高中數(shù)學(xué)人教A版第一章三角函數(shù)任意角和弧度制 名師獲獎

課題名稱：任意角（第一課時）課程模塊及章節(jié)：必修四.第一章備課時間：2023年2月18日學(xué)科：數(shù)學(xué)備課組：高一數(shù)學(xué)主備教師：趙明烈備課組長：龍清華組員：邱建成.張國彪.黃澤專.張秋花.保德懷教師二次備課教學(xué)背景分析課標(biāo)的理解與把握學(xué)生曾初步接觸過三角函數(shù)，那時的運用僅限于計算一些特殊的三角函數(shù)值、研究一些三角形中簡單的邊角關(guān)系等。三角函數(shù)也是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，在今后的學(xué)習(xí)中大家會發(fā)現(xiàn)三角學(xué)有著極其豐富的內(nèi)容，它能夠簡單地解決許多數(shù)學(xué)問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用。（二）教材分析：要求學(xué)生掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解任意角的概念，學(xué)會在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來討論角；并進(jìn)而理解“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。（三）學(xué)情分析：學(xué)生對于角的定義以及運用只停留在初中階段，因此教師要善于運用圖形引導(dǎo)學(xué)生理解終邊相同的角的作用，挖掘?qū)W生的潛質(zhì)。教學(xué)目標(biāo)1．掌握“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義2．通過終邊相同的角的公式來求任意角所處在的象限。教學(xué)重點和難點重點：求任意角所處在的象限難點：求任意角所處在的象限教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)資源和主要教學(xué)方法教學(xué)輔助：多媒體，課件教學(xué)方法：觀察與類比教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師為主的活動學(xué)生為主的活動設(shè)計意圖導(dǎo)入新課目標(biāo)引領(lǐng)1.初中是任何定義角的？（從一個點出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形）這種概念的優(yōu)點是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘”2.初中時，我們已學(xué)習(xí)了0○～360○角的概念，它是如何定義的呢？角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。教師在黑板寫教學(xué)目標(biāo)并解讀學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)生回答學(xué)生一起朗讀為新課做準(zhǔn)備，在原有的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)明確學(xué)習(xí)方向?qū)W(xué)活動BαOA圖1BαOA圖12.角的概念的推廣：(1)定義：一條射線OA由原來的位置OA，繞著它的端點O按一定方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成了角α。其中射線OA叫角α的始邊，射線OB叫角α的終邊，O叫角α的頂點。3．正角、負(fù)角、零角概念我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，那么同學(xué)們猜猜看，負(fù)角怎么規(guī)定呢？零角呢？探究后得出答案：按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角。4.象限角師：在今后的學(xué)習(xí)中，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象限角這個概念。同學(xué)們已經(jīng)經(jīng)過預(yù)習(xí)，請一位同學(xué)回答什么叫：象限角？生：角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。師：很好，從剛才這位同學(xué)的回答可以知道，她已經(jīng)基本理解了“象限角”的概念了。下面請大家將書上象限角的定義劃好，同時思考這么三個問題： 1.定義中說：角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，如果改為與x軸的正半軸重合行不行，為什么？2.定義中有個小括號，內(nèi)容是：除端點外，請問課本為什么要加這四個字？3.是不是任意角都可以歸結(jié)為是象限角，為什么？（處理：學(xué)生思考片刻后回答，教師適時予以糾正。）答：1.不行，始邊包括端點（原點）； 2．端點在原點上；3．不是，一些特殊角終邊可能落在坐標(biāo)軸上；如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任一象限學(xué)生作答在原有的基礎(chǔ)上得出定義，讓學(xué)生明確定義的來源。對整個知識點進(jìn)行梳理，整合活動導(dǎo)學(xué)活動導(dǎo)學(xué)活動導(dǎo)學(xué)師：同學(xué)們一定要學(xué)會看數(shù)學(xué)書，特別是一些重要的概念、定理、性質(zhì)要斟字酌句，每個字都要弄清楚，這樣的預(yù)習(xí)才是有效果的。 師生討論：好，按照象限角定義，圖中的300，3900，-3300角，都是第一象限角；3000，-600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。師：很好，不過老師還有幾事不明，要請教大家：（1）銳角是第一象限角嗎？第一象限角是銳角嗎？為什么？生：銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；師：（2）銳角就是小于900的角嗎？生：小于900的角可能是零角或負(fù)角，故它不一定是銳角；師：（3）銳角就是00～900的角嗎？生：銳角：{θ|00<θ<900}；00～900的角：{θ|00≤θ<900}. 5.終邊相同的角的表示法師：觀察下列角你有什么發(fā)現(xiàn)?3903303014701770生:終邊重合.師:請同學(xué)們思考為什么？能否再舉三個與300角同終邊的角？生：圖中發(fā)現(xiàn)3900，-3300與300相差3600的整數(shù)倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；與300角同終邊的角還有7500，-6900等。師：好！這位同學(xué)發(fā)現(xiàn)了兩個同終邊角的特征，即：終邊相同的角相差3600的整數(shù)倍。例如：7500=2×3600+300；-6900=-2×3600+300。那么除了這些角之外，與300角終邊相同的角還有： 3×3600+300 -3×3600+300 4×3600+300 -4×3600+300 ……， ……，由此，我們可以用S={β|β=k×3600+300，k∈Z}來表示所有與300角終邊相同的角的集合。師：那好，對于任意一個角α，與它終邊相同的角的集合應(yīng)如何表示？生：S={β|β=α+k×3600，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和。6.例題分析課本例1利用S={β|β=k×3600+a0，k∈Z}來作為解題的方向，但要注意a的取值范圍。學(xué)生一起探討，得學(xué)生分組討論，得出結(jié)論學(xué)生分組討論學(xué)生獨立完成學(xué)生獨立完成通過討論板書加深對知識的理解.培養(yǎng)學(xué)生書寫的能力.對公式的有效整合，拆分，全方位的鞏固新知當(dāng)堂評價課本第4頁練習(xí)第一，第二題學(xué)生獨立完成鞏固新知，提高知識整合能力板書設(shè)計任意角角的定義與分類學(xué)習(xí)目標(biāo)例題1課堂展示教學(xué)反思課題名稱：任意角（第二課時）課程模塊及章節(jié)：必修四.第一章備課時間：2023年2月18日學(xué)科：數(shù)學(xué)備課組：高一數(shù)學(xué)主備教師：趙明烈備課組長：龍清華組員：邱建成.張國彪.黃澤專.張秋花.保德懷教師二次備課教學(xué)背景分析課標(biāo)的理解與把握學(xué)生曾初步接觸過三角函數(shù)，那時的運用僅限于計算一些特殊的三角函數(shù)值、研究一些三角形中簡單的邊角關(guān)系等。三角函數(shù)也是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，在今后的學(xué)習(xí)中大家會發(fā)現(xiàn)三角學(xué)有著極其豐富的內(nèi)容，它能夠簡單地解決許多數(shù)學(xué)問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用。（二）教材分析：要求學(xué)生掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解任意角的概念，學(xué)會在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來討論角；并進(jìn)而理解“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。（三）學(xué)情分析：學(xué)生對于角的定義以及運用只停留在初中階段，因此教師要善于運用圖形引導(dǎo)學(xué)生理解終邊相同的角的作用，挖掘?qū)W生的潛質(zhì)。教學(xué)目標(biāo)1．掌握“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義2．通過終邊相同的角的公式來求任意角所處在的象限。教學(xué)重點和難點重點：求任意角所處在的象限難點：求任意角所處在的象限教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)資源和主要教學(xué)方法教學(xué)輔助：多媒體，課件教學(xué)方法：觀察與類比教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師為主的活動學(xué)生為主的活動設(shè)計意圖導(dǎo)入新課目標(biāo)引領(lǐng)1.前面我們學(xué)習(xí)了任意角終邊相同的角的公式是什么？學(xué)生答案：S={β|β=α+k×3600，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和。教師要在這個集合公式加以分析，讓學(xué)生明白這個集合公式的作用，以及如何去運用，特別是K的估計值。教師把學(xué)習(xí)目標(biāo)寫在黑板上并解讀目標(biāo)學(xué)生回答學(xué)生一起朗讀為新課做準(zhǔn)備明確學(xué)習(xí)方向?qū)W(xué)活動探究在平面直角坐標(biāo)系象限角的表示方法：第一象限角：｛α|k360oπ＜α＜k360o+90o,k∈Z｝第二象限角：｛α|k360o+90o＜α＜k360o+180o,k∈Z｝第三象限角：｛α|k360o+180o＜α＜k360o+270o,k∈Z｝第四象限角：{α|k360o+270o＜α＜k360o+360o,k∈Z｝2.終邊落在軸右側(cè)的角的集合．在～中，軸右側(cè)的角可記為，同樣把該范圍“旋轉(zhuǎn)”后，得，，故軸右側(cè)角的集合為．說明：一個角按順、逆時針旋轉(zhuǎn)（）后與原來角終邊重合，同樣一個“區(qū)間”內(nèi)的角，按順逆時針旋轉(zhuǎn)（）角后，所得“區(qū)間”仍與原區(qū)間重疊。學(xué)生作答讓學(xué)生的思維不在停留在初中階段對于象限角的理解課堂練習(xí)1.在～間，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角（1）；（2）；（3）．解：（1）∵∴與角終邊相同的角是角，它是第三象限的角；（2）∵∴與終邊相同的角是，它是第四象限的角；（3）所以與角終邊相同的角是，它是第二象限角．總結(jié)：草式寫在草稿紙上，正的角度除以，按通常除去進(jìn)行；負(fù)的角度除以，商是負(fù)數(shù)，它的絕對值應(yīng)比被除數(shù)為其相反數(shù)時相應(yīng)的商大1，以使余數(shù)為正值．練習(xí)：（1）一角為，其終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為__．（2）集合M＝{α=k，k∈Z}中，各角的終邊都在（C

）A．軸正半軸上，B．軸正半軸上，C．軸或軸上，D．軸正半軸或軸正半軸上（3）設(shè)，C＝{α|α=k180o+45o,k∈Z}，則相等的角集合為_B＝D，C＝E__．1）如圖，終邊落在位置時的角的集合是__{α|α＝k360o+120o,k∈Z}；終邊落在位置，且在內(nèi)的角的集合是_{－45o,225o}_；終邊落在陰影部分（含邊界）的角的集合是_{α|k360o－45o＜α＜k360o+120o,k∈Z}．學(xué)生一起探討，得出答案學(xué)生分組討論學(xué)生獨立完成學(xué)生獨立完成通過討論板書加深對知識的理解.培養(yǎng)學(xué)生書寫的能力.鞏固所學(xué)知識培養(yǎng)，并靈活的引用公式去運算對公式的有效整合，拆分，全方位的鞏固新知當(dāng)堂評價課本第4頁練習(xí)第三，第四題學(xué)生獨立完成鞏固新知，提高知識整合能力板書設(shè)計任意角相同終邊的角的表示方法學(xué)習(xí)目標(biāo)例題3課堂展示教學(xué)反思課題名稱：弧度制（第一課時）課程模塊及章節(jié)：必修四.第一章備課時間：2023年2月18日學(xué)科：數(shù)學(xué)備課組：高一數(shù)學(xué)主備教師：趙明烈備課組長：龍清華組員：邱建成.張國彪.黃澤專.張秋花.保德懷教師二次備課教學(xué)背景分析課標(biāo)的理解與把握講清1弧度角的定義，使學(xué)生建立弧度的概念，理解弧度制的定義，達(dá)到突破難點之目的.通過電教手段的直觀性，使學(xué)生進(jìn)一步理解弧度作為角的度量單位的可靠性、可行性。（二）教材分析：通過周角的兩種單位制的度量，得到角度與弧度的換算公式.使學(xué)生認(rèn)識到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者雖單位不同，但是互相聯(lián)系的、辯證統(tǒng)一的.進(jìn)一步加強(qiáng)對辯證統(tǒng)一思想的理解（三）學(xué)情分析：學(xué)生對于弧度角是一個新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，相對來說比較抽象，因此教師要善于運用圖形引導(dǎo)學(xué)生理解弧度的作用，以及和角度之間的關(guān)系。教學(xué)目標(biāo)1.探究1弧度的角、弧度制的定義.2.探究角度與弧度的換算公式并能熟練地進(jìn)行角度與弧度的換算.3.熟記特殊角的弧度數(shù)教學(xué)重點和難點重點：使學(xué)生理解弧度的意義，正確地進(jìn)行角度與弧度的換算.難點：弧度的概念及其與角度的關(guān)系.教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)資源和主要教學(xué)方法教學(xué)輔助：多媒體，課件教學(xué)方法：觀察與類比教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師為主的活動學(xué)生為主的活動設(shè)計意圖導(dǎo)入新課目標(biāo)引領(lǐng)復(fù)習(xí)引入：1．角的概念的推廣⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角α．旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角α的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角α的終邊，射線的端點O叫做角α的頂點．⑵．“正角”與“負(fù)角”“0角”我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角，如圖，以O(shè)A為始邊的角α=210°，β=-150°，γ=660°，2．度量角的大小第一種單位制—角度制的定義初中幾何中研究過角的度量，當(dāng)時是用度做單位來度量角，1°的角是如何定義的？規(guī)定周角的作為1°的角，我們把用度做單位來度量角的制度叫做角度制，有了它，可以計算弧長，公式為教師在黑板寫教學(xué)目標(biāo)并解讀學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)生回答學(xué)生一起朗讀為新課做準(zhǔn)備豐富學(xué)生對于角的認(rèn)識，有一個知識點的形成過程明確學(xué)習(xí)方向活動導(dǎo)學(xué)提出問題30°、60°的圓心角，半徑r為1，2，3，4，分別計算對應(yīng)的弧長l，再計算弧長與半徑的比結(jié)論：圓心角不變，則比值不變，因此比值的大小只與角的大小有關(guān)，我們可以利用這個比值來度量角，這就是另一種度量角的制度——弧度制探究問題1．定義：長度等1.半徑長的弧所對的圓心角稱為1弧度的角它的單位是rad讀作弧度，這種用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．如下圖，依次是1rad，2rad，3rad，αrad探究：⑴平角、周角的弧度數(shù)，（平角=rad、周角=2rad）⑵正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0⑶角的弧度數(shù)的絕對值（為弧長，為半徑）⑷角度制、弧度制度量角的兩種不同的方法，單位、進(jìn)制不同，就像度量長度一樣有不同的方法，千米、米、厘米與丈、尺、寸，反映了事物本身不變，改變的是不同的觀察、處理方法，因此結(jié)果就有所不同⑸用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0）用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同2.角度制與弧度制的換算：∵360=2rad∴180=rad∴1=例1把化成弧度解：∴例2把化成度解：注意幾點：1．度數(shù)與弧度數(shù)的換算也可借助“計算器進(jìn)行；2．今后在具體運算時，“弧度”二字和單位符號“rad”可以省略如：3表示3rad，sin表示rad角的正弦；學(xué)生作答學(xué)生作答在原有的基礎(chǔ)上得出定義，讓學(xué)生明確定義的來源全面梳理角的內(nèi)容，作為解題的基礎(chǔ)當(dāng)堂評價課本第9頁練習(xí)第一，第二題學(xué)生獨立完成鞏固新知，提高知識整合能力板書設(shè)計弧度制弧度的定義以及和角度之間的轉(zhuǎn)換學(xué)習(xí)目標(biāo)例題1課堂展示教學(xué)反思課題名稱：弧度制（第二課時）課程模塊及章節(jié)：必修四.第一章備課時間：2023年2月18日學(xué)科：數(shù)學(xué)備課組：高一數(shù)學(xué)主備教師：趙明烈備課組長：龍清華組員：邱建成.張國彪.黃澤專.張秋花.保德懷教師二次備課教學(xué)背景分析課標(biāo)的理解與把握講清1弧度角的定義，使學(xué)生建立弧度的概念，理解弧度制的定義，達(dá)到突破難點之目的.通過電教手段的直觀性，使學(xué)生進(jìn)一步理解弧度作為角的度量單位的可靠性、可行性。（二）教材分析：通過周角的兩種單位制的度量，得到角度與弧度的換算公式.使學(xué)生認(rèn)識到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者雖單位不同，但是互相聯(lián)系的、辯證統(tǒng)一的.進(jìn)一步加強(qiáng)對辯證統(tǒng)一思想的理解（三）學(xué)情分析：學(xué)生對于弧度角是一個新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，相對來說比較抽象，因此教師要善于運用圖形引導(dǎo)學(xué)生理解弧度的作用，以及和角度之間的關(guān)系。教學(xué)目標(biāo)1.探究1弧度的角、弧度制的定義.2.探究角度與弧度的換算公式并能熟練地進(jìn)行角度與弧度的換算.3.熟記特殊角的弧度數(shù)教學(xué)重點和難點重點：使學(xué)生理解弧度的意義，正確地進(jìn)行角度與弧度的換算.難點：弧度的概念及其與角度的關(guān)系.教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)資源和主要教學(xué)方法教學(xué)輔助：多媒體，課件教學(xué)方法：觀察與類比，歸納教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師為主的活動學(xué)生為主的活動設(shè)計意圖導(dǎo)入新課目標(biāo)引領(lǐng)復(fù)習(xí)舊知1.1.半徑長圓心角度制與弧度制的換算：∵360=2rad∴180=rad∴1=教師寫出學(xué)習(xí)目標(biāo)并解讀目標(biāo)學(xué)生回答學(xué)生一起朗讀為新課做準(zhǔn)備明確學(xué)習(xí)方向?qū)W(xué)活動一些特殊角的度數(shù)1.特殊的角度與弧度數(shù)的對應(yīng)值應(yīng)該記?。航嵌?°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π角度210°225°240°270°300°315°330°360°弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π2．應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實數(shù)的集合之間建立一種一一對應(yīng)的關(guān)系正角零角正角零角負(fù)角正實數(shù)零負(fù)實數(shù)例：用弧度制表示：1終邊在軸上的角的集合2終邊在軸上的角的集合3終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合解：12．3.例：已知是第二象限角，試求：角所在的象限；解：(1)∵α是第二象限角,∴+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,即+kπ<<+kπ,k∈Z.故當(dāng)k=2m(m∈Z)時，+2mπ<<+2mπ,因此，角是第一象限角；當(dāng)k=2m+1(m∈Z)時，π+2mπ<<π+2mπ,因此，角是第三象限角.