人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊復習測試題含答案（二）

人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊復習測試題含答案（二）本卷滿分150分，考試時間120分鐘。單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．已知空間中三點，，，則下列說法正確的是（

）A．與是共線向量 B．與向量方向相同的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個法向量是2．設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為A． B． C． D．4．已知O為坐標原點，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當取得最小值時，點Q的坐標為（

）A． B． C． D．5．若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．6．已知圓，P為直線上的動點，過點P作圓C的切線，切點為A，當?shù)拿娣e最小時，的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．7．已知直線l與圓交于A，B兩點，點滿足，若AB的中點為M，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知圓的半徑為，平面上一定點到圓心的距離，是圓上任意一點.

線段的垂直平分線和直線相交于點，設點在圓上運動時，點的軌跡為，當時，軌跡對應曲線的離心率取值范圍為（

）A． B．C． D．多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知曲線：，則（

）A．若，則曲線是圓，其半徑為B．若，則曲線是橢圓，其焦點在軸上C．若曲線過點，，則是雙曲線D．若，則曲線不表示任何圖形10．已知橢圓的左、右兩個焦點分別為、，直線與交于、兩點，軸，垂足為，直線與橢圓的另一個交點為，則下列結論正確的是（

）A．若，則的面積為B．四邊形可能為矩形C．直線的斜率為D．若與、兩點不重合，則直線和斜率之積為11．如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（含端點），則下列說法正確的是（

）A．存在點，使得B．存在點，使得異面直線與所成的角為C．三棱錐體積的最大值是D．當點自向處運動時，二面角的平面角先變小后變大12．以下四個命題表述正確的是（

）A．直線恒過定點B．圓上有4個點到直線的距離都等于1C．圓與圓恰有一條公切線，則D．已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線為切點，則直線經(jīng)過定點三填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設P為已知直線上的動點，過點P向圓作一條切線，切點為Q，則的最小值為___________.14．瑞士數(shù)學家歐拉（Euler）1765年在所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點，，，則歐拉線的方程為______．15．如圖，拋物線：的焦點為，圓：，為拋物線上一點，且，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的取值范圍為______.16．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點和，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，，為兩曲線的一個公共點，且（為坐標原點）．若，則的取值范圍是______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖，三棱柱中，側面BB1C1C是菱形，其對角線的交點為O，且AB=AC1，AB⊥B1C．(1)求證：AO⊥平面BB1C1C；(2)設∠B1BC=60°，若直線A1B1與平面BB1C1C所成的角為45°，求二面角的余弦值．18．（12分）已知直線：，，為坐標原點，動點滿足，動點的軌跡為曲線(1)求曲線的方程；(2)若直線與圓：交于不同的兩點，當∠時，求的值；(3)若，是直線上的動點，過點作曲線的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點．19．（12分）在如圖所示的五面體中，面是邊長為2的正方形，平面，，且，為的中點.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求點到平面的距離.20．（12分）已知橢圓：的離心率為，橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合．(1)求橢圓的方程．(2)如圖，A，B是橢圓的左、右頂點，過點F且斜率不為0的直線交橢圓C于點M，N，直線AM與直線交于點P．記PA，PF，BN的斜率分別為，，，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．21．（12分）已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線在第一象限的交點為，且．(1)求拋物線的方程；(2)經(jīng)過焦點作互相垂直的兩條直線，，與拋物線相交于，兩點，與拋物線相交于，兩點．若，分別是線段，的中點，求的最小值．22．（12分）已知圓，點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線交直線于點，點的軌跡記為曲線.(1)求曲線的方程；(2)已知曲線上一點，動圓，且點在圓外，過點作圓的兩條切線分別交曲線于點，.（i）求證：直線的斜率為定值；（ii）若直線與交于點，且時，求直線的方程.答案解析版本卷滿分150分，考試時間120分鐘。單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．已知空間中三點，，，則下列說法正確的是（

）A．與是共線向量 B．與向量方向相同的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個法向量是【答案】C【解析】，不存在實數(shù)，使，所以與不共線，A選項錯誤.向量方向相同的單位向量是，B選項錯誤.，所以與夾角的余弦值是，C選項正確.，所以不是平面的法向量，D選項錯誤.故選：C2．設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線可整理為，故恒過定點，即為A的坐標；直線整理為，故恒過定點，即為B坐標；又兩條直線垂直，故可得，即整理得解得，當且僅當時取得最大值.故選：A.3．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為A． B． C． D．【答案】A【解析】：設點A關于直線的對稱點，的中點為，故解得，要使從點A到軍營總路程最短，即為點到軍營最短的距離，“將軍飲馬”的最短總路程為，故選A.4．已知O為坐標原點，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當取得最小值時，點Q的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以當λ＝時，取得最小值，此時＝＝，即點Q的坐標為.故選：C5．若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】方程是恒過定點，斜率為k的直線，曲線，即，是圓心為，半徑在直線及右側的半圓，半圓弧端點，在同一坐標系內(nèi)作出直線與半圓C：，如圖，當直線與半圓C相切時，由得切線PT的斜率，當直線PT繞點P逆時針旋轉到過點A的直線的過程中的每一個位置的直線與半圓C均有兩個公共點，包含直線PA，不包含直線PT，旋轉到其它位置都沒有兩個公共點，直線PA的斜率，所以直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是.故選：A6．已知圓，P為直線上的動點，過點P作圓C的切線，切點為A，當?shù)拿娣e最小時，的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題可知，，半徑，圓心，所以，要使的面積最小，即最小，的最小值為點到直線的距離，即當點運動到時，最小，直線的斜率為，此時直線的方程為，由，解得，所以，因為是直角三角形，所以斜邊的中點坐標為，而，所以的外接圓圓心為，半徑為，所以的外接圓的方程為.故選：C.7．已知直線l與圓交于A，B兩點，點滿足，若AB的中點為M，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，中點，則，，又，，則，所以，又，則，而，，所以，即，綜上，，整理得，即為M的軌跡方程，所以在圓心為，半徑為的圓上，則.故選：A.8．已知圓的半徑為，平面上一定點到圓心的距離，是圓上任意一點.

線段的垂直平分線和直線相交于點，設點在圓上運動時，點的軌跡為，當時，軌跡對應曲線的離心率取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當A在圓內(nèi)時，如圖，,所以的軌跡是以O，A為焦點的橢圓，其中，，此時，，.當A在圓外時，如圖，因為，所以的軌跡是以O，A為焦點的雙曲線，其中，，此時，，.綜上可知，.故選：D多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知曲線：，則（

）A．若，則曲線是圓，其半徑為B．若，則曲線是橢圓，其焦點在軸上C．若曲線過點，，則是雙曲線D．若，則曲線不表示任何圖形【答案】BC【解析】對于A，時，曲線可化為，其半徑為，故A錯誤；對于B，時，曲線可化為表示的是橢圓，而，所以其焦點在軸上，故B正確；對于C，將點，，代入曲線：，有，，所以曲線是雙曲線，故C正確；對于D，若，，滿足條件，此時曲線：，表示兩條直線，故D錯誤，故選：BC.10．已知橢圓的左、右兩個焦點分別為、，直線與交于、兩點，軸，垂足為，直線與橢圓的另一個交點為，則下列結論正確的是（

）A．若，則的面積為B．四邊形可能為矩形C．直線的斜率為D．若與、兩點不重合，則直線和斜率之積為【答案】BC【解析】在橢圓中，，，，設點、，則，如下圖所示：對于A選項，由橢圓的定義可得，在中，由余弦定理可得，可得，因此，的面積為，A選項錯誤；對于B選項，由于直線與橢圓都關于原點對稱，則點、也關于原點對稱，又、關于原點對稱，所以，四邊形為平行四邊形，若四邊形為矩形，則，而，，，解得，B選項正確；對于C選項，，可知點，則，C選項正確；對于D選項，由于點、在橢圓上，則，上述兩個等式相減得，可得，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，，D選項錯誤.故選：BC.11．如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（含端點），則下列說法正確的是（

）A．存在點，使得B．存在點，使得異面直線與所成的角為C．三棱錐體積的最大值是D．當點自向處運動時，二面角的平面角先變小后變大【答案】AD【解析】以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，設，則；，，，，，，，；對于A，假設存在點，使得，則，又，，解得：，即點與重合時，，A正確；對于B，假設存在點，使得異面直線與所成的角為，，，，方程無解；不存在點，使得異面直線與所成的角為，B錯誤；對于C，連接；設，，當，即點與點重合時，取得最大值；又點到平面的距離，，C錯誤；對于D，由上分析知：，，若是面的法向量，則，令，則，而面的法向量，所以，令，則，而，由從到的過程，由小變大，則由大變小，即由小變大，所以先變大，后變小，由圖知：二面角恒為銳角，故二面角先變小后變大，D正確.故選：AD.12．以下四個命題表述正確的是（

）A．直線恒過定點B．圓上有4個點到直線的距離都等于1C．圓與圓恰有一條公切線，則D．已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線為切點，則直線經(jīng)過定點【答案】AD【解析】由，得，聯(lián)立，解得，直線恒過定點，故A正確；圓心到直線的距離等于1，直線與圓相交，而圓的半徑為2，故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個點到直線的距離等于1，故B錯誤；兩圓恰有一條公切線，則兩圓內(nèi)切，曲線化為標準式，圓心，半徑為1，曲線化為標準式，圓心，半徑為，∴圓心距為，解得，故C錯誤；設點的坐標為，則，以為直徑的圓的方程為，兩圓的方程作差得直線的方程為：，消去得，，令，，解得，，故直線經(jīng)過定點，故D正確．故選：AD.三填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設P為已知直線上的動點，過點P向圓作一條切線，切點為Q，則的最小值為___________.【答案】【解析】：圓的圓心為，半徑為，由題意得當最小時，CP連線與直線垂直，所以，由勾股定理得，所以的最小值為，答案為：.14．瑞士數(shù)學家歐拉（Euler）1765年在所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點，，，則歐拉線的方程為______．【答案】【解析】因的頂點，，，則的重心，顯然的外心在線段AC中垂線上，設，由得：，解得：，即點，直線，化簡整理得：，所以歐拉線的方程為.故答案為：15．如圖，拋物線：的焦點為，圓：，為拋物線上一點，且，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的取值范圍為______.【答案】【解析】：由題意知,圓的圓心為，半徑，拋物線方程，四邊形的面積，又，所以，由拋物線定義，得，又，所以，所以，所以.故答案為：.16．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點和，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，，為兩曲線的一個公共點，且（為坐標原點）．若，則的取值范圍是______．【答案】【解析】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對稱性知，不妨令焦點和在x軸上，點P在y軸右側，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖，三棱柱中，側面BB1C1C是菱形，其對角線的交點為O，且AB=AC1，AB⊥B1C．(1)求證：AO⊥平面BB1C1C；(2)設∠B1BC=60°，若直線A1B1與平面BB1C1C所成的角為45°，求二面角的余弦值．【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）證明：∵四邊形BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1，∵AB⊥B1C，AB∩BC1=B，平面ABC1，∴B1C⊥平面ABC1，又平面ABC1，∴B1C⊥AO，∵AB=AC1，O是BC1的中點，∴AO⊥BC1，又B1C∩BC1=O，平面BB1C1C，∴AO⊥平面BB1C1C；（2）解：∵AB∥A1B1，∴直線A1B1與平面BB1C1C所成的角等于直線AB與平面BB1C1C所成的角，∵AO⊥平面BB1C1C，∴直線AB與平面BB1C1C所成的角即∠ABO，∴∠ABO=45°，不妨設菱形BB1C1C的邊長為2，則在等邊三角形BB1C中，BO=，CO=B1O=1，在Rt△ABO中，AO=BO=，如圖，以O為坐標原點，分別以OB，OB1，OA所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，設平面A1B1C1的法向量為，則有，可取，因為AO⊥平面BB1C1C，所以即為平面BB1C1C的一個法向量，則，由圖可知二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為．18．已知直線：，，為坐標原點，動點滿足，動點的軌跡為曲線(1)求曲線的方程；(2)若直線與圓：交于不同的兩點，當∠時，求的值；(3)若，是直線上的動點，過點作曲線的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點．【答案】(1)(2)(3)直線過定點【解析】（1）設點，依題意知，整理得，曲線的方程為（2）點為圓心，∠，點到的距離，；（3）由題意可知：四點共圓且在以為直徑的圓上，(對角互補的四邊形的四頂點共圓)設，則圓心，半徑得即又在圓：上即

(直線是兩圓的公共弦所在直線，故兩圓方程相減便得其方程)由得，直線過定點.19．（12分）在如圖所示的五面體中，面是邊長為2的正方形，平面，，且，為的中點.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求點到平面的距離.【答案】(1)求證見解析(2)(3)【解析】（1）證明：因為平面，平面，所以，因為，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，因為面是邊長為2的正方形，，且，為的中點，所以，，，，，，，所以，因為平面的法向量可以為，所以，即，又平面，所以平面；（2）解：因為，，設平面的法向量為，則，令，則，所以，因為平面，，所以平面，因為平面，所以，因為，所以平面，所以平面的法向量可以為，設二面角為，由圖可知二面角為鈍角，則，所以二面角的余弦值為；（3）解：由（2）知平面的法向量為，又，設點到平面的距離為，則所以點到平面的距離；20．（12分）已知橢圓：的離心率為，橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合．(1)求橢圓的方程．(2)如圖，A，B是橢圓的左、右頂點，過點F且斜率不為0的直線交橢圓C于點M，N，直線AM與直線交于點P．記PA，PF，BN的斜率分別為，，，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2