大學(xué)物理第7章機(jī)械波課件

第7章機(jī)械波中國國家管弦樂團(tuán)在聯(lián)合國總部的演出機(jī)械波產(chǎn)生條件平面簡諧波基本原理惠更斯原理疊加原理定義特征量描述方法能量波的反射、折射、衍射波的干涉駐波幾何法圖線法解析法能量能流條件§7.1

機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播一.機(jī)械波的產(chǎn)生二.

橫波和縱波介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波傳播方向相互垂直的波；如柔繩上傳播的波。介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波傳播方向相互平行的波；如空氣中傳播的聲波。波源：作機(jī)械振動(dòng)的物體｛橫波：縱波：機(jī)械波:機(jī)械振動(dòng)以一定速度在彈性介質(zhì)中由近及遠(yuǎn)地傳播出去，就形成機(jī)械波。彈性媒質(zhì)：承擔(dān)傳播振動(dòng)的物質(zhì)振動(dòng)曲線ty結(jié)論123456789101112131415161718123456789101112131415161718橫波縱波(1)波動(dòng)中各質(zhì)點(diǎn)并不隨波前進(jìn)；yx波動(dòng)曲線(2)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相位依次落后,波動(dòng)是相位的傳播，是振動(dòng)狀態(tài)的傳播；(3)波動(dòng)曲線與振動(dòng)曲線不同。波面三.

波面和波線在波傳播過程中，任一時(shí)刻媒質(zhì)中振動(dòng)相位相同的點(diǎn)聯(lián)結(jié)成的面。沿波的傳播方向作的有方向的線段。球面波柱面波波面波線波面波線在各向同性均勻媒質(zhì)中，波線⊥波面。波面波線波前在某一時(shí)刻，波傳播到的最前面的波面。波線注意xyz同一波線上相鄰兩個(gè)相位差為2的質(zhì)點(diǎn)之間的距離；即波源作一次完全振動(dòng)，波前進(jìn)的距離。四.描述波動(dòng)的物理量波前進(jìn)一個(gè)波長距離所需的時(shí)間。周期表征了波的時(shí)間周期性。單位時(shí)間內(nèi)，波前進(jìn)距離中完整波的數(shù)目。頻率與周期的關(guān)系為振動(dòng)狀態(tài)在媒質(zhì)中的傳播速度。波速與波長、周期和頻率的關(guān)系為波長反映了波的空間周期性。(1)波的周期和頻率與媒質(zhì)的性質(zhì)無關(guān)；一般情況下，與波源振動(dòng)的周期和頻率相同。a.拉緊的繩子或弦線中橫波的波速為：b.均勻細(xì)棒中，縱波的波速為：(2)波速實(shí)質(zhì)上是相位傳播的速度，故稱為相速度；其大小主要決定于媒質(zhì)的性質(zhì)，與波的頻率無關(guān)。說明—張力—線密度—固體棒的楊氏模量—固體棒的密度例如：d.液體和氣體只能傳播縱波，其波速由下式給出c.固體媒質(zhì)中傳播的橫波速率由下式給出：—固體的切變彈性模量—固體密度—流體的容變彈性模量—流體的密度e.稀薄大氣中的縱波波速為—?dú)怏w摩爾熱容比—?dú)怏w摩爾質(zhì)量—?dú)怏w摩爾常數(shù)解：聲波的周期為例：在室溫下空氣中的聲速為，設(shè)波源頻率為，求該聲波的周期及在空氣中的波長。聲波在空氣中波長波程差與相位差質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)歷的路程——波程波程差相位差波面為平面的簡諧波§7.2平面簡諧波簡諧波介質(zhì)傳播的是諧振動(dòng)，且波所到之處，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)作同頻率的諧振動(dòng)。本節(jié)主要討論在無吸收（即不吸收所傳播的振動(dòng)能量）、各向同性、均勻無限大媒質(zhì)中傳播的平面簡諧波。平面簡諧波平面簡諧波說明簡諧波是一種最簡單、最基本的波，研究簡諧波的波動(dòng)規(guī)律是研究更復(fù)雜波的基礎(chǔ)。一.平面簡諧波的波函數(shù)一般波函數(shù)yxxPO簡諧振動(dòng)從時(shí)間看,P

點(diǎn)

t時(shí)刻的位移是O點(diǎn)簡諧振動(dòng)平面簡諧波的波函數(shù)時(shí)刻的位移;從相位看，P

點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位較O

點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)相位落后若已知t時(shí)刻o點(diǎn)P為任意點(diǎn)(波函數(shù))波函數(shù)的其它形式由波函數(shù)可知波的傳播過程中任意兩質(zhì)點(diǎn)x1和

x2振動(dòng)的相位差為深入探討(1)

x2>x1,，說明x2處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位總落后于x1處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)；u

實(shí)際上是振動(dòng)相位的傳播速度，相速。(2)t1

時(shí)刻x1處的振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)Δt

時(shí)間傳播到x1+Δx

處，則可得到(3)

若波沿軸負(fù)向傳播時(shí)，同樣可得到波函數(shù):X=0處其它形式X=0處X處超前二.波函數(shù)的意義波函數(shù)是用數(shù)學(xué)（形式）或方程描述平面簡諧波在傳播過程中任一時(shí)刻、任一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況。(1)振動(dòng)狀態(tài)的空間周期性說明波線上振動(dòng)狀態(tài)的空間周期性(2)波形傳播的時(shí)間周期性說明波形傳播的時(shí)間周期性t給定，y=y(x)

表示

時(shí)刻的波形圖波形曲線（3）給定x

給定，y=y(t)是

處振動(dòng)方程（4）給定波形曲線t1時(shí)刻的波形Oyxt1+Δt時(shí)刻的波形x1(5)x和

t都在變化，表明波形傳播和分布的時(shí)空周期性。

例：一平面簡諧波的波函數(shù),單位為m，t的單位為s。求該波的波幅、波速、頻率和波長解：波函數(shù)得如圖，波沿x正向傳播，在下列情況下試求波函數(shù)：(3)

若u

沿x

軸負(fù)向，以上兩種情況又如何？例(1)

以A為原點(diǎn)；(2)

以B為原點(diǎn)；BA已知A點(diǎn)的振動(dòng)方程為：在x軸上任取一點(diǎn)P，該點(diǎn)振動(dòng)方程為：波函數(shù)為：解PBA(2)B點(diǎn)為原點(diǎn)：波函數(shù)為:任意P點(diǎn),坐標(biāo)x，PBA比A點(diǎn)滯后任意P點(diǎn),坐標(biāo)x，比A點(diǎn)超前波函數(shù)為:注意x前符號(hào)(3)

若u

沿x

軸負(fù)向，以上兩種情況又如何？以A為原點(diǎn)：任意P點(diǎn),坐標(biāo)x，比A點(diǎn)超前任意P點(diǎn),坐標(biāo)x，比A點(diǎn)滯后任意點(diǎn)通常不選在x<0以B為原點(diǎn)：任意P點(diǎn),坐標(biāo)x，比A點(diǎn)超前任意P點(diǎn),坐標(biāo)x，比A點(diǎn)滯后注意x前符號(hào)例波函數(shù)中各表示什么意義？解：1.處的初相2.前為“—”，表示x比x=0振動(dòng)滯后的時(shí)間即x=0處的振動(dòng)狀態(tài)傳到x所需的時(shí)間3.表示x處比x=0處相位滯后4.表示任一時(shí)刻、任一點(diǎn)的相位一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，已知其波函數(shù)為 a.比較法(與標(biāo)準(zhǔn)形式比較）標(biāo)準(zhǔn)形式波函數(shù)為比較可得例解(1)波的振幅、波長、周期及波速；(2)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的最大速度。求(1)b.分析法（由各量物理意義，分析相位關(guān)系）振幅波長周期波速(2)t=0一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，已知其振幅和頻率 例解(1)t=0時(shí)如圖所示，求波函數(shù)；求(2)t=t‘時(shí)如圖所示，求波函數(shù)。(1)t=0時(shí)，原點(diǎn)振動(dòng)方程由波動(dòng)方向，判斷原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向向下Oxyy0由旋轉(zhuǎn)矢量得原點(diǎn)振動(dòng)方程為波函數(shù)為和振動(dòng)不同(2)t=t’時(shí)如圖所示，求波函數(shù)。原點(diǎn)振動(dòng)方程t=t’時(shí)原點(diǎn)的相位（非初相位）為即原點(diǎn)振動(dòng)方程為波函數(shù)為Oxy內(nèi)容回顧波函數(shù)的建立1.已知某點(diǎn)的振動(dòng)方程波的傳播方向2.已知某時(shí)刻的波形曲線找出某點(diǎn)的振動(dòng)方程例：一簡諧波沿x軸正方向傳播，T=T/4時(shí)的波形曲線如圖所示。若振動(dòng)以余弦函數(shù)表示，且此題各點(diǎn)振動(dòng)的初相位取到之間的值，則：(1)0點(diǎn)的初位相為（2）1點(diǎn)的初位相為（3）2點(diǎn)的初位相為(4)3點(diǎn)的初位相為。解：由波形知道A=2m，波長例：平面簡諧波沿x軸正方向傳播，在t=2s時(shí)的波形如圖，波速為，求原點(diǎn)處的振動(dòng)方程，并寫出波函數(shù)頻率圓頻率故該波傳到原點(diǎn)時(shí)，原點(diǎn)振動(dòng)方程為t=2s，x=0處位移為零由波形曲線，該時(shí)刻原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度為負(fù)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程沿x軸正方向傳播，相應(yīng)波函數(shù)為*三.平面波的波動(dòng)微分方程由知(2)不僅適用于機(jī)械波，也廣泛地適用于電磁波、熱傳導(dǎo)、化學(xué)中的擴(kuò)散等過程；(1)上式是一切平面波所滿足的微分方程（正、反傳播）；(3)若物理量是在三維空間中以波的形式傳播，波函數(shù)為右式說明§7.3波的能量一.波的能量和能量密度波動(dòng)過程質(zhì)元由靜止開始振動(dòng)質(zhì)元發(fā)生形變波動(dòng)過程是能量的傳播過程以繩索上傳播的橫波為例：yx0x

y=Acos(t-x/u)0uxx+xyyOxy線元的動(dòng)能為線元的勢(shì)能（原長為勢(shì)能零點(diǎn)）為①設(shè)波沿x方向傳播，取線元T2T1△l△y△x以繩索上傳播的橫波為例：其中將代入①、②

、③線元的機(jī)械能為和③②(1)在波的傳播過程中，媒質(zhì)中任一質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能是同步變化的，即Wk=Wp，與簡諧彈簧振子的振動(dòng)能量變化規(guī)律是不同的；如圖所示討論xyOAB,A點(diǎn)質(zhì)元的動(dòng)能、勢(shì)能同時(shí)達(dá)到最??；B點(diǎn)質(zhì)元的動(dòng)能、勢(shì)能同時(shí)達(dá)到最大；機(jī)械能(2)質(zhì)元機(jī)械能隨時(shí)空周期性變化，表明質(zhì)元在波傳播過程中不斷吸收和放出能量；因此，波動(dòng)過程是能量的傳播過程。二.能流密度1.能量密度?設(shè)介質(zhì)的橫截面為S

，體密度為，則線元單位體積中的機(jī)械能（能量密度）為平均能量密度2.

能流在一個(gè)周期中的平均能流為su△t能流密度通過垂直于波線截面單位面積上的能流。大?。悍较颍翰ǖ膫鞑シ较蚴噶勘硎臼剑?在單位時(shí)間內(nèi)通過一定截面的波動(dòng)能量為能流S波的強(qiáng)度一個(gè)周期內(nèi)能流密度大小的平均值。*三.平面波和球面波的振幅1.平面波

（不吸收能量）由得這表明平面波在媒質(zhì)不吸收的情況下,振幅不變。2.球面波由令得球面波的振幅在媒質(zhì)不吸收的情況下,隨r

增大而減小.則球面簡諧波的波函數(shù)為（A0為離原點(diǎn)（波源）單位距離處波的振幅）*四.波的吸收吸收媒質(zhì),實(shí)驗(yàn)表明O

為介質(zhì)吸收系數(shù)，與介質(zhì)的性質(zhì)、溫度、及波的頻率有關(guān)。IxIxI0I0O(1)知某一時(shí)刻波前，可用幾何方法決定下一時(shí)刻波前；說明R1R2S1S2O§7.4惠更斯原理惠更斯提出：(1)行進(jìn)中的波面上任意一點(diǎn)都可看作是新的子波源；(3)各個(gè)子波所形成的包絡(luò)面，就是原波面在一定時(shí)間內(nèi)所傳播到的新波面。(2)所有子波源各自向外發(fā)出許多子波；(2)亦適用于電磁波，非均勻和各向異性媒質(zhì)；(4)不足之處（未涉及振幅，相位等的分布規(guī)律）。(3)解釋衍射、反射、折射現(xiàn)象；BCA由幾何關(guān)系知：DEFu1u2u2△td=u1△t(反射)一、波的疊加原理1.幾列波相遇后仍保持它們?cè)械奶匦裕l率、波長、振幅、傳播方向）不變，互不干擾。好象在各自傳播過程中沒有遇到其它波一樣。2.在相遇區(qū)域內(nèi)，介質(zhì)任一點(diǎn)的振動(dòng)為各列波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所引起的振動(dòng)位移的矢量和?！ǖ莫?dú)立性原理?！ǖ寞B加原理?！?.5波的干涉頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位差恒定。一般情況下，各個(gè)波的振動(dòng)方向和頻率均不同，相位關(guān)系不確定，疊加的合成波較為復(fù)雜。當(dāng)兩列（或多列）相干波疊加的結(jié)果，其合振幅A和合強(qiáng)度I

將在空間形成一種穩(wěn)定的分布，即某些點(diǎn)上的振動(dòng)始終加強(qiáng)，某些點(diǎn)上的振動(dòng)始終減弱?！ǖ母缮鏉M足相干條件的波產(chǎn)生相干波的波源二、波的干涉1.波的干涉現(xiàn)象2.相干條件3.相干波4.相干波源根據(jù)疊加原理可知，P

點(diǎn)處振動(dòng)方程為S1S2?P點(diǎn)合振動(dòng)的振幅PP三、波的干涉規(guī)律相位差當(dāng)干涉相長當(dāng)干涉相消?空間點(diǎn)振動(dòng)的情況分析討論(1)若(2)若干涉相長干涉相消干涉相長干涉相消從能量上看，當(dāng)兩相干波發(fā)生干涉時(shí)，在兩波交疊的區(qū)域，合成波在空間各處的強(qiáng)度并不等于兩個(gè)分波強(qiáng)度之和，而是發(fā)生重新分布。這種新的強(qiáng)度分布是時(shí)間上穩(wěn)定的、空間上強(qiáng)弱相間具有周期性的一種分布。滿足相干條件的波源稱為相干波源。研究相干問題的一般方法問題：屏上任一點(diǎn)x是相長還是相消？∽波程差相長相消相長相消A、B為兩相干波源，距離為30m

，振幅相同，

相同，初相差為

,u=400m/s,f=100Hz。例A、B連線上因干涉而靜止的各點(diǎn)位置。求解BAP30m（P在A左側(cè)）（P在B右側(cè)）即在兩側(cè)干涉相長，不會(huì)出現(xiàn)靜止點(diǎn)r1r2干涉相消(在A，B之間距離A點(diǎn)為r1=1,3,5,…,29m處出現(xiàn)靜止點(diǎn))P在A、B中間BAP30mr1r2§7.6駐波一.弦線上的駐波實(shí)驗(yàn)波腹波節(jié)兩列等振幅相干波相向傳播時(shí)疊加形成駐波駐波條件：二.駐波波函數(shù)(a)(b)(c)AAABBBC1C2C3C1C2D1D4D2D3D1D2D3振幅，即駐波是各質(zhì)點(diǎn)振幅按余弦分布(1)波腹(A′=A′max)：討論波節(jié)(A′=A′min)：的特殊諧振動(dòng)；相鄰兩波腹之間的距離：的許多段，每段中各(2)所有波節(jié)點(diǎn)將媒質(zhì)劃分為長質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)振幅不同，但相位皆相同；而相鄰段間各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位相反;即駐波中不存在相位的傳播。相鄰兩波節(jié)之間的距離：（3）駐波的相位時(shí)間部分提供的相位對(duì)于所有的x是相同的。在范圍內(nèi)，是波節(jié)，考查波節(jié)兩邊的振幅，如內(nèi)，在范圍結(jié)論：在波節(jié)兩側(cè)點(diǎn)的振動(dòng)相位相反。同時(shí)達(dá)到反向最大或同時(shí)達(dá)到反向最小。速度方向相反。兩個(gè)波節(jié)之間的點(diǎn)其振動(dòng)相位相同。同時(shí)達(dá)到最大或同時(shí)達(dá)到最小。速度方向相同。(4)沒有能量的定向傳播。能量只是在兩波節(jié)之間，進(jìn)行動(dòng)能和勢(shì)能的轉(zhuǎn)化。勢(shì)能動(dòng)能勢(shì)能駐波不傳播能量，它是媒質(zhì)的一種特殊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，穩(wěn)定態(tài)。例：一平面簡諧波以的速度傳播，其波函數(shù)為：并在x=0處反射。反射波方程求：1.合成波的波函數(shù)，及波腹、波節(jié)的位置；2.在x=1.2(m)處振幅的大小。解：1.波腹：波節(jié)2.在x=1.2(m)處振幅的大小。4.半波損失入射波在反射時(shí)反射波相位突變了，相當(dāng)于波程損失了半個(gè)波長的現(xiàn)象稱為半波損失。在繩與墻壁固定處，為波節(jié)位置。這一現(xiàn)象說明，在反射端，入射波與反射波在該點(diǎn)各自引起的兩個(gè)振動(dòng)位相相反，兩位相相差為，相當(dāng)于波程相差/2。反射波與入射波形成的駐波在介質(zhì)分界處是波節(jié)還是波腹與這分界處兩邊的介質(zhì)性質(zhì)有關(guān)。

當(dāng)波從波疏媒質(zhì)垂直入射到波密媒質(zhì)界面上反射時(shí)，有半波損失，形成的駐波在界面處是波節(jié)。當(dāng)波從波密媒質(zhì)垂直入射到波疏媒質(zhì)界面上反射時(shí)，無半波損失，界面處出現(xiàn)波腹。例：如圖所示，有一沿X軸正向傳播的平面簡諧波，其波動(dòng)方程為：此波在x=7m處受到波密介質(zhì)平面的反射（設(shè)反射時(shí)波的強(qiáng)度不變）。求：（1）反射波的波動(dòng)方程；（2）在x=6m處介質(zhì)質(zhì)元的振動(dòng)方程；（3）在區(qū)間0<x<7m，干涉相消點(diǎn)的位置。解:(1)在反射點(diǎn)滯后(2)在x=6m處介質(zhì)質(zhì)元的振動(dòng)方程即：（3）在區(qū)間0<x<7m，干涉相消點(diǎn)的位置。因?yàn)樵趚=7m處為波密反射點(diǎn)，該處為波節(jié)點(diǎn)。因?yàn)閮上噜彶ü?jié)之間的間隔為/2。所以在0<x<7m區(qū)間的干涉相消點(diǎn)為：*例：如圖所示，有一沿X軸正向傳播的平面簡諧波，在x=L(B處)發(fā)生反射，反射點(diǎn)為固定端。設(shè)波在傳播和反射過程中振幅不變，且反射波的表達(dá)式為則入射波的表達(dá)式是什么？解：反射波在B點(diǎn)引起的振動(dòng)入射波在B點(diǎn)引起的振動(dòng)任一點(diǎn)x比B點(diǎn)超前*§7.7

多普勒效應(yīng)一、多普勒效應(yīng)的成因聲源完成一次全振動(dòng)，向外發(fā)出一個(gè)波長的波，頻率表示單位時(shí)間內(nèi)完成的全振動(dòng)的次數(shù)，因此波源的頻率等于單位時(shí)間內(nèi)波源發(fā)出的完全波的個(gè)數(shù)，而觀察者聽到的聲音的音調(diào)，是由觀察者接收到的頻率，即單位時(shí)間接收到的完全波的個(gè)數(shù)決定的．多普勒效應(yīng)是指由于波源和觀察者之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，使觀察者感到頻率發(fā)生變化的現(xiàn)象，它是奧地利物理學(xué)家多普勒在1842年發(fā)現(xiàn)的．

1、當(dāng)波源和觀察者相對(duì)介質(zhì)都靜止不動(dòng)．

即二者沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)波源發(fā)出幾個(gè)完全波，觀察者在單位時(shí)間內(nèi)就接收到幾個(gè)完全波．觀察者接收到的頻率等于波源的頻率．2、波源相對(duì)介質(zhì)不動(dòng)，觀察者朝波源運(yùn)動(dòng)時(shí)（或觀察者不動(dòng)，波源朝觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)）觀察者在單位時(shí)間內(nèi)接收到的完全波的個(gè)數(shù)增多，即接收到的頻率增大．