第三章平面任意力系

第三章平面任意力系

作用線(xiàn)位于同一平面內(nèi)而任意分布的一群力構(gòu)成的力系稱(chēng)為平面任意力系.平面任意力系是工程上最常見(jiàn)的一種力系,很多工程實(shí)際問(wèn)題都可以簡(jiǎn)化成平面任意力系來(lái)處理.§3–1平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化力的平移定理:

作用在剛體上的某點(diǎn)A的力F可以平行移動(dòng)到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)B,但必須同時(shí)附加一力偶,這個(gè)附加力偶的力偶矩等于原來(lái)的力F對(duì)新作用點(diǎn)B的矩.注意:上述力的平移目的是,平移前后對(duì)剛體的作用等效我們還可以這樣敘述力的平移定理:

作用在剛體上某點(diǎn)A的力F,可以等效于作用在B點(diǎn)的同樣大小和方向的力F'以及一力偶,此力偶的力偶矩等于作用在A(yíng)點(diǎn)的力對(duì)B點(diǎn)的矩.簡(jiǎn)言之,在剛體上力的平行移動(dòng)中‘力’‘力+力偶’下面通過(guò)靜力學(xué)公理和力偶的定義用圖示法來(lái)證明:ABABMABd加任意一對(duì)平衡力力偶的定義減任意一對(duì)平衡力力偶的性質(zhì)由上可知,力的平移定理的逆定理也成立的.ABdABABABABd2.平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化主矢和主矩主矢:力系所有各力的矢量和.記為主矩:力系所有各力對(duì)某點(diǎn)O力矩的矢量和.記為OOO諸力向O點(diǎn)平移兩個(gè)簡(jiǎn)單力系的合成平面任意力系向作用面內(nèi)的任意一點(diǎn)O簡(jiǎn)化可得一力和一力偶.這一力等于原力系的主矢,這一力偶的力偶矩等于原力系對(duì)O點(diǎn)的主矩.OOxy為與x軸所夾銳角.

平面任意力系向任意一點(diǎn)O簡(jiǎn)化,可得一力和一力偶,這個(gè)力的大小和方向等于原力系的主矢,(即力系各力的矢量和)作用線(xiàn)過(guò)簡(jiǎn)化中心O.這個(gè)力偶的力偶矩等于原力系對(duì)O點(diǎn)的主矩(即力系各力對(duì)O點(diǎn)的力矩的代數(shù)和).鑒于書(shū)上對(duì)力系簡(jiǎn)化理論的敘述方式,為消除某些模糊概念,有必要對(duì)和含意的二重性予以說(shuō)明.就一次具體的向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果而言:是過(guò)O點(diǎn)的力.是向O點(diǎn)簡(jiǎn)化而得到的附加力偶.就力系向任意一點(diǎn)O簡(jiǎn)化結(jié)果的度量而言:代表力系的主矢.代表力系對(duì)任意一點(diǎn)O的主矩.例一.某平面任意力系如圖示分布.已知P1=450kN,P2=200kN,F1=300kN,F2=70kN.求合力的大小和方向,以及合力作用線(xiàn)方程.(參見(jiàn)書(shū)上例3–1P45)xyAOBC3m3m9m5.7m3.9m1.5m解:先將力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化xyCABO合力的作用線(xiàn)方程:原力系對(duì)O點(diǎn)的主矩表達(dá)式為xyO由力的平移定理的逆定理,可將圖示的力和力偶進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一個(gè)力.力為原力系的合力上式也自然得出合力矩定理設(shè)合力的作用線(xiàn)過(guò)A點(diǎn),則上式在圖示坐標(biāo)系下的解析表達(dá)式為:dA所以,合力作用線(xiàn)方程為.注意:上式中每一個(gè)量都是代數(shù)量,本身含正副號(hào).將前面的簡(jiǎn)化結(jié)果帶入上式:xyBOAC3m3.514m★固定端約束及其約束反力:ABABABABAB§3–2平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的理論分析任何平面力系都有兩個(gè)基本的特征量,這就是力系的主矢量和力系對(duì)某一點(diǎn)O

的主矩,這兩個(gè)特征量可完整地描述此力系對(duì)剛體的作用.原力系是一力偶系,可簡(jiǎn)化為一力偶原力系可簡(jiǎn)化為O點(diǎn)的合力.原力系最終可簡(jiǎn)化為過(guò)某O點(diǎn)的合力.OOOO'原力系為平衡力系.由上面的分析,我們可得到如下的結(jié)論:

平面任意力系如果不平衡,則最終的簡(jiǎn)化結(jié)果或是一個(gè)力,或是一個(gè)力偶.這種結(jié)果說(shuō)明原力系的主矢和對(duì)任意一點(diǎn)的主矩至少有一個(gè)不為零.由此,便得到平面任意力系平衡的充分和必要條件.▲平面任意力系平衡的充分和必要條件是:力系的主矢和對(duì)任意一點(diǎn)的主矩都等于零.在直角坐標(biāo)系下,有:§3–3平面任意力系平衡方程式的應(yīng)用.例一.(書(shū)上p23例2–1)圖示由兩桿組成的三角架受力如圖示.已知C為AB桿的中點(diǎn),力P=10kN,桿重不計(jì).

求A端的支反力和DC桿所受到的力.ABCACBD45o例一.(書(shū)上p23例2–1)圖示由兩桿組成的三角架受力如圖示.已知C為AB桿的中點(diǎn),力P=10kN,桿重不計(jì).求A端的支反力和DC桿所受到的力.解:取AB桿為研究對(duì)象.(畫(huà)受力圖)45ollxyA端受水平力為20kN,鉛垂力為10kN.方向均與圖示相反.DC桿為二力桿,受壓力,大小為28.28kN.qABM4a2a例二:(書(shū)上p47例3–3)已知簡(jiǎn)支梁均質(zhì),自重為P.梁的AC段承受均布載荷為q,力偶M=Pa,梁長(zhǎng)為4a.求A,B處的約束反力.xy解:取整體分析例三.(書(shū)上p48例3–4自重為P=100kN的T字形剛架ABD,置于鉛垂面內(nèi),

載荷如圖示.其中M=20kN.m,F=400kN,q=20kN/m,l=1m.

試求固定端A的約束反力.解:為便于計(jì)算,先將線(xiàn)性分布載荷等效簡(jiǎn)化為一合力.合力的大小就是載荷面積合力的作用點(diǎn)可由合力矩定理求得.ll3l30oABDqC于是,T形剛架的受力情況如后面之圖所示.dll3l30oABD2lCll3l30oABD2lCxy平面上,對(duì)同一個(gè)平衡的研究對(duì)象,運(yùn)用的平衡方程的個(gè)數(shù)不能超過(guò)3個(gè),但是方程的形式可以有一些變化.解法2:ll3l30oABD2lC解法3

從上一例我們可知,平面任意力系的平衡方程組可以有若干種形式.實(shí)際上,就是我們上面用的三種形式.

解法1用的是平衡方程的基本形式,是由平衡的充要條件直接得到的,稱(chēng)為兩投影一矩式.

解法2用的是兩矩一投影式.解法3用的是三矩式方程.兩投影一矩式兩矩一投影式三矩式方程限制條件:AB連線(xiàn)不能與x軸垂直.限制條件:A,B,C三點(diǎn)不能共線(xiàn).

從前面平面任意力系的簡(jiǎn)化理論我們已經(jīng)知道,平面力系最終的簡(jiǎn)化結(jié)果只有三種情況:一個(gè)力,或一個(gè)力偶,或平衡.對(duì)于兩投影一矩式原力系不可能簡(jiǎn)化為一力.原力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶.所以,原力系是平衡力系.對(duì)于兩矩一投影式原力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶.只能平衡,或?yàn)檫^(guò)AB連線(xiàn)的力當(dāng)x軸不與AB連線(xiàn)垂直,表明過(guò)AB連線(xiàn)的力不存在.所以,當(dāng)x軸不與AB連線(xiàn)垂直,原力系是平衡力系.對(duì)于三矩式方程原力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶.只能平衡,或?yàn)檫^(guò)AB連線(xiàn)的力當(dāng)C點(diǎn)不過(guò)AB連線(xiàn),表明過(guò)AB連線(xiàn)的力不存在.所以,當(dāng)A,B,C三點(diǎn)不共線(xiàn),原力系是平衡力系.★平面平行力系的平衡方程:xyO自然滿(mǎn)足(不平衡也成立)還有兩矩式方程A,B連線(xiàn)不與力的方向平行.ABCaaa60o例四.邊長(zhǎng)為a的均質(zhì)等邊三角形平板ABC在鉛垂面內(nèi)用三根無(wú)重連桿鉸接,

如圖所示.BC邊水平,三角形板自重為P,一力偶其矩為M作用在三角板上.

求:三桿對(duì)平板的約束力.解:取三角板分析§3–3物體系統(tǒng)的平衡?靜定和超靜定問(wèn)題

一個(gè)系統(tǒng)的平衡,是指系統(tǒng)內(nèi)每一個(gè)物體都平衡.如果系統(tǒng)內(nèi)有n個(gè)物體,對(duì)于平面力系,可至多有3n個(gè)獨(dú)立的靜力學(xué)平衡方程,如果系統(tǒng)內(nèi)有特殊力系作用的物體,如二力構(gòu)件,力偶系作用的物體或匯交力系作用的物體等,則獨(dú)立的平衡方程的個(gè)數(shù)便小于3n.靜定問(wèn)題:如果力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)未知量的個(gè)數(shù)等于或少于獨(dú)立的平衡方程的個(gè)數(shù),這個(gè)力學(xué)系統(tǒng)是靜定的.即,可以用靜力學(xué)的平衡方程‘定下來(lái)’.超靜定問(wèn)題(也稱(chēng)為靜不定問(wèn)題):

如果力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)未知量的個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程的個(gè)數(shù),這個(gè)力學(xué)系統(tǒng)是超靜定的.即,用靜力學(xué)的平衡方程‘定不下來(lái)’.需要通過(guò)尋找其他的補(bǔ)充方程聯(lián)合求解.已知物塊的重量,欲求連桿受力.問(wèn):哪個(gè)為靜定問(wèn)題,哪個(gè)為超靜定問(wèn)題?已知結(jié)構(gòu)中載荷Q為已知,欲求各處約束反力.問(wèn):哪個(gè)為靜定問(wèn)題,哪個(gè)為超靜定問(wèn)題?ACBDABD例五.圖示曲軸沖床系統(tǒng)簡(jiǎn)圖.由飛輪O,連桿AB和沖頭B組成.OA=R,AB=l.

不計(jì)摩擦和自重.當(dāng)OA在水平位置時(shí),系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).這時(shí),測(cè)得沖頭上的作用力為F.求:(1)飛輪上力偶M的大小;(2)軸承O處的約束反力;(3)連桿AB受的力;(4)沖頭對(duì)導(dǎo)軌的力.BxyOABM解:此題是系統(tǒng)的力系平衡問(wèn)題.一個(gè)平衡任意力系的平衡,一個(gè)二力平衡,一個(gè)平衡匯交力系的平衡.共有6個(gè)獨(dú)立的平衡方程.解6個(gè)未知數(shù).首先,取沖頭B分析BxyOABMBAMOAxy再取飛輪為研究對(duì)象由作用與反作用公理及二力平衡公理可知軸承O處的約束反力與圖示相反,

其余處的受力如圖所示.例六.(書(shū)上p53例3–6)圖示組合梁不計(jì)自重,由AC與BC梁鉸接而成.已知

F=20kN,均布載荷集度q=10kN/m,M=20kN.m,l=1m.

試求A,B處的約束反力.ACBDllll60o30oqM30o60oCBDq解:取BD梁分析qMAC取AC梁為研究對(duì)象B支座處的約束力如圖示,A處的豎直約束力與圖示相反,水平約束力和約束力偶如圖示.30o60oCBDq例七.如圖結(jié)構(gòu),水平桿上有鉛垂力P的作用.求證:不論P(yáng)的位置如何,AC

桿總是受大小等于P的壓力.(書(shū)上例3–9p56)ABDCPxabEABDPxaEbABbPx證明:整體分析取AB桿分析取AB桿,AD桿的組合體分析AB桿上A點(diǎn)的力與上面的FA等值反向,故受常壓力為P.習(xí)題3–19構(gòu)架由桿AB,AC和DF鉸接而成.在桿DEF上作用一力偶矩為M的力偶,不計(jì)個(gè)桿的自重.求鉸鏈A,D,和B處所受的力.ADBCEFaaaaM解:先整體分析,由力偶力系的平衡可知方向如圖示DMEF取DF桿為研究對(duì)象取ADB桿為研究對(duì)象DBA習(xí)題3–23(p68)圖示結(jié)構(gòu)中,已知力F=40kN.求鉸鏈A,B,C處的約束反力.2m2m2m2mABCDEF解:取AC桿分析45oABCFED45o

取DF桿分析由(1),(2)式聯(lián)立再取AC桿分析AC桿A處受力與圖示相反.習(xí)題3–29(p70)圖示構(gòu)架,由直桿BC,CD及直角彎桿AB組成,各桿自重不計(jì).載荷及尺寸如圖.銷(xiāo)釘B上作用一鉛垂力F.圖中的q,a,M均為已知,M=qa2.

求:固定端A的約束力及銷(xiāo)釘B對(duì)桿BC,AB的作用力.解:取DC桿為研究對(duì)象DCq解:取BC桿(帶B鉸鏈)為研究對(duì)象aa3aDABCqqMaBCMBCM取直角彎桿AB分析:qABMBC取BC桿(不含B鉸)分析:B彎桿AB上B點(diǎn)的力為銷(xiāo)釘B對(duì)AB桿的力.BC桿(不含B鉸)上B點(diǎn)的力為銷(xiāo)釘B對(duì)BC桿的力.方向均如圖示.銷(xiāo)釘B的受力情況如圖示§3–4平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算桁架是一種由桿件在兩端互相連接而成的承載結(jié)構(gòu),它在受力后幾何形狀不變.

工程上采用桁架的結(jié)構(gòu)有很多,如高壓輸電線(xiàn)塔,水利工程的閘門(mén),塔式起重機(jī)的塔身,鐵路橋梁的兩側(cè)結(jié)構(gòu)等.桁架中的桿件與桿件的連接點(diǎn),稱(chēng)為節(jié)點(diǎn).桁架的優(yōu)點(diǎn)是:內(nèi)部的桿件主要承受拉力或壓力,可以充分發(fā)揮材料的作用,

節(jié)約材質(zhì),減輕結(jié)構(gòu)的重量.

平面桁架內(nèi)力計(jì)算的基本假定:(1)所有的桿件都是直桿;(2)桿件的連接點(diǎn)都是光滑鉸鏈;(3)桁架所受的力都作用在節(jié)點(diǎn)上,而且在桁架的平面內(nèi);(4)各桿的重量一般略去不計(jì),若計(jì)則平均分配在桿件兩端的節(jié)點(diǎn)上.所有桿件的軸線(xiàn)都在同一平面的桁架,稱(chēng)為平面桁架簡(jiǎn)單的平面靜定桁架:

以一個(gè)鉸接的三角形框架為基本結(jié)構(gòu),每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)的同時(shí)增加兩根桿件.這樣構(gòu)成的桁架就是簡(jiǎn)單的平面靜定桁架.設(shè)桿數(shù)為m,節(jié)點(diǎn)數(shù)為n.簡(jiǎn)單平面桁架的桿數(shù)與節(jié)點(diǎn)數(shù)的關(guān)系為:(m–3)=2(n–3)即是m=2n–3★平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算:1.節(jié)點(diǎn)法視具體情況求支反力.依次取每一個(gè)節(jié)點(diǎn)分析和計(jì)算內(nèi)力.每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的未知力一般不超過(guò)2個(gè).2.截面法視具體情況求支反力.將整體截開(kāi),求被截桿內(nèi)力.一般截桿不超過(guò)三根.注意力的匯交點(diǎn).例一.(書(shū)上例3–10p58)求簡(jiǎn)單平面桁架的各桿的內(nèi)力.已知F=10kN.30o30o2m2m12345ABCDF解:整體分析,求支反力.依次取節(jié)點(diǎn)A,D,C分析其受力.30oAFD60o60oCA點(diǎn):D點(diǎn):C點(diǎn):30o30o2m2m12345ABCDF30oAFD60o60oC由上面的計(jì)算可以得出:1號(hào)和4號(hào)桿受壓,大小為10kN.2號(hào)和5號(hào)桿受拉,大小為8.66kN.3號(hào)桿受拉,大小為10kN.例二.