工程電磁場高斯定律

工程電磁場高斯定律第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日一.導體的靜電平衡條件1.靜電平衡electrostaticequilibrium導體內部和表面無自由電荷的定向移動，說導體處于靜電平衡狀態(tài)。2.導體靜電平衡的條件

4.導體表面上的E必垂直于表面。

5.導體如帶電，電荷只能分布于其表面。

3.導體為一等位體，導體表面必為等位面。第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日導體靜電平衡時，導體各點電勢相等，即導體是等勢體，表面是等勢面。證：在導體上任取兩點和導體等勢是導體體內電場強度處處為零的必然結果靜電平衡條件的另一種表述第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日

二、電介質及其極化

polarization+-+-無外場時：有電場時:電偶極子排列的有序程度反映了介質被極化的程度,排列愈有序說明極化愈烈單個電偶極子電位：內多個電偶極子電位：1.極化介質所產生的電位第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日2.描述極化強弱的物理量--極化強度宏觀上無限小微觀上無限大的體積元定義單位每個分子的電偶極矩其中：

實驗結果表明，在各向同性、線性、均勻介質中

—電介質的極化率體積V內電偶極子產生的電位矢量恒等式：第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日3.極化強度與極化電荷的關系電荷守恒定律：電介質對電場的影響可歸結為極化化后極化電荷或電偶極子在真空中所產生的作用。極化電介質所產生的電位等于電荷面密度為的面積電荷與電荷體密度為的體積電荷共同產生的電位。第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日三、電通量(electricflux)藉助電力線認識電通量通過任一面的電力線條數(shù)勻強電場通過任意面積元的電通量通過任意曲面的電通量怎么計算？把曲面分成許多個面積元每一面元處視為勻強電場第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日通過閉合面的電通量討論正與負取決于面元的法線方向的選取如面元正方向向上知>0若如紅色虛線箭頭所示則<0S第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日規(guī)定：面元方向由閉合面內指向面外確定的值S>0<0電力線穿入電力線穿出第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日四、靜電場的高斯定理Gausstheorem在真空中的靜電場內，任一閉合面的電通量等于這閉合面所包圍的電量的代數(shù)和。除以第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日靜電平衡條件導體上電荷的分布由導體的靜電平衡條件和靜電場的基本性質，可以得出導體上的電荷分布。導體體內處處不帶電證明：在導體內任取體積元由高斯定理體積元任取證畢導體帶電只能在表面！第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日例1均勻帶電球面根據電荷分布的對稱性，選取合適的高斯面(閉合面)解:取過場點的以球心o為心的球面總電量為半徑為求：電場強度分布先從高斯定理等式的左方入手先計算高斯面的電通量第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日再根據高斯定理解方程過場點的高斯面內電量代數(shù)和?><><第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日如何理解面內場強為0?過P點作圓錐則在球面上截出兩電荷元在P點場強方向如圖在P點場強方向如圖第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日平面角：由一點發(fā)出的兩條射線之間的夾角單位：弧度補充：立體角的概念為半徑的弧長取一般的定義：射線長為線段元對某點所張的平面角第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日平面角立體角面元dS對某點所張的立體角：錐體的“頂角”單位球面度對比平面角，取半徑為球面面元定義式第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日弧度計算閉合曲面對面內一點所張的立體角球面度計算閉合平面曲線對曲線內一點所張的平面角平面第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日例2均勻帶電的無限長的直線線密度對稱性的分析取合適的高斯面計算電通量利用高斯定理解出第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日例3金屬導體靜電平衡時,體內場強處處為0求證:體內處處不帶電證明：在導體內任取體積元由高斯定理體積元任取證畢第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日解:真空中的高斯定律例4真空中無限大的帶電平面，面密度為，求距平面x處的電場強度。積分得：解得：第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日一般形式的高斯定理極化電荷證：已知真空中：已知：定義：得：第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日U

例1-7單心電纜如圖，內外導體之間介質有兩種，兩導體間電壓為U，求其電場分布。P17o解：在絕緣體中任意取一點P，到O點距離為ρ，過P點作同軸圓柱面，高為l，再在該面上下加兩個“蓋”，這樣就形成一個“高斯面S”,

由于上下“蓋”上沒有D垂直穿過，因此應用高斯定律：第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日分別分析各層絕緣體中的電場強度為：由于電壓為已知，可以由電壓的計算公式：從而消去τ：于是絕緣體中場強為：第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日通過兩個場強的公式發(fā)現(xiàn)：ρ

＝ρ1時，E1最大ρ

＝ρ2時，E2最大取ε1ρ

1＝ε2

ρ2時，E1＝E2且等于若單層絕緣的話，最大場強等于第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日解:真空中的高斯定律習題：真空中無限大的帶電平面，面密度為，求距平面x處的電場強度。P5，例1-2積分得：解得：第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日1-3基本方程、分界面上的銜接條件1.3.1基本方程(BasicEquation)靜電場是有源無旋場，靜止電荷是靜電場的源。BasicEquationandBoundaryCondition靜電場的基本方程為微分形式（旋度、散度）積分形式（環(huán)量、通量）構成方程第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日例1-9在真空中設半徑為a的球內分布著電荷體密度為的電荷，已知球內場強為式中A為常數(shù)，求及球外的電場強度。球坐標系下:代入得：解：（1）球內，

利用微分形式高斯定律：第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日（2）球外,利用積分形式的高斯公式得：第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日包圍點P作高斯面()。1.3.2分界面上的銜接條件（BoundaryCondition)1.D的銜接條件（通量條件）則有根據D

的法向分量不連續(xù)當時，D

的法向分量連續(xù)。介質分界面第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日圍繞點P作一矩形回路()。

E的切向分量連續(xù)。根據則有3.折射定理當交界面上時，折射定律

介質分界面2.E的銜接條件（環(huán)量條件）第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日4、的銜接條件設P1與P2位于分界面兩側，

因此電位連續(xù)得電位的法向導數(shù)不連續(xù)由，其中

電位的銜接條件第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日說明（1）導體表面是等位面，E線與導體表面垂直；

導體與電介質分界面

解:分界面銜接條件導體中E＝0，分解面介質側（2）導體表面上任一點的D

等于該點的。

試寫出導體與電介質分界面上的銜接條件。第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日解：忽略邊緣效應圖(a)圖(b)

例

試求兩個平行板電容器的電場強度。

平行板電容器第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日作業(yè)：P24：1-3-3P67：1-2P68:1-8(1)/(3)/(4)第三十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.4邊值問題、惟一性定理1.4.1泊松方程與拉普拉斯方程泊松方程—拉普拉斯算子拉普拉斯方程當r=0時第三十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日邊值問題微分方程邊界條件初始條件場域邊界條件分界面銜接條件

強制邊界條件有限值自然邊界條件有限值泊松方程拉普拉斯方程1.4.2邊值問題第三十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日場域邊界條件1）第一類邊界條件（狄里赫利條件)2）第二類邊界條件（諾依曼條件)3）第三類邊界條件已知邊界上電位及電位法向導數(shù)的線性組合已知邊界上導體的電位已知邊界上電位的法向導數(shù)(即電荷面密度或電力線)第三十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日例1-12試寫出長直同軸電纜中靜電場的邊值問題。

（陰影區(qū)域）圖纜心為正方