自動(dòng)控制原理第八章

生當(dāng)做人杰，死亦為鬼雄。

——宋·李清照《夏日絕句》

2/4/20231第八章非線性控制系統(tǒng)分析引言8.1非線性控制系統(tǒng)概述*8.2相平面分析法8.3描述函數(shù)法2/4/20232自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)前面幾章討論的系統(tǒng)都是線性系統(tǒng)，即滿(mǎn)足疊加性和齊次性。實(shí)際上，由于控制元件或多或少地帶有非線性特性，所以嚴(yán)格地說(shuō)實(shí)際的自動(dòng)控制系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。如果一個(gè)控制系統(tǒng)包含一個(gè)或一個(gè)以上具有非線性特性的元件或環(huán)節(jié)，則此系統(tǒng)即為非線性系統(tǒng)。非線性對(duì)象指其運(yùn)動(dòng)規(guī)律要用非線性代數(shù)方程或微分方程描述，而不能由線性方程描述?？刂葡到y(tǒng)中若含有非線性部件或環(huán)節(jié)，就成為非線性控制系統(tǒng)。引言2/4/20233自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)一些非線性系統(tǒng)作為線性系統(tǒng)來(lái)分析，這是由于：①系統(tǒng)的非線性不明顯，可近似為線性系統(tǒng)；②某些系統(tǒng)的非線性特性雖然較明顯，但在某些條件下，可進(jìn)行線性化處理，作為線性系統(tǒng)來(lái)分析。這類(lèi)系統(tǒng)統(tǒng)稱(chēng)為非本質(zhì)非線性系統(tǒng)。但是當(dāng)系統(tǒng)的非線性特征明顯而且不能進(jìn)行線性化處理，或者它的時(shí)域響應(yīng)不能用線性微分方程（一般只能用非線性微分方程來(lái)描述，具有非線性數(shù)學(xué)模型）來(lái)描述，則稱(chēng)為非線性系統(tǒng)，或稱(chēng)為本質(zhì)非線性系統(tǒng)。2/4/20234自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)的特性一、穩(wěn)定性線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入信號(hào)及初始條件無(wú)關(guān)。但非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，還與輸入信號(hào)及初始條件有關(guān)。即，可能在某個(gè)初始條件下穩(wěn)定，而在另一個(gè)初始條件下系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。例如，某系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為非線性方程描述的非線性系統(tǒng)，顯然有兩個(gè)平衡點(diǎn)，即x1=0和x2=1。將上式改寫(xiě)為。設(shè)t=0時(shí)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x0，積分上式得2/4/20235自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)（1）當(dāng)初始條件x0＜1時(shí)，1－x0＞0，上式具有負(fù)的特征根，其暫態(tài)過(guò)程按指數(shù)規(guī)律衰減，該系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）當(dāng)x0=1時(shí)，1－x0=0，上式的特征根為零，其暫態(tài)過(guò)程為一常量。（3）當(dāng)x0＞1時(shí)，1－x0＜0，上式的特征根為正值，系統(tǒng)暫態(tài)過(guò)程按指數(shù)規(guī)律發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的暫態(tài)過(guò)程如圖所示。由于非線性系統(tǒng)的這種性質(zhì)，

在分析它的運(yùn)動(dòng)時(shí)不能應(yīng)用線性疊加原理，這是與線性系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別。2/4/20236自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)二、響應(yīng)過(guò)程線性系統(tǒng)響應(yīng)過(guò)程與輸入信號(hào)的大小及初始條件無(wú)關(guān)。如果某系統(tǒng)在某初始條件下的響應(yīng)過(guò)程為衰減振蕩，則其在任何輸入信號(hào)及初始條件下該系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)均為衰減振蕩形式。

非線性系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)某一初始條件下的響應(yīng)過(guò)程為單調(diào)衰減，而在另一初始條件下則為衰減振蕩，如圖所示。在靜態(tài)下，非線性系統(tǒng)的輸出量中可能含有輸入信號(hào)中沒(méi)有的模態(tài)。2/4/20237自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)三、自持振蕩線性二階系統(tǒng)只在阻尼比ζ=0時(shí)給予階躍作用，將產(chǎn)生周期性響應(yīng)過(guò)程,此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。實(shí)際上,一旦該系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生微小變化,該周期性狀態(tài)就無(wú)法維持,要么發(fā)散至無(wú)窮大,要么衰減至零。而非線性系統(tǒng)即使在沒(méi)有外作用時(shí),也有可能產(chǎn)生頻率和振幅一定的穩(wěn)定周期性響應(yīng)。該周期響應(yīng)過(guò)程物理上是可實(shí)現(xiàn)并可保持的,通常將其稱(chēng)為自持振蕩或自振蕩,如右圖所示。2/4/20238自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)如果自振蕩的幅值在允許范圍內(nèi)，按照李雅普諾夫(Lyapunov)關(guān)于穩(wěn)定性的定義（第十一章），系統(tǒng)是穩(wěn)定的。自振蕩是人們特別感興趣的一個(gè)問(wèn)題，對(duì)它的研究有很大的實(shí)際意義。如火炮系統(tǒng)若發(fā)生自振，當(dāng)瞄準(zhǔn)具對(duì)準(zhǔn)一個(gè)目標(biāo)，炮口由于自振而不停擺動(dòng)，是打不中目標(biāo)的，另外對(duì)系統(tǒng)本身磨損也很厲害，所以有必要專(zhuān)門(mén)研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性及自振問(wèn)題。在多數(shù)情況下,正常工作時(shí)不希望有振蕩存在，必須設(shè)法消除它。但在某些情況下，特意引入自振蕩，將使系統(tǒng)有良好的穩(wěn)態(tài)、暫態(tài)性能。2/4/20239自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)四、正弦輸入響應(yīng)在正弦信號(hào)作用下，線性系統(tǒng)的輸出是與輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)。而非線性系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下的響應(yīng)則很復(fù)雜，有時(shí)輸出信號(hào)頻率為輸入頻率的倍頻、分頻等現(xiàn)象。非線性系統(tǒng)的倍頻振蕩和分頻振蕩

2/4/202310自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)一些非線性系統(tǒng)的幅頻特性會(huì)出現(xiàn)跳躍諧振及多值響應(yīng)現(xiàn)象。非線性系統(tǒng)響應(yīng)還有其他與線性系統(tǒng)不同的現(xiàn)象，無(wú)法用線性系統(tǒng)的理論來(lái)解釋。在一些情況下，引入某些非線性環(huán)節(jié)，可以使系統(tǒng)獲得比線性系統(tǒng)更為優(yōu)異的性能。實(shí)際上大多數(shù)智能控制都屬于非線性控制范疇。非線性彈簧輸出的幅頻特性

2/4/202311自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)實(shí)際中常見(jiàn)的非線性例子實(shí)際的非線性例子：晶體管放大器有一個(gè)線性工作范圍，超出這個(gè)范圍，放大器就會(huì)出現(xiàn)飽和現(xiàn)象；有時(shí)，工程上還人為引入飽和特性用以限制過(guò)載。電動(dòng)機(jī)輸出軸上總是存在摩擦力矩和負(fù)載力矩，只有在輸入超過(guò)啟動(dòng)電壓后，電動(dòng)機(jī)才會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，存在不靈敏區(qū)（死區(qū)）；當(dāng)輸入達(dá)到飽和電壓時(shí)，由于電動(dòng)機(jī)磁性材料的非線性，輸出轉(zhuǎn)矩會(huì)出現(xiàn)飽和，限制了電動(dòng)機(jī)的最大轉(zhuǎn)速。各種傳動(dòng)機(jī)構(gòu)由于機(jī)械加工和裝配上的缺陷，在傳動(dòng)過(guò)程中總存在著間隙。開(kāi)關(guān)或繼電器會(huì)導(dǎo)致信號(hào)的跳變。2/4/202312自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)常見(jiàn)非線性因素對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的影響一、死區(qū)死區(qū)又叫不靈敏區(qū)，系統(tǒng)中的死區(qū)是由測(cè)量元件的死區(qū)、放大器的死區(qū)以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)所造成的。有時(shí)人為地引入死區(qū)特性，可用于消除高頻小幅度振蕩，減少系統(tǒng)中器件的磨損。2/4/202313自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)二、飽和飽和特性也是系統(tǒng)中最常見(jiàn)的一種非線性特性，幾乎所有的放大器都存在飽和現(xiàn)象。飽和特性及其信號(hào)的等效放大倍數(shù)如下圖所示。粗略看，飽和特性的存在相當(dāng)于在較大信號(hào)作用時(shí)，系統(tǒng)增益下降。2/4/202314自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)設(shè)隨動(dòng)系統(tǒng)如下圖所示當(dāng)系統(tǒng)輸入端加上一個(gè)幅值較大的階躍信號(hào)時(shí)，若放大器無(wú)飽和限制，系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線如圖中的曲線1；放大器有飽和限制時(shí)的時(shí)間響應(yīng)曲線如曲線2。2/4/202315自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)若隨動(dòng)系統(tǒng)的方塊圖如下圖所示若系統(tǒng)中不存在飽和特性的限制，系統(tǒng)是振蕩發(fā)散的（曲線1）；若系統(tǒng)中存在飽和特性的限制，則系統(tǒng)不再發(fā)散，而是出現(xiàn)穩(wěn)定的等幅振蕩，如曲線2。2/4/202316自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)系統(tǒng)包含飽和時(shí)，等效K↓出于對(duì)系統(tǒng)安全性的考慮，實(shí)際應(yīng)用中常常加入各種限幅裝置，使系統(tǒng)產(chǎn)生自振蕩，其特性也屬飽和特性。2/4/202317自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)三、間隙間隙對(duì)系統(tǒng)性能的影響也很復(fù)雜，一般來(lái)說(shuō)，間隙的存在對(duì)系統(tǒng)總是不利的:(1)首先，它使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差擴(kuò)大；(2)使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能變差，使振蕩加劇，穩(wěn)定性變差。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，為了保證轉(zhuǎn)動(dòng)靈活不至于卡死，必須有少量的間隙。由于存在間隙，當(dāng)主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)向開(kāi)始改變時(shí)，從動(dòng)輪仍保持原有的位置，直到主動(dòng)輪轉(zhuǎn)過(guò)了2b間隙，在相反方向與從動(dòng)輪相嚙合后，從動(dòng)輪才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)。2/4/202318自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)四、摩擦摩擦非線性對(duì)小功率角度隨動(dòng)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，是一個(gè)很重要的非線性因素。它的影響，從靜態(tài)上看，相當(dāng)于在執(zhí)行機(jī)構(gòu)中引入了死區(qū)，從而造成了系統(tǒng)的靜差，這一點(diǎn)和死區(qū)的影響相類(lèi)似。直流電動(dòng)機(jī)的方框圖摩擦力矩示意圖2/4/202319自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)小功率隨動(dòng)系統(tǒng)方框圖低速爬行現(xiàn)象改善慢變化過(guò)程平穩(wěn)性的方法

2/4/202320自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)五、繼電為了改善系統(tǒng)的性能，常常在系統(tǒng)中引入繼電器特性。如圖是用極化繼電器控制伺服電動(dòng)機(jī)的原理圖。當(dāng)繼電器線圈中的電流i=0時(shí)，其觸點(diǎn)位于中間位置，電動(dòng)機(jī)斷電。當(dāng)0＜i＜i1時(shí),（i1是極化繼電器的吸合動(dòng)作電流）觸頭仍不動(dòng)作，當(dāng)i＞i1時(shí)，觸頭動(dòng)作，電動(dòng)機(jī)電樞電壓U=Um。當(dāng)繼電器線圈中電流減小時(shí)，由于返回電流i2小于動(dòng)作電流i1，故僅當(dāng)i＜i2時(shí)觸點(diǎn)才斷開(kāi)，電動(dòng)機(jī)斷電。當(dāng)繼電器線圈電流反向變化時(shí)也會(huì)出現(xiàn)類(lèi)似的情況。2/4/202321自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)繼電器的輸入輸出特性若i=0，即繼電器的動(dòng)作電流及返回電流均為零值切換，則稱(chēng)這種特性為理想繼電器特性，如右圖所示。理想繼電器特性2/4/202322自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)1.非線性現(xiàn)象的普遍性非線性是宇宙間的普遍規(guī)律非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式多樣，種類(lèi)繁多線性系統(tǒng)只是在特定條件下的近似描述2.非線性系統(tǒng)的一般數(shù)學(xué)模型其中，f(·)和g(·)為非線性函數(shù)。8.1非線性控制系統(tǒng)概述2/4/202323自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)3.非線性系統(tǒng)的分類(lèi)按非線性環(huán)節(jié)的物理性能及非線性特性的形狀劃分，非線性特性有死區(qū)、飽和、間隙和繼電器等。

x(t)

y(t)(1)死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）很小時(shí)作為線性特性處理特征：當(dāng)輸入信號(hào)在零位附近變化時(shí)，系統(tǒng)沒(méi)有輸出。當(dāng)輸入信號(hào)大于某一數(shù)值時(shí)才有輸出，且與輸入呈線性關(guān)系。調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)各類(lèi)液壓閥的正重疊量系統(tǒng)的庫(kù)倫摩擦測(cè)量變送裝置的不靈敏區(qū)彈簧預(yù)緊力等較大時(shí)將使系統(tǒng)靜態(tài)誤差增加系統(tǒng)低速不平滑性死區(qū)或不靈敏區(qū)2/4/202324自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)特點(diǎn)：當(dāng)輸入信號(hào)超出其線性范圍后，輸出信號(hào)不再隨輸入信號(hào)變化而保持恒定。

x(t)

y(t)放大器的飽和輸出特性磁飽和元件的行程限制功率限制等(2)飽和特性2/4/202325自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)(3)間隙特性特點(diǎn)：輸入輸出之間具有多值關(guān)系。元件開(kāi)始運(yùn)動(dòng)：輸入信號(hào)<a時(shí)，無(wú)輸出信號(hào)；當(dāng)輸入信號(hào)>a以后，輸出隨輸入線性變化。元件反向運(yùn)動(dòng)：保持在運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化瞬間的輸出值；輸入反向變化>2a，輸出隨輸入線性變化。齒輪傳動(dòng)中的齒隙液壓傳動(dòng)中的油隙間隙輸出相位滯后，減小穩(wěn)定裕量，動(dòng)態(tài)特性變壞。

y(t)

x(t)c2/4/202326自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)

y(t)

x(t)(4)繼電器特性理想繼電器

具有死區(qū)的單值繼電器具有滯環(huán)的繼電器具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器包含有死區(qū)、飽和、滯環(huán)特性

y(t)

x(t)

y(t)

x(t)

x(t)

y(t)

y(t)

x(t)2/4/202327自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)以非線性環(huán)節(jié)的輸入和輸出之間存在的函數(shù)關(guān)系劃分，非線性特性可分為單值函數(shù)和多值函數(shù)兩類(lèi)。死區(qū)特性、飽和特性和理想繼電器特性都屬于單值情況；間隙特性和一般繼電器特性屬于多值情況。多值函數(shù)的非線性特性將使頻率響應(yīng)產(chǎn)生。2/4/202328自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)4.非線性系統(tǒng)特征不適用疊加性原理穩(wěn)定性分析復(fù)雜非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，也與初始條件以及系統(tǒng)的輸入信號(hào)的類(lèi)型和幅值有關(guān)?？赡艽嬖谧猿终袷帲O限環(huán)）現(xiàn)象自持振蕩是指沒(méi)有外界周期變化信號(hào)的作用時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)。線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)只有收斂和發(fā)散，只有在臨界穩(wěn)定的情況下才能產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)。2/4/202329自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)頻率響應(yīng)發(fā)生畸變非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦信號(hào)分量外，還含有w的高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。

應(yīng)當(dāng)明確指出的是：非線性系統(tǒng)分析中不能使用疊加原理,也不能使用線性系統(tǒng)分析中傳遞函數(shù)、頻率特性數(shù)學(xué)模型，即G(s)、G(jw)對(duì)非線性系統(tǒng)不適用。2/4/202330自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)5.非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法非線性系統(tǒng)分析的重點(diǎn)某一平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定，如果不穩(wěn)定應(yīng)當(dāng)如何校正？系統(tǒng)中是否會(huì)產(chǎn)生自持振蕩，如何確定其周期和振幅？如何利用或消除自持振蕩以獲得需要的性能指標(biāo)？2/4/202331自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)基本的非線性系統(tǒng)研究方法小范圍線性近似法逐段線性近似法反饋線性化法相平面法相平面法是非線性系統(tǒng)的圖解法，只適用于階數(shù)最高為二階的系統(tǒng)。

描述函數(shù)法（一次諧波近似法,1940年P(guān).J.Daniel）描述函數(shù)法是非線性系統(tǒng)的頻域法，適用于具有低通濾波特性的各種階次的非線性系統(tǒng)。

李雅普諾夫（Lyapunov）法（第十一章）計(jì)算機(jī)仿真（非線性微分方程的一種數(shù)值解法。）2/4/202332自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)8.3描述函數(shù)法問(wèn)題的提出線性系統(tǒng)理論相對(duì)成熟，能否將一些非線性系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)研究？描述函數(shù):非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，可應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率法對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析。它是受線性系統(tǒng)頻率法啟發(fā)而發(fā)展出的一種分析非線性系統(tǒng)的方法，是頻率法在非線性系統(tǒng)分析中的推廣?；舅枷耄寒?dāng)系統(tǒng)滿(mǎn)足一定假設(shè)條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可用一次諧波分量來(lái)近似。主要解決的問(wèn)題：無(wú)外作用情況下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自持振蕩。2/4/202333自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)一、描述函數(shù)的定義1.基本概念y(t)奇函數(shù)（斜對(duì)稱(chēng)）輸出的一次諧波分量2/4/202334自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)2.應(yīng)用基本假設(shè)設(shè)非線性系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為如下一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式。設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性y(x)是x的奇函數(shù)，或是正弦輸入下的輸出為時(shí)間t的奇對(duì)稱(chēng)函數(shù)，則直流分量A0＝0。設(shè)非線性環(huán)節(jié)中不包含儲(chǔ)能元件。設(shè)系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的高頻（低通）濾波性能（則高次諧波分量通過(guò)線性部分后將被衰減到忽略不計(jì),可以近似認(rèn)為當(dāng)輸入為正弦信號(hào)x(t)時(shí)，只有y(t)的基波分量沿閉環(huán)反饋回路送至比較點(diǎn)，其高次諧波分量可忽略不計(jì)）。2/4/202335自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)3.描述函數(shù)的物理意義非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)反映了非線性系統(tǒng)正弦響應(yīng)中一次諧波分量的幅值和相位相對(duì)于輸入信號(hào)的變化（或者說(shuō)描述函數(shù)是非線性環(huán)節(jié)的“頻率特性”，是非線性特性的諧波線性化）。線性系統(tǒng)頻率特性是非線性系統(tǒng)描述函數(shù)的特例。關(guān)于輸入正弦信號(hào)幅值的復(fù)變?cè)鲆娣糯笃鳌?/4/202336自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)舉例說(shuō)明：y(t)為非正弦周期函數(shù)，∵非線性特性為單值奇對(duì)稱(chēng)，12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）2/4/202337自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)（只與A有關(guān)）?！嘀灰獂(t)的A一定，描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）也就完全確定了。2/4/202338自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)相當(dāng)于用斜率為1.25的直線代替了元件的非線性特征

描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）

之間成為線性關(guān)系，即當(dāng)12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。2/4/202339自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)

同理，A＝4時(shí)，相當(dāng)于用斜率為3.5的直線代替；即進(jìn)行了線性化處理。的線性關(guān)系也隨之改變。

描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。并且說(shuō)明：當(dāng)A改變時(shí)，N(A)也隨之改變，2/4/202340自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)★用描述函數(shù)表示非線性特性時(shí)，相當(dāng)于用斜率隨輸入振幅A而變的一簇直線代替了元件本來(lái)的非線性特性。因此，可以把非線性元件看作是一個(gè)放大器，其增益是一個(gè)復(fù)數(shù)（即復(fù)數(shù)增益放大器），該復(fù)數(shù)的模值和幅角是幅值A(chǔ)的函數(shù)?！镉妹枋龊瘮?shù)表示非線性元件后，就可以用線性理論中的頻率法來(lái)研究非線性系統(tǒng)的基本特性，其中關(guān)鍵是N(A)的計(jì)算。描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）2/4/202341自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)二、典型非線性特性的描述函數(shù)1.理想繼電器特性傅氏展開(kāi)斜對(duì)稱(chēng)、奇函數(shù)A0=An=0輸入2/4/202342自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)2.一般繼電特性的描述函數(shù)理想繼電特性：死區(qū)繼電特性：純滯環(huán)繼電特性：2/4/202343自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)∵y(t)為奇函數(shù)∴3.飽和特性2/4/202344自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)

(條件：A>c)[A<c時(shí)為線性，求N(A)無(wú)意義]；

可見(jiàn):N與ω?zé)o關(guān)。飽和特性的描述函數(shù)（續(xù)）2/4/202345自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)可見(jiàn)：N與ω也無(wú)關(guān)。4.死區(qū)特性2/4/202346自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)5.死區(qū)飽和特性6.間隙特性

y(t)

x(t)c2/4/202347自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)幾點(diǎn)說(shuō)明：一般而言,描述函數(shù)N(A)是A的函數(shù),與頻率w無(wú)關(guān)；非線性環(huán)節(jié)為單（非單）值函數(shù)時(shí),N(A)是實(shí)（復(fù)）數(shù)，虛部為（不為）0；如果某一非線性可以看作是兩個(gè)非線性的疊加、即（并聯(lián)）設(shè)y1、y2、y分別有N1(A)、N2(A)、N(A）2/4/202348自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)三、利用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性1.穩(wěn)定性的定性分析在滿(mǎn)足一定假設(shè)時(shí)，有其特征方程為Nyquist判據(jù)：若開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是G(j)的軌跡不包圍G平面的(-1,j0)。負(fù)倒描述函數(shù)（描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)特性)線性系統(tǒng)(-1,j0)?2/4/202349自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)③G(j)與負(fù)倒描述函數(shù)相交閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩(極限環(huán)振蕩)？穩(wěn)定？不穩(wěn)定?!振幅（A）?!頻率()假設(shè)：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)的線性部分G(j)穩(wěn)定

①G(j)不包圍負(fù)倒描述函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定②G(j)包圍負(fù)倒描述函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定2/4/202350自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)2.自持振蕩（極限環(huán)）分析當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到c點(diǎn)時(shí)，

c點(diǎn)被G(j

)軌跡包圍， 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A繼續(xù)增大； 不返回到a。當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到d點(diǎn)時(shí)，

d點(diǎn)未被G(j

)軌跡包圍， 系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅A繼續(xù)減??； 不返回到a。a點(diǎn)為不穩(wěn)定的自振交點(diǎn)，無(wú)法觀察到。微小擾動(dòng)穩(wěn)定極限環(huán)和不穩(wěn)定極限環(huán)2/4/202351自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到e點(diǎn)時(shí)，

e點(diǎn)未被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅A減小； 返回到b。當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到f點(diǎn)時(shí)，

f點(diǎn)被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A增大； 返回到b。b點(diǎn)為穩(wěn)定的自振交點(diǎn)，形成可觀察到的穩(wěn)定自持振蕩。穩(wěn)定極限環(huán)和不穩(wěn)定極限環(huán)2/4/202352自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)2/4/202353自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)2/4/202354自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)軌跡和非線性部分的軌跡相交，這可以通過(guò)加校正實(shí)現(xiàn)。

2/4/202355自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)例：試判斷圖中各系統(tǒng)是否穩(wěn)定；-1/N(A)與G(jω)兩曲線交點(diǎn)是否為自振點(diǎn)。(a)不是(b)是(c)是(d)a,c點(diǎn)是，b點(diǎn)不是(e)是(f)a點(diǎn)不是，b點(diǎn)是(g)a點(diǎn)不是，b點(diǎn)是(h)不穩(wěn)定(i)不穩(wěn)定(j)穩(wěn)定2/4/202356自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)2/4/202357自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)2/4/202358自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)2/4/202359自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)2/4/202360自動(dòng)控制原理》第八章非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟：(1)將非線性系統(tǒng)化成典型結(jié)構(gòu)圖；(2)由定義求出非線性部分的描述函數(shù)N(A)；(3)在復(fù)平面作出G(jw)和-1/N(A)的軌跡；(4)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，是否存在極限環(huán)；(5)如果系統(tǒng)存在極限環(huán)，則進(jìn)一步分析極限環(huán)的穩(wěn)定性，并確定它的頻率和幅值。另外，用描述函數(shù)法設(shè)計(jì)非線性系統(tǒng)時(shí)，很重要的一條是避免G(jw)和-1/N(A)的軌跡相交，這可以通過(guò)非線性校正方法實(shí)現(xiàn)。2/4/202361自動(dòng)控制原理》