第二章 波函數(shù)與薛定諤方程

第二章波函數(shù)和薛定諤方程--量子力學(xué)的基本方程埃爾文·薛定諤沃納·海森堡23歲2.1薛定諤方程真空中自由傳播的電磁波滿足波動方程用算符表示有以下關(guān)系薛定諤方程非相對論量子力學(xué)的基本方程其分離變量函數(shù)形式的特解解方程E的物理意義就是能量2.2波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋電子源感光屏PPOQQO結(jié)論：衍射實驗所揭示的電子的波動性--許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此基礎(chǔ)上，Born提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。假設(shè)衍射波波幅用Ψ(r)描述，與光學(xué)相似，衍射花紋的強度用|Ψ(r)|2

描述，但意義與經(jīng)典波不同。據(jù)此，描寫粒子的波可以認為是幾率波，反映微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)Ψ(r)有時也稱為幾率幅。這就是首先由Born

提出的波函數(shù)的幾率解釋，它是量子力學(xué)的基本原理。|Ψ(r)|2

的意義是代表電子出現(xiàn)在r點附近幾率的大小，確切的說，|Ψ(r)|2ΔxΔyΔz表示在r點處，體積元ΔxΔyΔz中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點的強度（振幅的絕對值的平方）和在這點找到粒子的幾率成比例。波函數(shù)總結(jié)：（1）“微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)描述，描寫粒子的波是幾率波”，這是量子力學(xué)的一個基本假設(shè)（基本原理）。（2）波函數(shù)一般用復(fù)函數(shù)表示。（3）波函數(shù)一般滿足連續(xù)性、有限性、單值性。（4）這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)Ψ必須是絕對值平方可積的函數(shù)。波函數(shù)的性質(zhì)

1.幾率密度2.平方可積在t時刻r點，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是：ω(r,t)=dW(r,t)/dτ=C|Ψ(r,t)|2

在體積V內(nèi)，t時刻找到粒子的幾率為：W(t)=∫VdW=∫Vω(r,t)dτ=C∫V|Ψ(r,t)|2dτ

由于粒子存在空間中,在全空間找到粒子的幾率應(yīng)等于1，所以： ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=1,無窮大表示對整個空間積分3．波函數(shù)的歸一化條件在時刻，在空間任意兩點1和2處找到粒子的相對幾率是：考慮Schrodinger方程及其共軛式：取復(fù)共軛在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：閉區(qū)域τ上找到粒子的總幾率在單位時間內(nèi)的增量J是幾率流密度幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。令τ趨于∞，即讓積分對全空間進行，考慮到任何真實的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無窮遠處為零，則式右面積分趨于零，于是

其微分形式與流體力學(xué)中連續(xù)性方程的形式相同S2.3定態(tài)（具有確定能量值的狀態(tài)）分離時空變量如果波函數(shù)滿足歸一化條件關(guān)于連續(xù)性在V(x)取有限值的區(qū)域內(nèi)，ψ及ψ’均為連續(xù)函數(shù)，并取有限值V(x)->∞處ψ(x)->0，ψ’有可能不連續(xù)V(x)->-∞處ψ有可能趨于∞，ψ’有可能不連續(xù)關(guān)于定態(tài)薛定諤方程的定理如果ψ=u+iv(u,v為實函數(shù)）是對應(yīng)于某個特征值E的解，則其實部和虛部都是方程的解。對于一維薛定諤方程，如果ψ1和ψ2是某個能量特征值E的兩個線性獨立解，則

ψ1ψ2’

-ψ2ψ1’

=C（常數(shù)）對于一維薛定諤方程，與任何一個能量特征值相應(yīng)的線性獨立解最多有兩個，即每個能級最多有兩個簡并態(tài)。關(guān)于定態(tài)薛定諤方程的定理對于一維束縛態(tài)，所有能級都是非簡并的，波函數(shù)為實函數(shù)。對于一維束縛定態(tài)，如果V(x)為偶宇稱，則每一個ψE(x)都有明確的宇稱性。例1粒子的一維自由運動。2.4一維平底勢阱中的粒子1、無限深平底勢阱勢場在勢阱內(nèi)（），滿足的薛定諤方程為:V趨向于無窮大，根據(jù)波函數(shù)滿足的連續(xù)性和有限性條件，只有當波函數(shù)為零時才成立，所以有：在勢阱內(nèi)（），滿足的薛定諤方程為:

它的通解是：

邊界條件偶宇稱態(tài)A和B不能同時為零,否則波函數(shù)為零,這在物理上是沒有意義的。波函數(shù)為：能量為：奇宇稱態(tài)圖示2、有限深平底勢阱-aaV=0V=0V=-V0在勢阱外（），滿足的薛定諤方程為:在勢阱內(nèi)（），滿足的薛定諤方程為:

束縛態(tài)（-V0<E<0)在勢阱外（），滿足的薛定諤方程為:束縛態(tài)的由來偶宇稱態(tài)奇宇稱態(tài)？？？3、δ勢阱對有限深方勢阱，如果V0->∞,a->0,同時保持γ=2V0a為有限值，就得到一個δ勢阱Hamilton量：定態(tài)Schr?dinger方程：

2.5一維諧振子同時令：

為待定常數(shù)引入無量綱變量當時，方程的漸近形式為：

當很大時，和相比可以略去，因而在時，上面方程的解可寫為：

代入方程可得滿足的微分方程

可得厄密方程本征值問題的本征值：例如由歸一化條件求得歸一化常數(shù)為：能量本征函數(shù)歸一化后的本征函數(shù)為：本征函數(shù)幾率密度n=10時諧振子的幾率密度例質(zhì)量m，電荷q的粒子，受到彈性力(-kx)和均勻電場的共同作用，勢能可以表示為求定態(tài)能級和波函數(shù)2.6勢壘貫穿薛定諤方程為:V0>E經(jīng)典力學(xué)解答粒子不能越過勢壘，將在1|2壁處反彈量子力學(xué)解答粒子有一定概率貫穿設(shè)粒子從左側(cè)入射入射波、透射波和反射波的流量：

根據(jù)波函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）連續(xù)可以得到系數(shù)之間的關(guān)系例計算勢壘穿透系數(shù)宏觀情形微觀情形結(jié)論：微觀領(lǐng)域勢壘貫穿現(xiàn)象容易發(fā)生E>V0反射系數(shù)和透射系數(shù)量級大致相同，透射容易發(fā)生特殊情況—共振透射：|D/A|2=12a/λ=1,2,3…λ為物質(zhì)的波波長任意形狀的勢壘

對于任意形狀的勢壘V（x),我們可以把這個勢壘看作是許多方形勢壘組成的，每個方形勢壘寬為dx,高為V(x)。能量為E的粒子在x=