理論力學,動力學,第八章剛體平面運動-r

剛體的平面運動第八章

平面運動：剛體在運動過程中，其上各點都始終保持在與某一固定平面相平行的平面內。一、運動特征§8-1剛體平面運動的運動方程平面圖形：剛體上任一個與固定平面平行的截面。顯然，只需確定平面圖形的位置，即可確定整個剛體的運動狀態(tài)注意：平面圖形的形狀和尺寸并不重要，需要的話，可以擴展為整個平面。一、運動特征O1xySO1xyS討論：1.為常數二、運動方程剛體隨基點平移2.(xO,yO)為常數剛體繞基點轉動O點位置和

均變化剛體平面運動由此看出，平面運動可以分解為“平移”和“轉動”O(jiān)Px0y0剛體平面運動方程稱O為基點xy(隨同動系平移)(相對動系轉動)平面運動=隨基點的平移繞基點的轉動+平面圖形隨基點平移的速度和加速度與基點的選擇有關。平面運動剛體繞基點轉動的角速度和角加速度與基點的選擇無關！O1xySOPx0y0xy例1:

已知曲柄－滑塊機構中OA=r,AB=l;曲柄OA以勻角速度繞O軸轉動。求連桿AB的運動方程。解：xy建立圖示參考坐標系，由幾何關系，得：

AB桿做平面運動，獨立的方程運動有三個，可取桿上A點為基點，建立運動方程。則連桿的運動方程：§8-2平面圖形內各點的速度速度瞬心一、速度基點法根據前面的分析，下面應用點的合成運動方法來導出平面運動剛體上任意一點的運動公式OxyABωxy1.

A點為基點，可以是該剛體上任意一個點，一般我們選擇速度已知的點。2.

B點為剛體上任意一點，此公式給出了剛體上任意兩點間的速度關系。二、速度投影定理如將上式投影到A、B兩點的連線上，并注意到vBA垂直于AB連線，在連線上的投影為零，可得平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等，這稱為速度投影定理。問：此定理直觀的力學意義是什么？OxyABωxy例2：曲柄滑塊機構如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉動。已知曲柄OA長為R，連桿AB長為l。當曲柄在任意位置

=ωt時，求滑塊B的速度。vAvAvBvBA解：因為A點速度vA已知，故選A為基點其中vA的大小

vA=Rω一、基點法由速度合成矢量圖可得應用速度投影定理，有同樣可得例2：曲柄滑塊機構如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉動。已知曲柄OA長為R，連桿AB長為l。當曲柄在任意位置

=ωt時，求滑塊B的速度。解：二、速度投影法vAvB900--解：三：點的合成運動以B為動點，OA桿為動系vevBvr例2：曲柄滑塊機構如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉動。已知曲柄OA長為R，連桿AB長為l。當曲柄在任意位置

=ωt時，求滑塊B的速度。解：四、直角坐標表示法xB點的運動方程：例2：曲柄滑塊機構如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉動。已知曲柄OA長為R，連桿AB長為l。當曲柄在任意位置

=ωt時，求滑塊B的速度?！?-2平面圖形內各點的速度速度瞬心一、速度基點法根據前面的分析，下面應用點的合成運動方法來導出平面運動剛體上任意一點的運動公式OxyABωxy1.

A點為基點，可以是該剛體上任意一個點，一般我們選擇速度已知的點。2.

B點為剛體上任意一點，此公式給出了剛體上任意兩點間的速度關系。AId三、速度瞬心法一般情形下，剛體作平面運動時速度瞬心確實是存在的，并且唯一。我們稱某瞬時速度為零的點為平面圖形在此瞬時的速度中心，簡稱“速度瞬心”，一般用I表示之。以I為基點，則有AIBC

注意：I點僅僅此時刻速度為零，一般情況下，速度瞬心的加速度不等于零，下一瞬時I的速度也就不再為零了。因此，速度瞬心在圖形本身上和在固定平面上的位置都是隨時間而變的，在不同的瞬時，圖形具有不同的速度瞬心。三、速度瞬心法四、瞬心的確定(１)已知圖形上任意兩點速度方位ABI例3：曲柄滑塊機構，已知曲柄角速度，求速度瞬心I。vAIABvBABOAB例3：曲柄滑塊機構，已知曲柄角速度，求速度瞬心I。vAIAB例3：曲柄滑塊機構，已知曲柄角速度，求速度瞬心I。vAvB瞬時平移例4：齒輪-齒桿機構，已知C、D點的速度，求輪心O的速度。IvOIvO畫出圖示機構中作平面運動的構件在圖示瞬時的速度瞬心（輪A純滾動）。IABvBvCIBCvDCD桿瞬時平移例5：曲柄滑塊機構如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉動。已知曲柄OA長為R，連桿AB長為l。當曲柄在任意位置

=ωt時，求滑塊B的速度。解：三、速度瞬心法vAvB900--ABIA、B兩點的速度大小分別為：例6：車輪沿直線純滾動，已知車輪半徑為R，中心O的速度為vO。求車輪上A,B,C,D點的速度。C解：一、先確定輪的角速度ω二、求各點速度OABDωAOBMBNωAO例7：曲柄OA長為r，以勻角速度ω轉動。AB長2r，輪B半徑為R，在地面作純滾動。求圖示兩種狀態(tài)下，輪緣最右端點的速度。I解：（1）AB桿的瞬心在B點，說明此時B點速度為零。輪B作純滾動，I點速度必為零，所以此刻輪B的角速度為零。vM

=0BNωAOI（2）AB為瞬時平移vA

=vB

=ωrB例7：曲柄OA長為r，以勻角速度ω轉動。AB長2r，輪B半徑為R，在地面作純滾動。求圖示兩種狀態(tài)下，輪緣最右端點的速度。ωAOBMI解：例8：橋由三部分組成，當C支座有一水平微小位移。試確定D、E點的位移的方向及它們的大小與的SC比值。

CBADE△SCI△SD△SEaaaa當C有微小水平位移時，系統(tǒng)各部分的位置都將有微小改變。根據所受的約束，可知ACD、BE均發(fā)生微小轉動。解：DE作平面運動，其速度瞬心在I，αABωxy§8-3平面運動剛體上各點加速度強調：1.速度瞬心的加速度一般不為零；計算加速度時，通常只用基點法。2.剛體平面運動中，轉動的角速度ω和角加速度α與基點的選取無關。平面圖形內任一點的加速度，等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉動的加速度的矢量和。例9：車輪沿直線滾動，已知車輪半徑為R，中心O的速度為vO，加速度為aO。設車輪與地面接觸無相對滑動。求車輪上速度瞬心的加速度。IO解：一、先確定輪的角加速度ωnaO二、求I點加速度取中心O為基點式中向x方向投影向y方向投影xyMBrOA例10：長度2r的桿，A端在半徑為r的半圓形軌道上以勻速率vA運動。試求A到達最低點時，AB桿的角速度和角加速度。BrOAvBIaBaBaA以B為基點，分析A點加速度：x解：1.AB桿的角速度2.AB桿的角加速度四桿機構：lABCD450450lω例11：圖示四桿機構中已知曲柄AB以勻角速度ω轉動，試計算圖示瞬時BC、DC桿的角速度和角加速度。解：1.計算BC、DC桿的角速度IvBvCCBCD２.計算BC、DC桿的角加速度（基點法）lABCD450450lω解：CD考察BC桿，以B為基點，分析C點加速度：例11：圖示四桿機構中已知曲柄AB以勻角速度ω轉動，試計算圖示瞬時BC、DC桿的角速度和角加速度。曲柄OA長r，以勻角速度ω轉動。AB桿長2r，輪B半徑R，在地面作純滾動。求圖示瞬時輪緣最右端點的加速度。解：AB為瞬時平動vA

=vB

=ωrBNωAOIB練習：ⅠⅡ

練習

如圖所示的行星系中，固定齒輪Ⅰ半徑為R；行星齒輪Ⅱ沿輪Ⅰ只滾而不滑動，半徑為r。曲柄OA勻角速度ω。試求輪Ⅱ的角速度及M點（AMAO）的速度,及輪Ⅱ的角加速度和M點的加速度。vAωⅡⅠⅡaAaAanMA運動學課外題是非題：設A為平面運動剛體上任意一點，I為剛體在該瞬時的速度瞬心，則點A的運動軌跡在此處的曲率半徑等于A、I間的距離。剛體作平面運動時，若某瞬時其上有兩點加速度相同，則此瞬時剛體上各點的速度都相同。平面圖形瞬時平移時，其上任意兩點的加速度在這兩點連線上的投影相等。判斷速度瞬心：DEOABOA=AB=BC=AD=BE=DEABECDC題1：曲柄滑塊機構如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉動。已知曲柄OA長為R，連桿AB長為l。當曲柄在任意位置

=ωt時，求滑塊B的速度。vAvAvBvBA解：因為A點速度vA已知，故選A為基點其中vA的大小

vA=Rω一、基點法解：二、點的合成運動以B為動點，OA桿為動系vevBvr題1：曲柄滑塊機構如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉動。已知曲柄OA長為R，連桿AB長為l。當曲柄在任意位置

=ωt時，求滑塊B的速度。解：三、直角坐標表示法xB點的運動方程：題1：曲柄滑塊機構如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉動。已知曲柄OA長為R，連桿AB長為l。當曲柄在任意位置

=ωt時，求滑塊B的速度。題2：在圖示機構中，已知AA=BB=r，且AB=AB；連桿AA以勻角速度ω繞A轉動，當=600時，桿OC位置水平，OD=2r。求此時OC的角速度及角加速度。OCDAABB逆時針順時針題3：直線AB、CD夾角為

，直線AB以速度v1沿垂直于AB的方向朝下運動，而直線CD以速度v2沿垂直于CD的方向朝右下運動。求套在這兩條直線交點處的小環(huán)M的速度大小。MCDABv2v1題4：如圖所示機構中，各桿長均為0.4m，已知桿OA及CD作勻速轉動，角速度分別為OA=3rad/s及CD=5rad/s，且tan=4/3。試求圖示瞬時桿AB和桿BD的角速度以及角加速度。OABOACDDC題5：輪O半徑R=0.5m，在水平面上純滾動，輪心以勻速vO=0.