第4章2 氣體動(dòng)理論

2023年2月3日1第4章氣體動(dòng)理論2023年2月3日24.2

能均分定理理想氣體的熱力學(xué)能4.2.1

自由度4.2.2

能量按自由度均分定理

4.2.4

例題分析4.2.3

理想氣體的熱力學(xué)能

2023年2月3日3火車：被限制在一曲線上運(yùn)動(dòng)，自由度為1；飛機(jī)：自由度為3（經(jīng)度、緯度、高度）輪船：被限制在一曲面上運(yùn)動(dòng)，自由度為2（經(jīng)度、緯度）自由度：確定一個(gè)物體的空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。4.2.1自由度2023年2月3日4雙原子分子剛性分子:分子內(nèi)原子間距離保持不變，即不考慮不考慮振動(dòng)自由度．單原子分子平動(dòng)自由度t=3平動(dòng)自由度t=3轉(zhuǎn)動(dòng)自由度r=21剛性分子的自由度2023年2月3日5三原子分子平動(dòng)自由度t=3轉(zhuǎn)動(dòng)自由度r=3理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是單原子分子2023年2月3日6推廣

氣體分子沿x,y,z

三個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能完全相等，可以認(rèn)為分子的平均平動(dòng)動(dòng)能均勻分配在每個(gè)平動(dòng)自由度上。—能量按自由度均分定理

在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子每個(gè)自由度的平均動(dòng)能都等于4.2.2能量按自由度均分定理2023年2月3日72能量均分定理（玻爾茲曼假設(shè)）

氣體處于平衡態(tài)時(shí)，分子任何一個(gè)自由度的平均能量都相等，均為，這就是能量按自由度均分定理.

分子的平均能量單原子分子

303雙原子分子325多原子分子336剛性分子能量自由度分子自由度t平動(dòng)r轉(zhuǎn)動(dòng)i總2023年2月3日8

2、能量均分定理是對(duì)大量分子統(tǒng)計(jì)平均所得的結(jié)果。對(duì)于單個(gè)分子，它在任一時(shí)刻的各種形式的動(dòng)能以及總動(dòng)能都不一定和按能量均分定理所確定的平均值相等，甚至相差很大，且每一種形式的動(dòng)能也不一定按自由度均分。1、結(jié)構(gòu)不同的分子其平動(dòng)自由度都是3，溫度相同時(shí)，其平均平動(dòng)能相同。所以溫度是作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的大量分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度。3、只有在平衡態(tài)下才能應(yīng)用能量均分定理,非平衡態(tài)不能應(yīng)用能量均分定理。4、能量均分定理不僅適用于理想氣體也可用于液體和固體。說明2023年2月3日94.2.3理想氣體的熱力學(xué)能氣體的熱力學(xué)能是指它所包含的所有分子的動(dòng)能和分子間因相互作用而具有的勢(shì)能的總和．１．定義對(duì)于理想氣體，由于分子間的相互作用力可以忽略不計(jì)，所以，其熱力學(xué)能就是它的所有分子的動(dòng)能之和．設(shè)某種氣體分子的自由度為i，則一個(gè)分子的平均動(dòng)能為

２．理想氣體的熱力學(xué)能2023年2月3日10內(nèi)能僅與溫度有關(guān)，當(dāng)溫度一定時(shí)，與壓強(qiáng)和體積無關(guān)。溫度改變量為△T，則內(nèi)能改變量為內(nèi)能為溫度的單值函數(shù)

質(zhì)量為M，摩爾質(zhì)量為

的理想氣體的熱力學(xué)能為一摩爾理想氣體的熱力學(xué)能為M質(zhì)量理想氣體的內(nèi)能為2023年2月3日11結(jié)論１．一定質(zhì)量的某種理想氣體的熱力學(xué)能完全決定于氣體的熱力學(xué)溫度T，與氣體的壓強(qiáng)和體積無關(guān)．２．一定質(zhì)量的理想氣體在不同的狀態(tài)變化過程中，只要溫度的變化量相等，那么它的熱力學(xué)能的變化量也相同，而與過程無關(guān)．熱力學(xué)能和機(jī)械能的區(qū)別１．物體的機(jī)械能的大小與參照系及勢(shì)能零點(diǎn)的選擇有關(guān)，可以為零；２．物體內(nèi)部的分子永遠(yuǎn)處于運(yùn)動(dòng)中，其熱力學(xué)能永遠(yuǎn)不等于零．2023年2月3日124.2.4

例題分析1.一容器被中間的隔板分成相等的兩半.一半裝有氦氣，溫度為250K；另一半裝有氧氣，溫度為310K.二者壓強(qiáng)相等.求去掉隔板后兩種氣體混合后的溫度.解

設(shè)混合后溫度為T

，則總能量為：2023年2月3日13聯(lián)立求解可得因?yàn)榛旌线^程很快，所以混合過程中能量守恒，即E=E1+E22023年2月3日14體積為V=1.2010-2m3的容器中儲(chǔ)有氧氣,

其壓強(qiáng)p=8.31105Pa,溫度T=300K，求:（1）單位體積中的分子數(shù);（2）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能；（3）氣體的熱力學(xué)能.解（1）單位體積中的分子數(shù)為（2）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為2023年2月3日15（3）設(shè)氣體的熱力學(xué)能為E

2023年2月3日16（4—13）儲(chǔ)有氧氣（處于標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)）的容器以速率v=100m·s-1作定向運(yùn)動(dòng),當(dāng)容器突然停止運(yùn)動(dòng)時(shí),全部定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能都變?yōu)闅怏w分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能,此時(shí)氣體的溫度和壓強(qiáng)為多少？解對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)有：2023年2月3日174.3

麥克斯韋速率分布律4.3.1

麥克斯韋速率分布律4.3.2

最概然速率平均速率和方均根速率

4.3.4例題分析2023年2月3日184.3.1麥克斯韋速率分布律對(duì)于單個(gè)分子而言，其運(yùn)動(dòng)方向，大小都具有偶然性；對(duì)于大量分子而言其速率的分布卻有其規(guī)律性；偶然性規(guī)律性１．定義1859年，麥克斯韋從理論上導(dǎo)出了氣體分子的速率分布規(guī)律，——麥克斯韋速率分布律．2023年2月3日19２．研究方法把速率分成若干相等的區(qū)間，然后求出各區(qū)間的分子數(shù)是多少，即在v—v+dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)dN是多少，或者dN占分子總數(shù)N的百分比dN/N是多少．：分子總數(shù)2023年2月3日20速率分布函數(shù)表示速率在區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.

f(v)表示在溫度為T的平衡狀態(tài)下，速率在v附近單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比。物理意義圖中小矩形面積或：表示氣體中任一分子具有的速率在區(qū)間的概率速率分布曲線2023年2月3日21圖中小矩形面積速率在區(qū)間的分子數(shù)占分子總數(shù)的百分比為速率分布曲線它對(duì)應(yīng)于曲線下陰影部分的面積此式的物理意義是所有速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)百分比之和應(yīng)等于1。或：任一分子可能出現(xiàn)在0∞速率區(qū)間的概率為1。

歸一化條件2023年2月3日22物理意義麥克斯韋速率分布律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

反映理想氣體在熱動(dòng)平衡條件下，各速率區(qū)間分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比的規(guī)律.φωωL金屬蒸汽方向選擇速率選擇器屏vv=Lω/φt1=L/v,t2=φ/ω令t1=t2得：通過改變?chǔ)乜色@得不同速率區(qū)間的分子。只有滿足此條件的分子才能同時(shí)通過兩縫。分子速率分布的測(cè)定—斯特恩實(shí)驗(yàn)分子實(shí)速驗(yàn)率數(shù)分據(jù)布的100~200200~300300~400400~500500~600600~700700~800800~900900100＜＞20.6%1.4%8.1%16.5%21.4%15.1%9.2%4.8%2.0%0.9%速率區(qū)間百分?jǐn)?shù)(m/s)

1859年麥克斯韋從理論上得到速率分布定律。

1920年斯特恩從實(shí)驗(yàn)上證實(shí)了速率分布定律。2023年2月3日25

定義速率分布曲線上，速率分布函數(shù)f(v)的最大值對(duì)應(yīng)的速率叫做最概然速率．1最概然速率4.3.2最概然速率平均速率和方均根速率根據(jù)分布函數(shù)求得：2023年2月3日26所以

即

物理意義

單位速率間隔比較，它表示在最概然速率附近的單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比最大．或者說：單個(gè)分子速率為最概然速率的幾率最大。2023年2月3日272．平均速率

定義氣體分子速率的算術(shù)平均值叫做氣體分子的平均速率．2023年2月3日283方均根速率

定義氣體分子速率平方的平均值叫做氣體分子的方均根速率．29可以看出：同種氣體，哪個(gè)曲線代表溫度高的平衡態(tài)？同一溫度下的速率函數(shù)，哪個(gè)曲線代表氧氣，哪個(gè)是氫氣？2023年2月3日30表示速率在va

vb

之間的速率總和。(1)例：試說明下列各表達(dá)式的物理意義。表示速率在vv+dv

之間的粒子數(shù)。(2)表示速率在vavb

之間的粒子數(shù)。(3)2023年2月3日31

例：用總分子數(shù)N，氣體分子速率v

和速率分布函數(shù)f(v)

來表示下列各物理量。(1)速率大于vo

的分子數(shù)(2)速率大于vo

的那些分子的平均速率(3)單個(gè)分子其速率大于

vo

的概率2023年2月3日324-18、已知f(v)是氣體分子的速率分布函數(shù)，n代表單位體積中的分子數(shù)，N代表分子總數(shù)。試說明以下各式的物理意義。表示速率在vv+dv

之間的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的比例。表示速率在vv+dv

之間的粒子數(shù)。表示單位體積內(nèi)，速率在vv+dv

之間的粒子數(shù)。——表示速率在0

vp

速率區(qū)間內(nèi)的粒子數(shù)占

總粒子數(shù)的比例。——表示所有粒子的平均速率。——表示所有粒子的速率平方的平均。速率分布函數(shù)f(v)的物理意義為：（A）具有速率v的分子占總分子數(shù)的百分比。（B）速率分布在v附加的單位速率間隔中的分子數(shù)占總分

子數(shù)的百分比。（C）具有速率v的分字?jǐn)?shù)。（D）速率分布在v附加的單位速率間隔中的分子數(shù)2023年2月3日33選擇題（本題3分）2023年2月3日344.3.4例題分析(略)1.有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為：（1）作出速率分布曲線并求出常數(shù)a

；（2）分別求速率大于v0和小于v0的粒子數(shù)；（3）求粒子的平均速率.2023年2月3日35解（1）作出速率分布曲線如圖所示.根據(jù)速率分布函數(shù)的歸一化條件，有2023年2月3日36（2）速率大于v0的粒子數(shù)為速率小于v0的粒子數(shù)為（3）粒子的平均速率為2023年2月3日372(略).在300K時(shí)，空氣中速率在（1）vp附近（2）10vp附近單位速率區(qū)間（v=1m·s-1）內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的百分比各是多少？平均來講105mol的空氣中這區(qū)間的分子數(shù)又各是多少？（已知空氣的摩爾質(zhì)量約為2910-3kg·mol-1）.解：麥克斯韋速率分布為當(dāng)T=300K時(shí)，對(duì)空氣分子有2023年2月3日38（1）v=vp附近單位速率區(qū)間（v=1m·s-1）內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的百分比為（2）v=10vp附近單位速率區(qū)間（v=1m·s-1）內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的百分比為2023年2月3日39105mol的空氣中的總分子數(shù)為在v=vp附近單位速率區(qū)間（v=1m·s-1）內(nèi)的分子數(shù)總數(shù)為在v=10vp附近單位速率區(qū)間（