有：其右邊（開環(huán)實數(shù)零點數(shù)+開環(huán)實數(shù)極點數(shù)）為奇數(shù)。這個結論可以用相角條件證明。由相角條件這個規(guī)則用相角條件可以證明。考慮實軸上的某一試驗點s0（見圖4-4），任一對共軛開環(huán)零點或共軛極點（如p2,p3）對應的相角（如θ2,θ3）之和均為3600，也就是說任一對共軛開環(huán)零、極點不影響實軸上試驗點s0的相角條件。再看實軸上的開環(huán)零、極點，對試驗點s0，其左邊實軸上任一開環(huán)零、極點對應的相角（如θ4,φ3）均為0，其右邊實軸上任一開環(huán)零、極點對應的相角（如θ1,φ1,φ2）均為1800。所以要滿足相角條件，s0右邊實軸上的開環(huán)零、極點總數(shù)必須是奇數(shù)。規(guī)則5：根軌跡分離點兩條或兩條以上的根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點稱為分離點（會合點）。分離點（會合點）的坐標d由下列方程所決定：或注：（1）根軌跡出現(xiàn)分離點說明對應是特征根出現(xiàn)了重根。（2）若實軸上的根軌跡的左右兩側均為開環(huán)零點（包括無限零點）或開環(huán)極點（包括無限極點），則在此段根軌跡上必有分離點。（3）分離點若在復平面上，則一定是成對出現(xiàn)的。例4.2繪制圖示系統(tǒng)大致的根軌跡解（1）開環(huán)零點開環(huán)極點根軌跡分支數(shù)為3條，有兩個無窮遠的零點。（2）實軸上根軌跡（3）趨向無窮遠處的漸近線的夾角與交點（4）分離點（用試探法求解）例4.3：設單位反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的根軌跡。解（1）一個開環(huán)零點，兩個開環(huán)極點；兩條根軌跡分支；有一個無窮遠處的零點。（2）漸近線與實軸重合的，實軸上根軌跡（-，-2]。（3）分離點（4）由相角條件可以證明復平面上的根軌跡是圓的一部分，圓心為（-2，j0)，半徑為規(guī)則6：根軌跡的起始角（出射角）和終止角（入射角）起始角（出射角）：根軌跡離開復平面上開環(huán)極點處的切線與實軸的夾角。終止角（入射角）：根軌跡進入復平面上開環(huán)零點處的切線與實軸的夾角。例規(guī)則7：根軌跡與虛軸的交點交點對應的根軌跡增益和角頻率可以用勞斯判據或閉環(huán)特征方程（）確定。例。設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)大致的根軌跡。解（1）無開環(huán)零點，開環(huán)極點在實軸上根軌跡[-3，0]。（2）有4條分支趨向無窮遠處。漸近線的夾角與交點（3）分離點（4）起始角（出射角）（5）與虛軸的交點運用勞斯判據由第一列、第三行元素為零由輔助方程規(guī)則8：閉環(huán)極點之和與根軌跡分支的走向結論：若n-m2閉環(huán)極點之和=開環(huán)極點之和=常數(shù)表明：開環(huán)增益K增大時，若某些根軌跡分支（閉環(huán)極點）向左移動，而另一些根軌跡分支（閉環(huán)極點）必須向右移動，才能維持閉環(huán)極點之和為常數(shù)。

繪制根軌跡的基本法則1根軌跡的條數(shù)2根軌跡對稱于軸實就是特征根的個數(shù)3根軌跡起始于,終止于j=1mnK*=1∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=1j=1mn=∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=11K*開環(huán)極點開環(huán)零點(n≠m?)舉例()∞()∞4∣n-m∣條漸近線對稱于實軸,均起于σa

點,方向由φa確定:∑pi-∑zj∣n-m∣i=1j=1nmσa=φa=(2k+1)πn-mk=0,1,2,…5實軸上的根軌跡6根軌跡的會合與分離1說明什么2d的推導3分離角定義實軸上某段右側零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該段是根軌跡j=1m∑i=1n∑d-pi11d-zj=k=0,1,2,…λL=(2k+1)πL,無零點時右邊為零L為來會合的根軌跡條數(shù)7與虛軸的交點可由勞斯表求出或令s=jω解出8起始角與終止角-1-2108.5°90°59°37°19°56.5°90°121°153°199°63.5°117°-2閉環(huán)極點的確定對于特定K*值下的閉環(huán)極點，可用模值條件確定。根軌跡示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j同學們，頭昏了吧？根軌跡示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj0n=1;d=conv([120],[122]);rlocus(n,d)n=[12];d=conv([125],[[1610]);rlocus(n,d)自動控制系統(tǒng)的根軌跡

二階系統(tǒng)

設二階系統(tǒng)的結構圖如上所示。它的開環(huán)傳遞函數(shù)為

（1）有二個開環(huán)極點（起點），。（2）有二個開環(huán)無限零點（終點），故二條根軌跡都將延伸到無限遠。（3）由上節(jié)法則可知，在0和間必有根軌跡。（4）計算根軌跡的分離點由此得分離點5）根軌跡的漸近線傾角計算，得

漸近線交點計算得它和根軌跡的分離點重合。根據以上分析計算結果，可作二階系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。開環(huán)具有零點的二階系統(tǒng)

二階系統(tǒng)增加一個零點時，系統(tǒng)結構圖如圖所示，它的開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)具有零點的二階系統(tǒng)的根軌跡如圖三階系統(tǒng)二階系統(tǒng)附加一個極點的系統(tǒng)的結構圖如下所示。它的開環(huán)傳遞函數(shù)為三階系統(tǒng)的如圖根軌跡

二階系統(tǒng)中增加一個極點，一個零點后系統(tǒng)的結構圖如下所示，它的開環(huán)傳遞函數(shù)為

開環(huán)具有零點的三階系統(tǒng)開環(huán)具有零點的三階系統(tǒng)的根軌跡如圖具有復數(shù)極點的四階系統(tǒng)結構圖如下所示。它的開環(huán)傳遞函數(shù)為具有復數(shù)極點的四階系統(tǒng)的根軌跡如圖4-3廣義根軌跡廣義根軌跡是指根軌跡參數(shù)除了開環(huán)增益之外的所有根軌跡。包括參數(shù)根軌跡，開環(huán)零點個數(shù)大于開環(huán)極點個數(shù)的根軌跡，具有正反饋內環(huán)的零度根軌跡等。參數(shù)根軌跡以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡引入等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，將特征方程進行等效變換等效開環(huán)傳遞函數(shù)其中，開環(huán)增益可自行選定。試分析時間常數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。注意：等效意義是在特征方程相同，或者是閉環(huán)極點相同的前提下成立；而此時閉環(huán)零點是不同的。例：設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：閉環(huán)特征方程要繪制參數(shù)根軌跡，首先要求出等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極點等效開環(huán)極點等效開環(huán)零點注：若分母多項式為高次時，無法解析求解等效開環(huán)極點，則運用根軌跡法求解。此時可設如本例，求解分母特征根的根軌跡方程為：K可自行選定，選定不同K值，然后將G1(s)H1(s)的零、極點畫在s平面上，再令繪制出變化時的參數(shù)根軌跡。

增加開環(huán)零點將引起系統(tǒng)根軌跡形狀的變化，因而影響了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其瞬態(tài)響應性能，下面以三階系統(tǒng)為例來說明。設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為如果在系統(tǒng)中增加一個開環(huán)零點，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)橄旅鎭硌芯块_環(huán)零點在下列三種情況下系統(tǒng)的根軌跡。1.，設則相應系統(tǒng)的根軌跡如圖b)所示。由于增加一個開環(huán)零點，根軌跡相應發(fā)生變化。

從根軌跡形狀變化看，系統(tǒng)性能的改善不顯著，當系統(tǒng)增益超過臨界值時，系統(tǒng)仍將變得不穩(wěn)定，但臨界開環(huán)放大系數(shù)和臨界頻率都有所提高。

2.，設相應的根軌跡如圖c）所示

此時系統(tǒng)的開環(huán)增益取任何值時系統(tǒng)都將穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)有三個極點，如設計得合適，系統(tǒng)將有兩個共軛復數(shù)極點和一個實數(shù)極點，并且共軛復數(shù)極點距虛軸較近，即為共軛復數(shù)主導極點。在這種情況下，系統(tǒng)可近似看成一個二階欠阻尼比系統(tǒng)來進行分析。3.，設相應系統(tǒng)根軌跡如圖d）所示。在此情況下，閉環(huán)復數(shù)極點距離軸較遠，而實數(shù)極點卻距離軸較近，這說明系統(tǒng)將有較低的瞬態(tài)響應速度。

從以上三種情況來看，一般第二種情況比較理想，這時系統(tǒng)具有一對共軛復數(shù)主導極點，其瞬態(tài)響應性能指標也比較滿意?？梢姡黾娱_環(huán)零點將使系統(tǒng)的根軌跡向左彎曲，并在趨向于附加零點的方向發(fā)生變形。如果設計得當，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應性能指標均可得到顯著改善。在隨動系統(tǒng)中串聯(lián)超前網絡校正，在過程控制系統(tǒng)中引入比例微分調節(jié)，即屬于此種情況。附加開環(huán)零點的目的，除了改善系統(tǒng)穩(wěn)定性之外，還可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。結論：只有當附加零點相對原有系統(tǒng)開環(huán)極點的位置選配適當，才有可能使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能同時得到明顯的改善。零度根軌跡非最小相位系統(tǒng)：s右半平面具有開環(huán)零、極點的系統(tǒng)。此時相角條件為兩方面：s的最高次冪的系數(shù)為負；系統(tǒng)中包含了正反饋內回路，有時為了分析內回路的特性，則有必要繪制相應的根軌跡，其相角條件為具有這類相角條件的根軌跡稱為：零度根軌跡零度根軌跡的繪制以具有正反饋內回路的的系統(tǒng)為例。具有正反饋內回路系統(tǒng)如圖所示，外回路是采用負反饋加以穩(wěn)定，為了分析整個系統(tǒng)的性能，通常首先要確定內回路的零、極點，這就相當于繪制具有正反饋系統(tǒng)的根軌跡。等效為相角方程（幅角條件）和模方程（模值條件）與常規(guī)根軌跡的相角條件和模值條件相比：模值條件沒有變化。所以零度根軌跡的繪制的規(guī)則只要考慮相角條件所引起的某些規(guī)則的修改。規(guī)則3：漸近線的夾角與實軸夾角與實軸交點規(guī)則4：實軸上的根軌跡若實軸的某一個區(qū)域是一部分根軌跡，則必有：其右邊（開環(huán)實數(shù)零點數(shù)+開環(huán)實數(shù)極點數(shù)）為偶數(shù)。這個結論可以用相角條件證明。規(guī)則6：根軌跡的起始角（出射角）和終止角（入射角）起始角（出射角）：終止角（入射）：例。設具有正反饋回路系統(tǒng)的內回路傳遞函數(shù)分別為試繪制該回路的根軌跡圖。（1）系統(tǒng)的開環(huán)零極點分布為有三條分支，實軸上的根軌跡（-，-3]，[-2，）。（2）根軌跡的漸近線（n-m)=2條，漸近線夾角（3）確定