常微分第一章

常微分方程OrdinaryDifferentialEquations孫書榮濟南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院Semester1,2014-2015Welcometomyclass!/ode.html11.什么是常微分方程？---微分(導(dǎo)數(shù))代數(shù)方程三角方程函數(shù)方程微分方程方程第一章緒論2在微積分中我們已經(jīng)知道，函數(shù)例如：導(dǎo)數(shù)本身依然為函數(shù).在

可微，且如果將右端用符號代替，則得3含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程.Definition微分方程（DifferentialEquation）或具體地聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式.4只含有一個自變量（或未知函數(shù)是一元函數(shù)）的微分方程稱為常微分方程；自變量的個數(shù)多于一個的微分方程稱為偏微分方程。微分方程是數(shù)學(xué)學(xué)科聯(lián)系實際的主要橋梁之一?？梢哉f，凡采用無窮小分析方法研究物質(zhì)世界運動狀態(tài)的問題大都離不開它。毫不夸張地說，微分方程是自然科學(xué)、工程科學(xué)中最普遍且最重要的數(shù)學(xué)模型。作為課程，它是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué)等專業(yè)本科生的重要專業(yè)基礎(chǔ)課程之一，也是理工科高等數(shù)學(xué)的重要組成部分。5常微分方程是由人類生產(chǎn)實踐的需要而產(chǎn)生的。歷史上，它的雛形甚至比微積分的發(fā)明還早。納泊爾發(fā)明對數(shù)，伽利略研究自由落體，笛卡爾在光學(xué)問題中由切線的性質(zhì)定出鏡面的形狀等，實際上都需要建立和求解微分方程。2.微分方程的歷史發(fā)展概況起始于1675.

奠基人:IsaacNewton(1642-1727)GottfriedWilhelmvonLeibniz(1646-1716)在DE歷史發(fā)展中具有里程碑作用的兩個問題：二體運動，海王星的發(fā)現(xiàn)6GalileoGalilei(1564–1642)FreeFallingObjectmgOyy=y(t)MathematicalModelNatureiswritteninthelanguageofmathematics.7LeonhardEuler(1707-1783),AlexisClaudeClairaut(1713-1765),JosephLouisLagrange

(1736-1813),JeanLeRondd'Alembert(1717-1783).

常微分方程研究的歷史發(fā)展大體可分為四個階段：17世紀(jì)末到18世紀(jì)；19世紀(jì)初期和中期；19世紀(jì)末期及20世紀(jì)初期，以及20世紀(jì)中期以后。(1).17世紀(jì)末到18世紀(jì)是常微分方程產(chǎn)生和發(fā)展的第一個階段。研究中心問題是求常微分方程的通解.JacopoRiccati's(1676-1754),Bernoulli家族,8(2).19世紀(jì)初期和中期是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個轉(zhuǎn)變時期。

Cauchy等人完成的常微分方程奠定性工作——解的存在唯一性定理，由此開創(chuàng)了常微分方程解析理論；另一方面，Liouville在19世紀(jì)40年代證明了黎卡提方程一般不能用初等積分法解出。Sturm的工作提出了對解進行定性的最初思想。9(3)19世紀(jì)后半葉和20世紀(jì)初。SophusLie的工作促使微分方程的研究重點轉(zhuǎn)向了解析理論和定性理論。19世紀(jì)末，由Poincare和Liapunov分別創(chuàng)立了常微分方程定性理論和穩(wěn)定性理論，代表了一種嶄新的研究非線性方程的新方法，其思想和作法一直深刻地影響到今天。

20世紀(jì)初，Birkhoff在動力系統(tǒng)方面開辟了一個新領(lǐng)域。10(4)20世紀(jì)中期起，常微分方程的發(fā)展既深又廣，進入了一個新的階段，包括了四個方面的工作。第一是由于工程技術(shù)的需要而產(chǎn)生新型問題和新的分支。常微分方程與其它學(xué)科或領(lǐng)域相結(jié)合而出現(xiàn)各種新的研究分支，如：控制論，分支理論，泛函微分方程，脈沖微分方程，時間尺度上的微分方程，分?jǐn)?shù)階微分方程，（倒向）隨機微分方程等。11倒向隨機微分方程理論是90年代興起的研究領(lǐng)域,而與之相對應(yīng)的正向隨機微分方程的發(fā)展卻有半個多世紀(jì)的歷史,并出現(xiàn)許多優(yōu)美的數(shù)學(xué)結(jié)果以及在很多方面獲得了應(yīng)用。它不僅有直接的應(yīng)用背景,并且與其它數(shù)學(xué)分支如測度論、偏微分方程、微分幾何、勢論等發(fā)生了非常自然的而且常常是意想不到的聯(lián)系,互相促進,相映生輝.許多著名的數(shù)學(xué)家都為之吸引,在這一領(lǐng)域作出了杰出的貢獻(xiàn).其結(jié)果又反過來促進了其它學(xué)科的進展.近期一個典型的例子就是P.L.Lions等提出的非線性二階偏微分方程的粘性解理論,其直接動力就是來源于他在隨機微分方程和隨機控制理論方面的研究.倒向隨機微分方程法國科學(xué)院院士、著名數(shù)學(xué)家Bismut1973年在他的博士論文中首次探討了倒向隨機微分方程的概念,提出了線性倒向隨機微分方程并且獲得了它的存在唯一性定理。但是這個結(jié)果僅在較小的范圍里,主要是隨機最優(yōu)控制理論界引起了注意,人們也不知道一個一般的非線性的倒向隨機徽分方程是否存在,是否有意義。BackwardStochasticDifferentialEquations121990彭實戈院士和他的合作者E.Pardoux發(fā)表了“具有適應(yīng)解的倒向隨機微分方程”一文，提出一般的非線性的倒向隨機微分方程的框架,并且解決了作為其理論基礎(chǔ)的存在唯一性定理。倒向隨機微分方程的理論研究的歷史較短,但進展卻很迅速.除了其理論本身所具有的有趣的數(shù)學(xué)性質(zhì)之外,還因為發(fā)現(xiàn)了重要的應(yīng)用前景.1992年，著名經(jīng)濟學(xué)家Duffie和Epstein也獨立地發(fā)現(xiàn)可以用這一方程的一個特別典型的情況來描述不確定經(jīng)濟環(huán)境下的消費偏好(即效用函數(shù)理論——這是計量經(jīng)濟學(xué)的基礎(chǔ).彭通過倒向隨機微分方程獲得了非線性Feynman-Kac公式,從而可以用來處理諸如反應(yīng)擴散方程和Navier-Stokes方程等眾所周知的重要非線性偏微分方程組.法國數(shù)學(xué)家EiKaroui和Quenez發(fā)現(xiàn)倒向隨機徽分方程可以應(yīng)用于金融領(lǐng)域,金融市場的許多重要的派生證券(如期權(quán)期貨等)的理論價格可以用倒向隨機微分方程解出.特別是應(yīng)用于作為現(xiàn)代金融理論的核心的衍生證券定價理論。而對于這個理論的數(shù)學(xué)—金融數(shù)學(xué)又剛剛起步,所以這個研究方向引起了人們對倒向隨機微分方程很大的興趣。這導(dǎo)致了1996年首屆倒向隨機微分方程及其應(yīng)用國際學(xué)術(shù)會議的召開。13倒向隨機微分方程的研究之所以大大滯后于正向隨機微分方程,倒向方程發(fā)展晚得多的主要原因是技術(shù)上和思路上存在障礙。首先,正向隨機微分方程與倒向隨機微分方程在結(jié)構(gòu)上有本質(zhì)的區(qū)別.所以難以從正向隨機微分方程出發(fā)猜想出倒向隨機微分方程的形式.其次,從應(yīng)用的角度講.正向隨機微分方程考慮的是如何認(rèn)識一個客觀存在的隨機過程,而倒向隨機微分方程則主要關(guān)心在有隨機干擾的環(huán)境中如何使一個系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期的目標(biāo).從認(rèn)識論的觀點來看這一滯后也是自然的.14彭實戈，數(shù)學(xué)家，中國科學(xué)院院士，山東大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)工程學(xué)院博士生導(dǎo)師，山東大學(xué)數(shù)學(xué)研究所所長，金融研究院院長。長期致力于隨機控制、金融數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計方面的研究，在隨機控制理論研究領(lǐng)域，有很高的國際知名度。他和法國數(shù)學(xué)家Pardoux教授一起開創(chuàng)了“倒向隨機微分方程”的新方向，成為研究金融產(chǎn)品定價的重要工具。以彭實戈的名字命名的“彭一般原理”、“彭最大值原理”以及他所開創(chuàng)的新領(lǐng)域包括：倒向隨機微分方程，即“巴赫杜(Pardoux)-彭方程”，在隨機分析、隨機控制和金融數(shù)學(xué)界已經(jīng)獲得了很高的國際知名度。彭實戈曾十幾次被邀參加國際數(shù)學(xué)會議并作報告，是首位受邀赴國際數(shù)學(xué)家大會做一小時演講的大陸全職學(xué)者。15E.PardouxandS.G.Peng:Adaptedsolutionofabackwardstochasticdifferentialequation.SystemsandControlLetters1990,14(1):55-61.CitedByinScopus(304).截止2014年9月1日，該文已至少被1784篇其他論文/著引用過。被數(shù)學(xué)界專家一致稱為倒向隨機微分方程理論的奠基性文章：16彭實戈曾長期以為，數(shù)學(xué)是純粹的學(xué)術(shù)問題，當(dāng)一位法國金融學(xué)家告訴他，他的“倒向隨機微分方程”在金融上有很高的使用價值時，他甚至有幾分不悅，認(rèn)為把他心目中圣潔的數(shù)學(xué)與金錢聯(lián)系在一起幾乎是一種。但在研究了金融方面的有關(guān)資料，他發(fā)現(xiàn)，自己的成果確實能夠應(yīng)用于金融領(lǐng)域。1993年，彭實戈派學(xué)生調(diào)查、了解期貨市場情況，他敏銳地發(fā)現(xiàn)中國期權(quán)期貨交易中存在的一些嚴(yán)重問題。當(dāng)時絕大部分企業(yè)、機構(gòu)對期貨、期權(quán)的避險功能了解甚少，在不清楚這種現(xiàn)代金融工具所隱藏的巨大風(fēng)險以及如何度量和規(guī)避這種金融風(fēng)險的情況下，便盲目投資，進行境外期貨期權(quán)交易。投資者每做一單交易，輸?shù)母怕蚀笥?0%，而贏的概率少于30%。于是，他寫了兩封信，一封交給潘承洞校長，潘校長立即轉(zhuǎn)呈山東省副省長，另一封，遞交國家自然科學(xué)基金委。信中，他陳述了自己對國際期貨、期權(quán)市場的基本看法，以及中國當(dāng)時進行境外期貨交易所面臨的巨大風(fēng)險，并建議從速開展對國際期貨市場的風(fēng)險分析和控制的研究并加強對金融高級人才的培養(yǎng)。彭實戈還親赴北京，向國家自然科學(xué)基金委領(lǐng)導(dǎo)當(dāng)面表達(dá)自己的意見。后來，山東省立即停止了境外期貨交易。17對中國金融數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)

1996年12月10日，國家自然科學(xué)基金會在北京召開專家會議，審議了彭實戈的報告，啟動了國家自然科學(xué)基金重大項目“金融數(shù)學(xué)、金融工程和金融管理”。此項目由彭實戈任第一負(fù)責(zé)人，集中中科院、復(fù)旦大學(xué)、南開大學(xué)、浙江大學(xué)、清華大學(xué)、中國人民銀行、財政部、國家稅務(wù)總局等20個單位的專家學(xué)者，向這一領(lǐng)域發(fā)起全面攻關(guān)。這是“九五”期間國家自然科學(xué)基金委列入管理和數(shù)學(xué)學(xué)科的唯一重大項目，也標(biāo)志著中國金融數(shù)學(xué)開始了一個從無到有的過程。而彭實戈公式的提出，對不完全、不規(guī)范條件下的金融市場同樣適用。所以，彭實戈的文章被稱為“奠基性論文”，為金融數(shù)學(xué)理論大廈埋下了一塊重要的基石。在中國，金融學(xué)曾一直屬于文科，遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于世界水平。彭實戈的理論建樹使中國成為這一領(lǐng)域的后起之秀，并躋身國際金融數(shù)學(xué)界的前列。彭實戈帶領(lǐng)他的學(xué)生們，在經(jīng)濟、金融數(shù)學(xué)、控制等領(lǐng)域做了大量研究工作，針對許多社會經(jīng)濟領(lǐng)域迫在眉睫的問題，獲得一系列研究成果，得到中國國內(nèi)有關(guān)專家、領(lǐng)導(dǎo)的高度評價。18當(dāng)代高科技的發(fā)展為數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用和深入研究提供了更好的手段。數(shù)學(xué)機械化的思想也滲透和應(yīng)用到ODE這一分支。用計算機求方程的精確解，近似解，對解的性態(tài)進行研究。Maple，MatlabMathematica等數(shù)學(xué)軟件（P389）。第二是由于應(yīng)用問題需要以及由于電子計算機的出現(xiàn)而產(chǎn)生的其它近似的解析形式的解的求法。第三是電子計算機的出現(xiàn)與發(fā)展對于常微分方程研究的推動及由此產(chǎn)生的成果。混沌等的發(fā)現(xiàn)。19秦元勛，葉彥謙到目前為止，本科常微分方程教材基本上都是反映以上這一階段中的一些解法和基本理論。第四是常微分方程理論本身向高維數(shù)、抽象化的方向發(fā)展。203.學(xué)科內(nèi)容及研究方法經(jīng)典部分：以數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)為工具，以求微分方程的解為主要目的；現(xiàn)代部分：主要是用泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)等知識來研究解的性質(zhì)。研究方法：解析法,幾何法(定性),數(shù)值方法

21作為課程，

常微分方程把前階段已獲得的微積分、線性代數(shù)、解析幾何及物理方面的知識，首次較普遍、較深入地結(jié)合起來，用以初步解決數(shù)學(xué)理論和實際問題中出現(xiàn)的一批重要而基本的微分方程。同時在這個過程中自然地提出和建立起微分方程本身的基本理論和基本方法，也為后繼課程（數(shù)理方程，數(shù)值方法、偏微分方程、微分幾何、泛函分析等）起到承前啟后的作用，是數(shù)學(xué)理論中不可缺少的一個環(huán)節(jié)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)本學(xué)科近代知識的基礎(chǔ)，對培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力有重要作用。22它的理論和方法，過去和現(xiàn)在都對力學(xué)、天文、物理、化學(xué)、生物，各種技術(shù)科學(xué)及若干社會科學(xué)（如人口理論、經(jīng)濟預(yù)測等提供了有力的工具，后者反過來也不斷地向它提出新的問題，刺激著它不斷向前發(fā)展。23

學(xué)好微分方程的先決條件:數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)：C級244.課程內(nèi)容:(1)一階微分方程的初等解法(2)高階微分方程(3)線性微分方程組(4)微分方程解的存在唯一性定理(5)應(yīng)用

255.教材

常微分方程（第三版）王高雄等編

6.

參考書

iii.常微分方程習(xí)題解，莊萬iv.常微分方程習(xí)題集，周尚仁v.常微分方程解題方法，錢祥征i.常微分方程教程，丁同仁、李承治，高等教育出版社，1991（第一版），2004（第二版）。

ii.常微分方程講義(第二版)，葉彥謙，人民教育出版社，1982。vi.常微分方程考研教案，竇雯虹vii.常微分方程全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解，石瑞青等267.課程評價:平時成績(20%-30%)：作業(yè)(20%)答質(zhì)疑(10%)章節(jié)總結(jié)(20%)小測驗、自主命題(20%)課堂參與、筆記(10%)出勤(20%)期末考試(70-80%)剽竊反饋sshrong@163.com27聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式，稱之為微分方程。注：未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分是不可缺少的例：28客觀現(xiàn)實世界運動過程中量與量之間的關(guān)系簡單問題直接寫出關(guān)系式：函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜關(guān)系不易寫出函數(shù)關(guān)系式，但易建立變量滿足的微分方程29在這一節(jié)中列舉幾個簡單的實際例子，說明怎樣從實際問題列成微分方程的問題。例子雖然簡單，但是從中能夠簡明地誘導(dǎo)出微分方程的一些基本概念，成為進一步探討其它較復(fù)雜問題的借鑒。掌握好這些例子，會有助于增進我們分析問題的能力。30例1

物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型將某物體放置于空氣中，在時刻時,測量得它的溫度為10分鐘后測得溫度為我們要求決定此物體的溫度和時間的關(guān)系，并計算20分鐘后物體的溫度.這里我們假定空氣的溫度保持為§1.1常微分方程模型31在一定的溫度范圍內(nèi)（其中包括了上述問題的溫度在內(nèi))，一個物體的溫度變化速度與這一物體溫度和其所在介質(zhì)溫度的差值成比例。解：牛頓（Newton）冷卻定律：32設(shè)物體在時刻的溫度為則溫度的變化速度為由牛頓冷卻定律得這里是比例常數(shù)。方程（1.1）就是物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型.(1.1)注意到熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)的，知溫差又因物體將隨時間而逐漸冷卻，模型建立因而由33由(1.2)可得這里令，即得因此是“任意常數(shù)”。34由已知：

當(dāng)時，于是（1.3）模型求解35又時，，得到從而由此，將和代入，得（1.4）模型求解36根據(jù)方程（1.4），可以計算出任何時刻t物體的溫度u的數(shù)值了。模型應(yīng)用37

微分方程的“解”的圖形表示t(分)7010015024O1020406080u(0C)圖(1.1)38

利用微分方程解決實際問題的基本步驟:（1）建立起實際問題的數(shù)學(xué)模型，也就是建立反映這個實際問題的微分方程；（2）求解這個微分方程；（3）用所得的數(shù)學(xué)結(jié)果解釋實際問題。39

建立起實際問題的數(shù)學(xué)模型一般比較困難的，因為這需要對與問題有關(guān)的自然規(guī)律有一個清晰的了解（例如,例1中就要了解熱力學(xué)中的牛頓冷卻定律），同時也需要有一定的數(shù)學(xué)知識。微分方程往往可以看作是各種不同物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。40我們在建立微分方程的時候，只能考慮影響這個物理現(xiàn)象的一些主要因素，而把其他的一些次要因素忽略掉，如果的確考慮到了那些最主要的因素，那么我們所得到的微分方程，它的解和所考慮的物理現(xiàn)象比較接近的。這時，我們得到的數(shù)學(xué)模型是有用；否則，我們還應(yīng)該考慮其他的一些因素，以便建立起更為合理的數(shù)學(xué)模型。41例2電路

如圖所示的R-L-C電路.它包含電感L,電阻R,電容C及電源e(t).設(shè)L,R,C均為常數(shù),e(t)是時間t的已知函數(shù).試求當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強度I

與時間t

之間的關(guān)系.

42電容電阻電感解：或又由基爾霍夫第二定律43若常數(shù)，又進一步，R=0，則（1.6）（1.7）（1.8）則44數(shù)學(xué)擺例3

數(shù)學(xué)擺是系于一根長度為的線上而質(zhì)量為m的質(zhì)點M，在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圓周運動.如圖所示.試確定擺的運動方程.45解：的正方向，得由Newton第二定律得即取反時針運動方向為計算擺與鉛垂線所成的角（1.9）46注1：若只研究擺的微少振動，即較少的情況，則注2：若在假設(shè)擺在一個粘性的介質(zhì)中擺動，設(shè)阻力系數(shù)為則即（1.10）（1.11）47注3：若沿著擺的運動方向恒有一個外力F(t)，則（1.12）48背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0人口問題是當(dāng)前世界上人們最關(guān)心的問題之一.研究人口數(shù)量的變化規(guī)律，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報，是有效控制人口增長的前提.491、指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）：英國人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus1766~1834）于1798年提出。2、阻滯增長模型（Logistic模型）3、更復(fù)雜的人口模型隨機性模型、考慮人口年齡分布的模型等

數(shù)學(xué)模型總是在不斷的修改、完善使之能符合實際情況的變化。例4人口模型宋健等首創(chuàng)了人口控制論新交叉學(xué)科，研究建立了人口控制模型．(1837年，荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst)50指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)N(t)~時刻t的人口基本假設(shè)

:人口凈(相對)增長率r（單位時間內(nèi)人口的凈增長數(shù)與人口總數(shù)之比）是常數(shù)。隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長.51指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長預(yù)測

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律

不能預(yù)測較長期的人口增長過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)(2510年，2000億)52阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(N很小時)Nm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是N的減函數(shù)(Verhulst,1837)53NmtN0N(t)~S形曲線,N增加先快后慢N0Nm/2阻滯增長模型(Logistic模型)54模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4(百萬)模型應(yīng)用——預(yù)報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,Nm=434.0N(2010)=306.055例5傳染病模型假設(shè)傳染病傳播期間某地區(qū)總?cè)藬?shù)為常數(shù)n.開始時染病人數(shù)為在時刻t的健康人數(shù)為y(t),染病人數(shù)為x(t),則設(shè)單位時間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時的健康人數(shù)成正比，比例常數(shù)為k,則56SI模型無免疫性的傳染病設(shè)單位時間治愈率為則SIS模型此傳染病的平均傳染期整個傳染期內(nèi)每個病人有效接觸的平均人數(shù)57有很強免疫性的傳染病設(shè)在時刻t的愈后免疫人數(shù)為r(t),治愈率為常數(shù)l,則而SIR模型及58在生物界有一種捕食與被捕食的關(guān)系.例如在南極海洋中生活的須鯨和南極蝦就是這種關(guān)系.設(shè)被食魚的數(shù)量是x(t),捕食魚的數(shù)量是y(t),若沒有捕食魚,被食魚的數(shù)量將指數(shù)式地增長:沃特拉（Volterra）被捕食-捕食模型但有了捕食魚時,其增長率降低。設(shè)單位時間內(nèi)捕食魚與被食魚相遇的次數(shù)為bxy(b>0)因此捕食魚與被食魚相遇被食魚被吃掉的速度例6兩生物種群生態(tài)模型59而捕食魚的自然減少率與它們存在的數(shù)量成正比，即-cy,同類相爭造成的死亡速度自然增長率與它們存在的數(shù)量及食物的數(shù)量成正比，即dxy,于是60競爭模型甲乙兩種群競爭同一資源時的成長情況：b,d<0時，兩種群相互促進，相互依賴--共生模型61有相互關(guān)系的甲乙兩種群的成長情況：其中a,b,c,d,e,可正可負(fù)。一般可分為競爭，共生，捕食-被捕食等類型。注：對一個種群，若其內(nèi)部存在密度制約關(guān)系時，即為Logistic模型。62更一般地，兩種群競爭系統(tǒng)可表示為M，N為相對于x,y的增值率。63例7Lorenz方程其中a,c,b為變化區(qū)域有一定限制的實參數(shù)。該方程形式簡單，表面上看并無驚人之處，但由該方程揭示出的許多現(xiàn)象，促使"混沌“成為數(shù)學(xué)研究的嶄新領(lǐng)域，在實際應(yīng)用中也產(chǎn)生了巨大的影響。64Lorenz（1960）研究“長期天氣預(yù)報”問題時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這個方程組的參數(shù)取某些值的時候，軌線運動會變的復(fù)雜和不確定，具有對初始條件的敏感依賴性，也就是初始條件最微小的差異都會導(dǎo)致軌線的行為的無法預(yù)測。根據(jù)數(shù)值分析，Lorenz得出結(jié)論說天氣的長期預(yù)報是不可能的，形象化的說法就是所謂的蝴蝶效應(yīng)。他說“巴西境內(nèi)的一只蝴蝶扇動翅膀，可能引起德克薩斯州的一場龍卷風(fēng)”把混沌這個術(shù)語引入的是美國的數(shù)學(xué)教授約克和他的學(xué)生李天巖。65 1961年美國氣象學(xué)家洛倫茲利用他的一臺老爺計算機，根據(jù)他導(dǎo)出的描述氣象演變的非線性動力學(xué)方程進行長期氣象預(yù)報的模擬數(shù)值計算，探討準(zhǔn)確進行長期天氣預(yù)報的可能性。 有一次，洛倫茲為了檢驗上一次的計算結(jié)果，決定再算一遍。但他不是從上一次計算時的最初輸入的數(shù)據(jù)開始驗算，而是以一個中間結(jié)果作為驗算的輸入數(shù)據(jù)。他發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過一段重復(fù)過程后，計算開始偏離上次的結(jié)果，甚至大相徑庭。就好比一個計算結(jié)果預(yù)報幾個月后的某天是晴空萬里，另一個計算結(jié)果則告訴你這一天將電閃雷鳴！66后來洛倫茲發(fā)現(xiàn)兩次計算的差別只是第二次輸入中間數(shù)據(jù)時將原來的0.506127省略為0.506。洛倫茲意識到，因為他的方程是非線性的，非線性方程不同于線性方程，線性方程對初值的依賴不敏感，而非線性方程對初值的依賴極其敏感。正是初始條件的微小誤差導(dǎo)致了計算結(jié)果的巨大偏離。由此洛倫茲斷言：準(zhǔn)確地作出長期天氣預(yù)報是不可能的。對此，洛倫茲作了個形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇動一下翅膀會在美國的得克薩斯州引起一場龍卷風(fēng)，這就是蝴蝶效應(yīng)。67蝴蝶效應(yīng)是說，初始條件十分微小的變化經(jīng)過不斷放大，對其未來狀態(tài)會造成極其巨大的差別。有些小事可以糊涂，有些小事如經(jīng)系統(tǒng)放大，則對一個組織、一個國家來說是很重要的，就不能糊涂。一個壞的微小的機制，如果不加以及時地引導(dǎo)、調(diào)節(jié)，會給社會帶來非常大的危害，戲稱為“龍卷風(fēng)”或“風(fēng)暴”；一個好的微小的機制，只要正確指引，經(jīng)過一段時間的努力，將會產(chǎn)生轟動效應(yīng)，或稱為“革命”。68今天，“蝴蝶效應(yīng)”幾乎成了混沌現(xiàn)象的代名詞。把混沌這個術(shù)語引入的是美國的數(shù)學(xué)教授約克和他的學(xué)生李天巖。洛倫茲曲線6970不同的物理現(xiàn)象可以具有相同的數(shù)學(xué)模型這一事實，是現(xiàn)代許多應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者和工程人員應(yīng)用模擬方法解決物理或工程問題的理論依據(jù)。例如，利用電路來模擬某些力學(xué)系統(tǒng)或機械系統(tǒng)等等在現(xiàn)時已相當(dāng)普遍。模擬式電子計算機就是根據(jù)這一思想設(shè)計制造的。71小結(jié)1.微分方程數(shù)學(xué)模型的建立。構(gòu)造ODE的數(shù)學(xué)模型的常用方法：（1）從物理、力學(xué)等已確定的自然規(guī)律出發(fā)；（2）利用類比的方法；（3）通過分析已有數(shù)據(jù)的相互關(guān)系并加以合理的邏輯推導(dǎo)，尋找出相關(guān)規(guī)律。(4)根據(jù)一定目的，通過反復(fù)試驗，尋找適合要求的模型。722.常微分方程是一門與實際聯(lián)系比較密切的數(shù)學(xué)課程，注意它的實際背景與應(yīng)用；而作為一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，應(yīng)該把重點放在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究微分方程本身的問題上。73作業(yè)：習(xí)題1.28（1），（3）74補充作業(yè)：設(shè)警方對司機飲酒后駕車時血液中酒精含量的規(guī)定為不超過80%(mg/ml).現(xiàn)有一起交通事故,在事故發(fā)生3個小時后,測得司機血液中酒精含量是56%(mg/ml),又過兩個小時后,測得其酒精含量降為40%(mg/ml),試判斷:事故發(fā)生時,司機是否違反了酒精含量的規(guī)定?75§1.2基本概念

76微分方程就是聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。Definition

微分方程（DifferentialEquation）Remark:微分方程中的未知量是函數(shù).注意與代數(shù)方程的區(qū)別。77常微分方程

(ODE)-自變量的個數(shù)只有一個的微分方程；(1)常/偏微分方程（ordinarydifferentialequation/partialdifferentialequation）分類：偏微分方程(PDE)-自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上的微分方程。78微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。(2)微分方程的階數(shù):Example:(1),(5)與(6)為一階DE,而(2),(3),（4），（7），（8）為二階DE。

79Example:80二階微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：為自變量，為的函數(shù)的一階微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：81一般地，

階常微分方程具有形式

的已知函數(shù)，而且一定含有

是注1：隱式形式注2：顯式形式82練習(xí)1指出下面微分方程的階數(shù)，并回答方程是常微分方程還是偏微分方程：83（3）線性和非線性微分方程如果方程

及

的一次有理整式，

則稱(1）為

的左端為階線性微分方程。（1）84這里

是的已知函數(shù)。階線性微分方程具有形式一般地，不是線性方程的方程稱為非線性方程。例如，方程

是二階非線性方程，而方程是一階非線性方程。85Example:86練習(xí)2指出下面微分方程的階數(shù)，并回答是否線性的：03)()24)1222=-+-=ydxdyxdxdyyxdxdy87（4）解和隱式解如果將函數(shù)

（1）代入方程為方程（1）的解。

能使它變?yōu)楹愕仁?，則稱函數(shù)

后，88確定的隱函數(shù)

的解，則稱

為方程（1）的隱式解。如果關(guān)系式是（1）89有解

和

而關(guān)系式

為方程的隱式解。例如，一階微分方程事實上，由得所以為的解。由得所以90Remark：解和隱式解統(tǒng)稱為方程的解。91練習(xí)3驗證下列各函數(shù)是相應(yīng)微分方程的解：(c是任意常數(shù))92（5）通解和特解

含有

個獨立的任意常數(shù)

的解

稱為

階方程的通解（隱式通解）。93

Remark:為n個獨立的任意常數(shù)

解n個任意常數(shù)94Remark：通解不一定包含方程的所有解。例：的通解為也為其解，但它不包含在通解中。95實際問題中經(jīng)常需要尋找微分方程滿足某種特定條件的解，這個特定條件就是定解條件。定解條件：初值條件，邊界條件96是給定的

個常數(shù)。時，

當(dāng)階微分方程個條件：

的初始條件是指如下的

注：這里97初始條件有時可寫為98求微分方程滿足初始條件解的問題，稱為初值問題（IVP）或Cauchy問題。滿足初始條件的解稱為微分方程的特解。求微分方程滿足邊值條件解的問題，稱為邊值問題（BVP）。求微分方程滿足定解條件的解，就是所謂定解問題。99的解

就是一階方程就是滿足初始條件當(dāng)

時，

的特解。的通解；例如，在§1.1的例1中，含有一個任意常數(shù)C而滿足初始條件的解稱為微分方程的特解。100階微分方程的初值問題可表示為一階微分方程的初值問題可表示為或101102103（1）求出它的通解；（2）求通過點（1，4）的特解。例2

給定一階微分方程解：C為任意常數(shù)。（2）將x=1,y=4

代入（1），得C=2，所以所求特解為104（6）積分曲線和方向場微分方程（2）的通解一階微分方程

（2）的解

稱之為微分方程（２）的積分曲線。滿足初始條件

的特解就是通過點

的一條積分曲線。稱之為微分方程（２）的積分曲線族。105106方程的切線斜率上恰好等于函數(shù)在這點的值；函數(shù)反之,如果在一條曲線每點上其切線斜率剛好等于的值，則這一條曲線就是方程在這點的值，則這條曲線就是方程積分曲線與的關(guān)系的積分曲線。的積分曲線的每一點107ConsiderthefollowingIVP(1)UsetheExistenceandUniquenessTheoremtoshowthat(1)hasauniquesolut