達(dá)朗貝爾原理與拉格朗日方程

§1-2達(dá)朗貝爾原理與拉格朗日方程一、虛位移和實(shí)位移實(shí)位移：由于運(yùn)動(dòng)而實(shí)際發(fā)生的位移

,對(duì)應(yīng)時(shí)間間隔

;虛位移：t時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)在約束允許情況下可能發(fā)生的無(wú)限小位置變更。虛位移是可能位移，純幾何概念（非運(yùn)動(dòng)學(xué)概念），以表示任意曲面(3)實(shí)位移是唯一的，虛位移可若干個(gè)；對(duì)定常約束，實(shí)位移為若干個(gè)虛位移中的某一個(gè)；對(duì)非定常約束，實(shí)位移與虛位移不一致.分別見P7圖1.2.1(a)(b)(1)虛位移的產(chǎn)生不需要時(shí)間,即,不必是實(shí)際發(fā)生的,只要滿足瞬時(shí)約束關(guān)系;注意(2)變分算符的運(yùn)算規(guī)則:

作用在空間坐標(biāo)上同微分算符的運(yùn)算規(guī)則,且可與微分互換位置;

作用在時(shí)間坐標(biāo)上則為零,即（等時(shí)變分）.二、理想約束實(shí)功：作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（含約束力

）在實(shí)位移

中所作的功，虛功：作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（含約束力

）在任意虛位移中所作的功，其中分別是第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的主動(dòng)力和約束力．理想約束：若有：即：體系所受所有約束力在任意虛位移中所作功之和等于零，則這種約束稱為理想約束.理想約束的例子：光滑曲面，曲線約束，剛性桿，不可伸長(zhǎng)的繩索等（記住?。┮院蟪貏e注明,本課程中只討論理想約束.三、虛功原理（分析力學(xué)重要原理之一）（受約束力學(xué)體系的力學(xué)原理之一）體系受k個(gè)完整約束，在主動(dòng)力和約束力的共同作用下處于平衡狀態(tài)，則其中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)均處于平衡狀態(tài)，即：對(duì)力學(xué)體系求和對(duì)于理想約束——理想約束體系的平衡條件或：結(jié)論：具有理想約束力學(xué)體系，其平衡的充要條件是所有主動(dòng)力在任意虛位移中所作元功之和等于零.可見：由于引入了虛位移，巧妙的消除了約束力，可以很容易的求出平衡的條件！簡(jiǎn)化計(jì)算無(wú)法求約束力（優(yōu)點(diǎn)，亦是缺點(diǎn)）出現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題？上式對(duì)任意的虛位移皆成立，故能否得出虛位移前的系數(shù)皆等于0？即：原因：因?yàn)轶w系受到約束，所以體系的3n個(gè)坐標(biāo)及其虛位移不再互相獨(dú)立！不能直接得到它們之前的系數(shù)等于0！但是，我們可以：將3n個(gè)坐標(biāo)用廣義坐標(biāo)及其變分表示出，即先給出：將上式帶入則廣義坐標(biāo)互相獨(dú)立，所以其前的系數(shù)可以全部令為0！往往主動(dòng)力也要用廣義坐標(biāo)及其相應(yīng)得變分表示說(shuō)明1、由只能求出平衡條件，不能求出約束力;(1)確定系統(tǒng)自由度，選擇合適的廣義坐標(biāo)；(2)將

表示為廣義坐標(biāo)

的函數(shù)，并求出

；(3)由虛功原理列出平衡方程，并令

的系數(shù)為零，求出平衡條件。2、運(yùn)用虛功原理求平衡條件的方法步驟:（是互相獨(dú)立的；不能令的系數(shù)為零，∵它們不是互相獨(dú)立的）例題１、半徑為r的光滑半球行碗,固定在水平面上,一均質(zhì)棒斜靠在碗緣,一端在碗內(nèi),一端在碗外,設(shè)棒的全長(zhǎng)為,在碗內(nèi)的長(zhǎng)度為c,試證棒平衡時(shí)滿足下列關(guān)系:2、周衍柏《理論力學(xué)教程》P276【例1】作業(yè)1、課本P186習(xí)題1.10，1.112、周衍柏《理論力學(xué)教程》P3635.2虛功原理：可以消除完整系的理想約束，但僅適用于靜力學(xué)問(wèn)題（平衡狀態(tài)）；動(dòng)力學(xué)問(wèn)題如何討論？問(wèn)題或：動(dòng)力學(xué)方程靜力學(xué)方程（平衡方程）主動(dòng)力約束力慣性力純數(shù)學(xué)移項(xiàng)，但物理意義深遠(yuǎn)！動(dòng)力學(xué)問(wèn)題靜力學(xué)問(wèn)題動(dòng)靜法四、達(dá)朗貝爾原理對(duì)于完整系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其動(dòng)力學(xué)方程為：若約束是理想的，有，則：——達(dá)朗貝爾方程（動(dòng)力學(xué)普遍方程）五、拉格朗日方程的推導(dǎo)因?yàn)轶w系受到約束，所以原來(lái)體系的3n個(gè)坐標(biāo)及其虛位移

不再互相獨(dú)立！所以不能直接得到它們之前的系數(shù)等于0！同于虛功原理時(shí)的方法，我們將用廣義坐標(biāo)及其變分表示出來(lái)，推導(dǎo)過(guò)程（板書）最后得到：——基本形式的拉格朗日方程……六、保守系的拉格朗日方程具體推導(dǎo)——板書.說(shuō)明對(duì)拉氏方程的幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）對(duì)所有的q具有相同的形式，應(yīng)用時(shí)便于記憶；從理論上揭示了運(yùn)用廣義坐標(biāo)共性.（2）L函數(shù)與物理守恒定律密切相關(guān)，易于揭示物理規(guī)律的實(shí)質(zhì).（3）運(yùn)用拉氏方程求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的方法步驟.確定廣義坐標(biāo)用表示表示出T,VL帶入拉氏方程求解得到體系運(yùn)動(dòng)方程例題１、課本P13例1