廣東省揭陽市普寧國賢學校2022-2023學年高三下學期開學考試數(shù)學試題含答案

答案第=page2424頁，共=sectionpages2424頁廣東省揭陽市普寧國賢學校2022-2023學年高三下學期開學考試數(shù)學試題一、單選題(共40分)1．若集合，，則（

）A．B．C． D．2．已知，是虛數(shù)單位，若與互為共軛復數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．小明和李華在玩游戲，他們分別從1~9這9個正整數(shù)中選出一個數(shù)告訴老師，老師經過計算后得知他們選擇的兩個數(shù)不相同，且兩數(shù)之差為偶數(shù)，那么小明選擇的數(shù)是偶數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．5．若函數(shù)(其中)存在零點，則的取值范圍是（

）A． B．(1，3] C．(2，3) D．(2，3]6．已知為奇函數(shù)，當時，，則當時，（

）A．B．C． D．7．現(xiàn)有下列五個結論，正確的個數(shù)為（

）①若，則有；②對任意向量、，有；③對任意向量、，有；④對任意復數(shù)，有；⑤對任意復數(shù)，有．A．0 B．1 C．2 D．38．如圖，已知正方體的棱長為分別是棱上的動點，若，則線段的中點的軌跡是（

）A．一條線段B．一段圓弧C．一部分球面D．兩條平行線段二、多選題(共20分)9．有一組樣本數(shù)據(jù)，其樣本平均數(shù)為.現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)，且，組成新的樣本數(shù)據(jù)，與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的樣本數(shù)據(jù)可能（

）A．平均數(shù)不變B．眾數(shù)不變C．極差變小 D．第20百分位數(shù)變大10．已知O為坐標原點，點，，，則（

）A．B．C．D．11．（2022·廣東茂名·模擬預測）雙曲線具有如下光學性質：如圖，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點P，經雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點．若雙曲線C的方程為，下列結論正確的是（

）A．若，則B．當n過時，光由所經過的路程為13C．射線n所在直線的斜率為k，則D．若，直線PT與C相切，則12．在數(shù)列中，對于任意的都有，且，則下列結論正確的是（

）A．對于任意的，都有B．對于任意的，數(shù)列不可能為常數(shù)列C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列D．若，則當時，三、填空題(共20分)13．中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）.14．已知，則___________.15．已知為奇函數(shù)，則________．16．球體在工業(yè)領域有廣泛的應用，某零件由兩個球體構成，球的半徑為為球表面上兩動點，為線段的中點.半徑為2的球在球的內壁滾動，點在球表面上，點在截面上的投影恰為的中點，若，則三棱錐體積的最大值是___________.四、解答題(共70分)17．已知數(shù)列滿足，其中是的前項和.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)若，求的前項和.18．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面為中點，與交于點的重心為.(1)求證：平面(2)若，求二面角的正弦值.19．如圖，已知，平面內任意點關于點的對稱點為，點關于點的對稱點為.設（為單位向量）.(1)求的長；(2)在中，若，試求的取值范圍.20．某工廠生產一批零件，其直徑X滿足正態(tài)分布（單位：）.(1)現(xiàn)隨機抽取15個零件進行檢測，認為直徑在之內的產品為合格品，若樣品中有次品則可以認定生產過程中存在問題.求上述事件發(fā)生的概率，并說明這一標準的合理性.（已知：）(2)若在上述檢測中發(fā)現(xiàn)了問題，另抽取100個零件進一步檢測，則這100個零件中的次品數(shù)最可能是多少？21．已知拋物線C：與直線相切．(1)求C的方程；(2)過C的焦點F的直線l與C交于A，B兩點，AB的中垂線與C的準線交于點P，若，求l的方程．22．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若對任意的恒成立，求的取值范圍.參考答案：1．C【分析】根據(jù)集合的交集運算可得.【詳解】，.故選：C2．C【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的概念可求得的值，進而根據(jù)復數(shù)的乘法運算即可求得結果.【詳解】由已知可得，所以.故選：C.3．B【分析】利用兩直線平行求出實數(shù)的值，再利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】若直線與直線平行，則且，因為“”“且”，但“”“且”，因此，“”是“直線與直線平行”的必要不充分條件.故選：B.4．A【分析】根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】解：設兩數(shù)之差為偶數(shù)為事件，小明選擇的數(shù)是偶數(shù)為事件，由于他們選擇的兩個數(shù)不相同，且兩數(shù)之差為偶數(shù)，則小明選擇的數(shù)是偶數(shù)的概率為：.故選：A．5．C【分析】先判斷，再判斷指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上無零點，可得函數(shù)在區(qū)間上存在零點，利用對數(shù)函數(shù)的單調性可得答案.【詳解】由函數(shù)的解析式可知，因為指數(shù)函數(shù)單調遞增，在區(qū)間上無零點，所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點，由于單調遞增，故當時，有，從而所以實數(shù)的取值范圍是(2，3)，故選：C.6．C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質即可算出答案.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，即．當時，，．故選：C7．D【分析】根據(jù)絕對值的運算法則判斷①，根據(jù)數(shù)量積的定義判斷②③，根據(jù)復數(shù)的運算及模的定義判斷④⑤.【詳解】根據(jù)絕對值的運算法則正確，故①正確；對任意向量、，，故②不正確；對任意向量、，有，故③正確；對任意復數(shù)，不妨設，則，而，顯然不成立，故④錯誤；對任意復數(shù)，不妨設，則，所以，，所以有，故⑤正確.故選：D8．B【分析】由題意，構造直角三角形，利用其性質求得的長，根據(jù)等腰三角形的性質，求得到中點的距離，可得答案.【詳解】由題意，連接，，，，取中點為，連接，如下圖：在正方體中，易知為直角三角形，為的中點，在中，；在中，，，且為的中點，，在中，，分別為上的動點，點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓的一部分，故選：B.9．BD【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、極差、眾數(shù)以及百分位數(shù)的定義判斷求解.【詳解】因為，所以新的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)減小，A錯誤；加入一個新數(shù)據(jù)，則眾數(shù)仍有可能為原數(shù)據(jù)的眾數(shù)，B正確；若加入一個新數(shù)據(jù)不是最大值也不是最小值，則新數(shù)據(jù)極差等于原數(shù)據(jù)極差，C錯誤；若為原數(shù)據(jù)從小到大排列的第20為后的數(shù)，因為樣本數(shù)增加，所以第20百分位數(shù)可能后移，則新數(shù)據(jù)第20百分位數(shù)可能變大.D正確，故選:BD.10．ABC【分析】利用平面向量的坐標表示與旋轉角的定義推得是正三角形，從而對選項逐一分析判斷即可.【詳解】對于A，因為，，，所以，，故是正三角形，則，故A正確；對于B，因為是正三角形，是的外心，所以是的重心，故，即，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，因為，則，所以，故D錯誤.故選：ABC．.11．【答案】CD【詳解】對于A：若，則.因為P在雙曲線右支上，所以.由勾股定理得：二者聯(lián)立解得：.故A錯誤；對于B：光由所經過的路程為.故B錯誤；對于C：雙曲線的方程為.設左、右頂點分別為A、B.如圖示：當與同向共線時，的方向為，此時k=0，最小.因為P在雙曲線右支上，所以n所在直線的斜率為.即.故C正確.對于D：設直線PT的方程為.，消去y可得：.其中，即，解得代入，有，解得：x=9.由P在雙曲線右支上，即，解得：（舍去），所以.所以.故D正確故選：CD12．ACD【分析】A由遞推式有上，結合恒成立，即可判斷：B反證法：假設為常數(shù)列，根據(jù)遞推式求判斷是否符合，即可判斷；C、D由上，討論、研究數(shù)列單調性，即可判斷.【詳解】A：由，對有，則，即任意都有，正確；B：由，若為常數(shù)列且，則滿足，錯誤；C：由且，當時，此時且，數(shù)列遞增；當時，此時，數(shù)列遞減；所以時數(shù)列為遞增數(shù)列，正確；D：由C分析知：時且數(shù)列遞減，即時，正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：選項B應用反證法，假設為常數(shù)列求通項，判斷是否與矛盾；對于C、D，將遞推式變形為，討論、時研究數(shù)列的單調性.13．【分析】的二項展開式的通項為，令，再求出展開式中的系數(shù)，從而可求解.【詳解】，其二項展開式的通項為，要得到，則，解得.的二項展開式的通項為，令，可得.故中的系數(shù)為.故答案為:.14．##【分析】先利用換元法，結合三角函數(shù)的誘導公式與倍角公式將等式轉化為，解之即可.【詳解】令，則，所以，因為，所以，整理得，則，解得或（舍去），所以，即.故答案為：.15．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，可得，化簡即得，即可求得答案.【詳解】由題意可得滿足且，則有，即，故，即，因為時，定義域為，滿足，函數(shù)為偶函數(shù)，不合題意，故，則的自變量x可取到0，且函數(shù)定義域關于原點對稱，則不恒等于0，故，當時，定義域為R,滿足,即為奇函數(shù)，故答案為：15【分析】作出圖形，在球中求得三角形的面積的最大值為3，作出圖形，求得點為到平面的距離最大值為15，根據(jù)錐體的體積公式即可求得答案.【詳解】解：如圖一所示：在圓中，因為點在截面上的投影恰為的中點，且，所以為直角三角形，且，又因為，所以可得，設，則有，所以，所以，當時，等號成立，所以；如圖二所示：因為球的半徑為，為線段的中點，所以，當三點共線且為如圖所示的位置時，點為到平面的距離最大，即此時三棱錐的高最大，此時,所以此時,即三棱錐體積的最大值是15.故答案為：15.17．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)的關系可得，根據(jù)此遞推關系即可根據(jù)等差中項求證，（2）根據(jù)裂項求和即可求解.【詳解】（1）由得：當時，，兩式子相減得①，因此可得②，①②相減得：，由于，所以，所以是等差數(shù)列；（2）由（1）知是等差數(shù)列，，所以，因此，所以.18．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由題可得，然后根據(jù)線面平行的判定定理即得；（2）根據(jù)面面垂直的性質定理可得平面，然后利用坐標法，根據(jù)面面角的向量求法即得.【詳解】（1）因為的重心為，為中點，所以，又，所以，即，又，所以，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因為，為中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖以為原點建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，則，令，可得，設平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以二面角的正弦值.19．(1)(2)【分析】（1）利用向量的四則運算結合單位向量的概念即可求解；（2）利用正弦定理邊角互化即可求解.【詳解】（1）連接，由題意，得，所以，在中，點分別為的中點，所以，所以.（2）因為在中，有，所以由正弦定理邊角互化得，即，由于，所以，又因為，所以，在中由正弦定理得，所以，所以，在中，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，即所求的取值范圍是.20．(1)見解析；(2)0.【分析】（1），故至少有1個次品的概率為，根據(jù)小概率事件說明即可；（2）次品的概率為，設次品數(shù)為,則，其中，設次品數(shù)最可能是件，則，求解即可.【詳解】（1）因為，所以,所以隨機抽取15個零件進行檢測，至少有1個次品的概率為，如果生產狀態(tài)正常，至少有一個次品的概率約為，該事件是小概率事件，因此一旦發(fā)生這種狀況，就有理由認定生產過程中存在問題，即這一標準是合理的.（2）次品的概率為，抽取100個零件進一步檢測，設次品數(shù)為,則，其中，故，設次品數(shù)最可能是件，則，即，即，解得.因為，所以，故.故這100個零件中的次品數(shù)最可能是0.21．(1)(2)或【分析】（1）聯(lián)立方程利用運算求解；（2）分析可得，設l的方程為，聯(lián)立方程結合韋達定理運算求解.【詳解】（1）聯(lián)立方程，消去x得，∵拋物線C與直線相切，則，解得或（舍去）故拋物線的方程C