高中數(shù)學(xué)北師大版3第一章計數(shù)原理組合 第1章3組合與組合數(shù)公式

§3組合第1課時組合與組合數(shù)公式1．理解組合的定義，正確認(rèn)識組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系．(易混點)2．理解排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式，能運(yùn)用組合數(shù)公式進(jìn)行計算．(重點)3．會解決一些簡單的組合問題．(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1組合的概念閱讀教材P12～P13“練習(xí)1”以上部分，完成下列問題．一般地，從n個不同的元素中，任取m(m≤n)個元素________，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．【答案】為一組下面幾個問題中屬于組合問題的是()①由1,2,3,4構(gòu)成的雙元素集合；②5個隊進(jìn)行單循環(huán)足球比賽的分組情況；③由1,2,3構(gòu)成兩位數(shù)的方法；④由1,2,3組合無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的方法．A．①③ B．②④C．①② D．①②④【解析】①②為組合問題，與順序無關(guān)，③④為排列問題，與順序有關(guān)．【答案】C教材整理2組合數(shù)的概念、公式、性質(zhì)閱讀教材P13“練習(xí)1”以下至P16部分，完成下列問題．組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的________的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)表示法________組合數(shù)公式乘積式Ceq\o\al(m,n)＝________＝________階乘式Ceq\o\al(m,n)＝________性質(zhì)Ceq\o\al(m,n)＝________，Ceq\o\al(m,n＋1)＝________備注①n，m∈N＋且m≤n；②規(guī)定：Ceq\o\al(0,n)＝1【答案】所有組合Ceq\o\al(m,n)eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)eq\f(n！,m！n－m！)Ceq\o\al(n－m,n)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)1．甲、乙、丙三地之間有直達(dá)的火車，相互之間的距離均不相等，則車票票價的種數(shù)是________．【解析】甲、乙、丙三地之間的距離不等，故票價不同，同距離兩地票價相同，故該問題為組合問題，不同票價的種數(shù)為Ceq\o\al(2,3)＝eq\f(3×2,2)＝3.【答案】32．Ceq\o\al(2,6)＝________，Ceq\o\al(17,18)＝________.【解析】Ceq\o\al(2,6)＝eq\f(6×5,2)＝15，Ceq\o\al(17,18)＝Ceq\o\al(1,18)＝18.【答案】1518[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]組合的概念判斷下列各事件是排列問題還是組合問題．(1)10支球隊以單循環(huán)進(jìn)行比賽(每兩隊比賽一次)，這次比賽需要進(jìn)行多少場次？(2)10支球隊以單循環(huán)進(jìn)行比賽，這次比賽冠、亞軍獲得者有多少種可能？(3)從10個人里選3個代表去開會，有多少種選法？(4)從10個人里選出3個不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？【精彩點撥】要確定是組合還是排列問題，只需確定取出的元素是否與順序有關(guān)．【自主解答】(1)是組合問題，因為每兩個隊比賽一次并不需要考慮誰先誰后，沒有順序的區(qū)別．(2)是排列問題，因為甲隊得冠軍、乙隊得亞軍與甲隊得亞軍、乙隊得冠軍是不一樣的，是有順序的區(qū)別．(3)是組合問題，因為3個代表之間沒有順序的區(qū)別．(4)是排列問題，因為3個人中，擔(dān)任哪一科的課代表是有順序的區(qū)別．1．根據(jù)排列與組合的定義進(jìn)行判斷，區(qū)分排列與組合問題，先確定完成的是什么事件，然后看問題是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的是排列，與順序無關(guān)的是組合．2．區(qū)分有無順序的方法把問題的一個選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個結(jié)果中任意兩個元素的位置，看是否會產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題．[再練一題]1．從5個不同的元素a，b，c，d，e中取出2個，寫出所有不同的組合．【解】要想寫出所有組合，就要先將元素按照一定順序排好，然后按順序用圖示的方法將各個組合逐個標(biāo)出來，如圖所示：由此可得所有的組合為ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.組合數(shù)公式的應(yīng)用(1)式子eq\f(nn＋1n＋2…n＋100,100！)可表示為()A．Aeq\o\al(100,n＋100) B．Ceq\o\al(100,n＋100)C．101Ceq\o\al(100,n＋100) D．101Ceq\o\al(101,n＋100)(2)求值：Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(9－n,n＋1).【精彩點撥】根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)慕M合數(shù)公式進(jìn)行求值或證明．【自主解答】(1)分式的分母是100！，分子是101個連續(xù)自然數(shù)的乘積，最大的為n＋100，最小的為n，故eq\f(nn＋1n＋2…n＋100,100！)＝101·eq\f(nn＋1n＋2…n＋100,101！)＝101Ceq\o\al(101,n＋100).【答案】D(2)由組合數(shù)定義知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤5－n≤n，,0≤9－n≤n＋1，))所以4≤n≤5，又因為n∈N＋，所以n＝4或5.當(dāng)n＝4時，Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(9－n,n＋1)＝Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(5,5)＝5；當(dāng)n＝5時，Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(9－n,n＋1)＝Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(4,6)＝16.關(guān)于組合數(shù)計算公式的選取1．涉及具體數(shù)字的可以直接用公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)計算．2．涉及字母的可以用階乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)計算．3．計算時應(yīng)注意利用組合數(shù)的性質(zhì)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)簡化運(yùn)算．[再練一題]2．求等式eq\f(C\o\al(5,n－1)＋C\o\al(3,n－3),C\o\al(3,n－3))＝eq\f(19,5)中的n值．【解】原方程可變形為eq\f(C\o\al(5,n－1),C\o\al(3,n－3))＋1＝eq\f(19,5)，Ceq\o\al(5,n－1)＝eq\f(14,5)Ceq\o\al(3,n－3)，即eq\f(n－1n－2n－3n－4n－5,5！)＝eq\f(14,5)·eq\f(n－3n－4n－5,3！)，化簡整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合題意，舍去)，所以n＝9為所求．[探究共研型]組合的性質(zhì)探究1試用兩種方法求：從a，b，c，d，e5人中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，2人參加英語競賽，共有多少種選法？你有什么發(fā)現(xiàn)？你能得到一般結(jié)論嗎？【提示】法一：從5人中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，剩余2人參加英語競賽，共Ceq\o\al(3,5)＝eq\f(5×4×3,3×2×1)＝10(種)選法．法二：從5人中選出2人參加英語競賽，剩余3人參加數(shù)學(xué)競賽，共Ceq\o\al(2,5)＝eq\f(5×4,2)＝10(種)不同選法．經(jīng)求解發(fā)現(xiàn)Ceq\o\al(3,5)＝Ceq\o\al(2,5).推廣到一般結(jié)論有Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).探究2從含有隊長的10名排球隊員中選出6人參加比賽，共有多少種選法？【提示】共有Ceq\o\al(6,10)＝eq\f(10×9×8×7×6×5,6×5×4×3×2×1)＝210(種)選法．探究3在探究2中，若隊長必須參加，有多少種選法？若隊長不能參加有多少種選法？由探究2、3，你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？你能推廣到一般結(jié)論嗎？【提示】若隊長必須參加，共Ceq\o\al(5,9)＝126(種)選法．若隊長不能參加，共Ceq\o\al(6,9)＝84(種)選法．由探究2、3發(fā)現(xiàn)從10名隊員中選出6人可分為隊長參賽與隊長不參賽兩類，由分類加法計數(shù)原理可得：Ceq\o\al(6,10)＝Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(6,9).一般地：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).(1)計算Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,2016)的值為()A．Ceq\o\al(4,2017) B．Ceq\o\al(5,2017)C．Ceq\o\al(4,2017)－1 D．Ceq\o\al(5,2017)－1(2)解方程3Ceq\o\al(x－7,x－3)＝5Aeq\o\al(2,x－4)；(3)解不等式Ceq\o\al(4,n)＞Ceq\o\al(6,n).【精彩點撥】恰當(dāng)選擇組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求值、解方程與解不等式．【自主解答】(1)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,2016)＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,)2016－Ceq\o\al(4,4)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,2016)－1＝…＝Ceq\o\al(4,2016)＋Ceq\o\al(3,2016)－1＝Ceq\o\al(4,2017)－1.【答案】C(2)由排列數(shù)和組合數(shù)公式，原方程可化為3·eq\f(x－3！,x－7！4！)＝5·eq\f(x－4！,x－6！)，則eq\f(3x－3,4！)＝eq\f(5,x－6)，即為(x－3)(x－6)＝40.∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2.經(jīng)檢驗知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根．∴方程的根為x＝11.(3)由Ceq\o\al(4,n)＞Ceq\o\al(6,n)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n！,4！n－4！)＞\f(n！,6！n－6！)，,n≥6))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2－9n－10＜0，,n≥6，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜n＜10，,n≥6.))又n∈N＋，∴該不等式的解集為{6,7,8,9}．1．性質(zhì)“Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)”的意義及作用2．與排列組合有關(guān)的方程或不等式問題要用到排列數(shù)、組合數(shù)公式，以及組合數(shù)的性質(zhì)，求解時，要注意由Ceq\o\al(m,n)中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m確定m，n的范圍，因此求解后要驗證所得結(jié)果是否符合題意．[再練一題]3．(1)化簡：Ceq\o\al(9,m)－Ceq\o\al(9,m＋1)＋Ceq\o\al(8,m)＝________；(2)已知Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，求n的值．【解析】(1)原式＝(Ceq\o\al(9,m)＋Ceq\o\al(8,m))－Ceq\o\al(9,m＋1)＝Ceq\o\al(9,m＋1)－Ceq\o\al(9,m＋1)＝0.【答案】0(2)根據(jù)題意，Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，變形可得Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(8,n)＋Ceq\o\al(7,n)，由組合數(shù)的性質(zhì)，可得Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(8,n＋1)，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.[構(gòu)建·體系]1．下列四個問題屬于組合問題的是()A．從4名志愿者中選出2人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作B．從0,1,2,3,4這5個數(shù)字中選取3個不同的數(shù)字，組成一個三位數(shù)C．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)出席深圳世界大學(xué)生運(yùn)動會開幕式D．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)分別擔(dān)任班長、副班長和學(xué)習(xí)委員【解析】A，B，D項均為排列問題，只有C項是組合問題．【答案】C2．若Aeq\o\al(3,n)＝12Ceq\o\al(2,n)，則n等于()A．8 B．5或6C．3或4 D．4【解析】Aeq\o\al(3,n)＝n(n－1)(n－2)，Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(1,2)n(n－1)，所以n(n－1)(n－2)＝12×eq\f(1,2)n