第16節(jié)歐拉方法

第六章微分方程的初值問題第一節(jié)歐拉方法微分方程（組）線性微分方程的通解常系數(shù)線性微分方程的通解微分方程的初值問題與邊值問題一階微分方程的解一階微分方程的解一階微分方程的解一階微分方程的解歐拉方法也叫做：左矩形數(shù)值求積公式建立Euler法

歐拉方法也叫做：右矩形數(shù)值求積公式建立Euler法

歐拉方法歐拉方法的誤差歐拉方法誤差隨著迭代次數(shù)的增加而增加。歐拉方法的誤差clearallcloseallclc

xeu(1)=-3;N=5;foriii=2:6xeu(iii)=xeu(iii-1)+(iii-2+xeu(iii-1)/5);end

tt=0:0.01:5;%figureholdonplot(tt,22*exp(tt/5)-5*tt-25)plot(0:5,xeu)歐拉方法的誤差

由于單步誤差在迭代過程中產(chǎn)生積累，從而產(chǎn)生的誤差為積累誤差。歐拉方法的局部誤差前向歐拉方法具有一階精度；同樣可以證明，后向歐拉方法具有一階精度。歐拉方法的收斂性

歐拉方法收斂性分析迭代法與真實(shí)解變化趨勢(shì)的差異。歐拉方法步長(zhǎng)與收斂性步長(zhǎng)h=1/7步長(zhǎng)h=1/10真實(shí)值步長(zhǎng)選擇不同導(dǎo)致數(shù)值方法的收斂性不同當(dāng)h->+0時(shí)，歐拉方法的誤差->0歐拉方法的穩(wěn)定性

歐拉方法穩(wěn)定性分析微小誤差在迭代過程中積累的情況。

分析后向歐拉方法的誤差，梯形公式幾何意義：是歐拉折線法與后向歐拉法的算術(shù)平均。精度高于前向/后向歐拉算法。改進(jìn)型歐拉方法

梯形公式雖然提高了精度，但仍是隱式方法，算法復(fù)雜，運(yùn)算量大。而在實(shí)際計(jì)算中只迭代一次，這樣建立的預(yù)測(cè)—校正系統(tǒng)稱作改進(jìn)的歐拉公式。先用歐拉折線法得到初步近似值，再用梯形公式校正。改進(jìn)型歐拉方法改進(jìn)型歐拉方法clearallcloseallclc

xmeu(1)=-3;N=5;foriii=2:6xmeu(iii)=xmeu(iii-1)+(iii-2+xmeu(iii-1)/5);tmp=xmeu(iii-1)+(iii-1+xmeu(iii)/5);xmeu(iii)=(xmeu(iii)+tmp)/2;end

tt=0:0.01:5;%figureholdonplot(tt,22*exp(tt/5)-5*tt-25)plot(0:5,xmeu)歐拉方法分析微分方程歐拉方法精度低，不適于數(shù)值計(jì)算應(yīng)用。當(dāng)步長(zhǎng)h->0+時(shí)，歐拉方法的解逼近與微分方程的解。因此，歐拉方法作為一種思考方法，在分析微分方程中具有重要意義。一階微分方程解的良態(tài)性歐拉方法分析微分方程分析思路：迭代法關(guān)系歐拉方法分析微分方程不動(dòng)點(diǎn)clearallcloseallclc

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bb=[0.5,1.5-0.01,1.5,-0.5+0.01,1.5+0.01,2.5,-0.5-0.01,-0.5]*pix=1:10000;x=x*0.001;forkkk=1:10y(1)=bb(kkk);foriii=2:10000y(iii)=y(iii-1)+0.001*cos(y(iii-1));endplot(x,y/pi)end微分方程與迭代法求解方程關(guān)系Matlab中的微分方程函數(shù)顯式微分方程求解函數(shù):ode45,od