第八章剛體的基本運(yùn)動(dòng)

第八章剛體的基本運(yùn)動(dòng)§8－1剛體的平行移動(dòng)

§8－2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

§8－3轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度與加速度

§8－4繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的傳動(dòng)問(wèn)題

§8－5角速度及角加速度的矢量表示·

以矢積形式表示轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)點(diǎn)的速度和加速度1第一節(jié)剛體的平行移動(dòng)1.定義剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，剛體內(nèi)任意一直線(xiàn)始終與其原來(lái)位置保持平行，則稱(chēng)剛體作平行移動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)平動(dòng)。直線(xiàn)平動(dòng)——平動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的軌跡為直線(xiàn)曲線(xiàn)平動(dòng)——平動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)22.定理剛體平動(dòng)時(shí)，體內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡形狀均相同，且在同一瞬時(shí)體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度均相同。剛體平動(dòng)的問(wèn)題可歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題來(lái)處理。結(jié)論:3蕩木用兩條等長(zhǎng)的鋼索平行吊起，如圖所示。鋼索長(zhǎng)為l，長(zhǎng)度單位為m。當(dāng)蕩木擺動(dòng)時(shí)鋼索的擺動(dòng)規(guī)律為，其中t為時(shí)間，單位為s；轉(zhuǎn)角φ0的單位為rad，試求當(dāng)t=0和t=2s時(shí)，蕩木的中點(diǎn)M的速度和加速度。例題1

剛體的基本運(yùn)動(dòng)

例題OABO1O2φl(shuí)l（+）M4

O1A=O2B=l

O1A

O2BAB

O1O2

蕩木作平行移動(dòng)

vM=vA

=vB，aM=aA

=aB又點(diǎn)A在半徑為l的圓弧上運(yùn)動(dòng)。如以最低點(diǎn)O為起點(diǎn)，規(guī)定弧坐標(biāo)s向右為正，則A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為解：例題1

剛體的基本運(yùn)動(dòng)

例題OABO1O2φl(shuí)l（+）M對(duì)蕩木作運(yùn)動(dòng)分析5例題1

剛體的基本運(yùn)動(dòng)

例題OABO1O2φl(shuí)l（+）M代入t=0和t=2，就可求得這兩瞬時(shí)A點(diǎn)的速度和加速度，亦即點(diǎn)M在這兩瞬時(shí)的速度和加速度。計(jì)算結(jié)果列表如下：t(s)φ(rad)φ0002v(m/s)(水平向右)000at(m/s2)an(m/s2)(鉛直向上)6第二節(jié)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)1.定義剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，體內(nèi)有一條直線(xiàn)保持不動(dòng)，而整個(gè)剛體繞此直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)，則稱(chēng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。不動(dòng)直線(xiàn)稱(chēng)為轉(zhuǎn)軸（軸線(xiàn)、軸）不在轉(zhuǎn)軸上的點(diǎn)各以此軸一點(diǎn)為圓心而在垂直于此軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)72.運(yùn)動(dòng)方程(轉(zhuǎn)動(dòng)方程)轉(zhuǎn)角的正負(fù)由右手螺旋法則確定。即從Oz軸正端俯視，自固定平面N0至動(dòng)平面N，若是逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則角為正值，反之，則角為負(fù)值。=

（t）單位：弧度（rad）3.角速度定義：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度等于轉(zhuǎn)角對(duì)時(shí)間的一次導(dǎo)數(shù)。物理意義：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢和方向。單位：弧度/秒（rad/s）與轉(zhuǎn)速的關(guān)系：=n/30轉(zhuǎn)速n的單位:r/min84.角加速度物理意義：說(shuō)明了角速度變化的快慢如、同號(hào)剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)如、異號(hào)剛體作減速轉(zhuǎn)動(dòng)單位：弧度/秒2（rad/s2）定義：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度等于角速度對(duì)時(shí)間的一次導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)角對(duì)時(shí)間的二次導(dǎo)數(shù)=

k=

k角速度矢量95.幾種特殊運(yùn)動(dòng)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)10導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)如圖所示。已知曲柄OA以勻角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)方程φ=ωt，通過(guò)滑塊帶動(dòng)搖桿O1B繞O1軸擺動(dòng)。設(shè)OA=r，OO1=l=2r，求搖桿O1B的轉(zhuǎn)動(dòng)方程。假設(shè)任意時(shí)刻，機(jī)構(gòu)處于圖示位置，由幾何關(guān)系可知：

解：例題2

剛體的基本運(yùn)動(dòng)

例題11第三節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度1.運(yùn)動(dòng)方程S=R

2.點(diǎn)的速度大小:

v=R轉(zhuǎn)動(dòng)半徑與剛體角速度的乘積方向：沿著軌跡的切線(xiàn)方向(即與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑R垂直)，指向與一致123.點(diǎn)的加速度

切向加速度 大?。篴=R轉(zhuǎn)動(dòng)半徑與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度的乘積 方向：沿著軌跡的切線(xiàn)方向，指向與一致法向加速度 大?。篴n=R2 方向：指向轉(zhuǎn)軸(即圓心)點(diǎn)M全加速度的大小

點(diǎn)M全加速度的方向參見(jiàn)動(dòng)畫(huà)：轉(zhuǎn)動(dòng)加速度分布134.結(jié)論：在每一瞬時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度和加速度的大小與到轉(zhuǎn)軸的距離成正比;在每一瞬時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的加速度與半徑（主法線(xiàn)）間的夾角相同。14平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的速度15已知如圖所示的擺繞固定水平軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)方程是，式中表示擺對(duì)鉛直線(xiàn)的偏角，為最大偏角；T表示擺的周期。已知擺的重心C到軸O的距離為l，試求在初瞬時(shí)和經(jīng)過(guò)平衡位置(φ=0)時(shí)重心的速度和加速度。CC0lC1Oφ0φ例題3

剛體的基本運(yùn)動(dòng)

例題16CC0lC1Oφ0φ將轉(zhuǎn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得擺的角速度和角加速度

以t=0代入上式，得擺在初瞬時(shí)的角速度和角加速度此時(shí)重心C0的速度和加速度分別為此瞬時(shí)C0點(diǎn)的總加速度a0等于切向加速度，方向指向角φ減小的一邊。a0解：例題3

剛體的基本運(yùn)動(dòng)

例題17CC0lC1Oφ0φ此時(shí)重心C1的速度和加速度分別為此瞬時(shí)C0點(diǎn)的總加速度a1等于法向加速度方向指向轉(zhuǎn)軸O。得擺在初瞬時(shí)的角速度和角加速度經(jīng)過(guò)平衡位置φ=0的瞬時(shí)，即或av1a1=a1n因而代入例題3

剛體的基本運(yùn)動(dòng)

例題18sBAOMvR半徑R=20cm的滑輪可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，輪緣上繞有不能伸長(zhǎng)的細(xì)繩，繩的一端與滑輪固連，另一端則系有重物A，設(shè)物體A從位置B出發(fā)，以勻加速度a=4.9

m/s2向下降落，初速v0=4m/s，求當(dāng)物體落下距離s=2m時(shí)輪緣上一點(diǎn)M

的速度和加速度。例題4

剛體的基本運(yùn)動(dòng)

例題19根據(jù)v2–v02=2as，得M點(diǎn)的速度M點(diǎn)的法向加速度M點(diǎn)的切向加速度

M點(diǎn)的總加速度解:sBAOMvR例題4

剛體的基本運(yùn)動(dòng)

例題sBAOMvR20機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)要求一定的轉(zhuǎn)速,而電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速則是一定的.這就需要變速,把電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速提高或傳遞,使它符合要求.變速常通過(guò)一系列相互嚙合的齒輪或皮帶傳動(dòng),摩擦輪傳動(dòng)來(lái)完成.幾個(gè)輪子的組合稱(chēng)為輪系.以一對(duì)嚙合輪為例：I輪:II輪:又,§8－4繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的傳動(dòng)問(wèn)題21傳動(dòng)比傳動(dòng)比第一主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速(輸入角速度)與最末從動(dòng)輪轉(zhuǎn)速(輸出角速度)的比.由于相互嚙合的兩齒輪,其齒距必須相等,故半徑與齒輪的齒數(shù)Z必成正比.故:式中分別為I,II輪的齒數(shù).22如圖a，b分別表示一對(duì)外嚙合和內(nèi)嚙合的圓柱齒輪。已知齒輪Ⅰ的角速度是ω1

，角加速度是α1，試求齒輪Ⅱ的角速度ω2和角加速度α2，齒輪Ⅰ和Ⅱ的節(jié)圓半徑分別是R1和R2，齒數(shù)分別是z1和z2。ⅠⅡO1O2ⅠⅡO1O2（a）（b）例題6

剛體的基本運(yùn)動(dòng)

例題23ⅠⅡO1O2ⅠⅡO1O2（a）（b）例題6

剛體的基本運(yùn)動(dòng)

例題設(shè)A，B是齒輪Ⅰ，Ⅱ節(jié)圓上相嚙合的點(diǎn)。解：vAvBABvAvBABα1α2ω2ω1ω1ω2但故得轉(zhuǎn)向分別如圖所示。傳動(dòng)比24§8-5以矢量表示角速度和角加速度以矢積表示轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)點(diǎn)的速度和加速度1角