勾股定理專題讓最值不再隱形

勾股定理專題讓“最值〃不再隱形一、類型1:構(gòu)造對(duì)稱求線段和的最值一一兩點(diǎn)之間線段最短（將軍飲馬）.如圖，在等腰Rt△ABC中，/BAC=90°,AB=AC=10,AD±BC于點(diǎn)D,E為AB邊的中點(diǎn)，M為AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BM+EM的最小值為.如圖,E為正方形ABCD邊AB上的一點(diǎn)，BE=3AE=3,P為對(duì)角線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值是 .如圖，/MON=60°,AB為OM上的兩個(gè)定點(diǎn),AB=6,OB=4,P為ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+BP的最小值為—.點(diǎn)A、B均在由面積為1的相同小正方形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示。若P是y軸上使得PA+PB的值最小的點(diǎn)，且PA+PB的最小值為m,Q是1軸上使得QA—QB的值最大的點(diǎn)，且QA—QB的最大值為n，貝Um=,n=..如圖，在直角坐標(biāo)系中，A(2,0)、B(6,0)在％軸的正半軸上，射線OC在第一象限，且NBOC=30°,M為射線OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MA+MB的最小值為 ..如圖，在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，A(-2,0),B(0,1),C(0,4),將線段AB向右平移，在平移過(guò)程中，折線和AC+BC的最小值為.7.如圖，

另lj為OA、N7.如圖，

另lj為OA、NAOB=60°OB上的兩點(diǎn)C、D為NAOB內(nèi)部的兩個(gè)定點(diǎn)，且OC=2,則CM+MN+ND的最小值是OD=3,NCOD=30°,M、N分.如圖，NAOB=30°,點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=1,ON=3,點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是 ..如圖，在矩形ABCD中，AB=12,AD=3,E、F分別是矩形邊CD、AB上的兩點(diǎn)，則AE+EF+FC的最小值為.A.E D

二、類型2:構(gòu)造對(duì)稱求線段和的最值一一點(diǎn)到直線之間垂線段最短.如圖,已知/MON=30°,A為邊OM上的一個(gè)定點(diǎn)，OA=6,P、Q分別為ON、OM上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+PQ的最小值為..如圖，在銳角少5。中，AB=4,ZBAC=45°,NBAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是 ..如圖，在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,AD是BC邊上的中線，E是AD上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為..如圖，已知/MON=30°,A、B為OM上的兩個(gè)定點(diǎn)，OA=10.OB=4,P、Q為ON上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)，則AP+PB+BQ的最小值為。.如圖，/MON=20°,定點(diǎn)A的在OM邊上，且OA=4,C為OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，B、D為ON上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AB+BC+CD的最小值為.DBN

DBN.如圖，在等邊A15C中，AB=4,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AB.AC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M、N,則線段MN長(zhǎng)的取值范圍是..在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為BC、AB、AC邊長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)。(1)若BD=2,則4DEF的周長(zhǎng)的最小值為.(2)若D點(diǎn)也可以在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則△DEF的周長(zhǎng)的最小值為 ..在△ABC中，/A=45°,AB=7,AC=4<2.(1)如圖1,AH±BC于點(diǎn)H，求AH的長(zhǎng)度.(2)如圖2,D、E、F分別是BC、AB、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，.在四邊形ABCD中，NABC=ZADC=90°,ZBCD=60°,AB=2,AD=4,M、N分別是BC、CD上的兩點(diǎn).(1)如圖1，△AMN周長(zhǎng)的最小值為，此時(shí)NMAN=(2)如圖2,AM+MN(2)如圖2,AM+MN的最小值為，此時(shí)NAMN=三、類型3：旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等求單線段最值一利用三角形的三邊關(guān)系19.如圖，在△ABC中M和點(diǎn)A在BC的異側(cè)，AB=4,AC=6,ZBAC可以發(fā)生變化，以B為直角頂點(diǎn)BC為腰作等腰△BCM，點(diǎn)試探索當(dāng)/BAC滿足什么條件時(shí)，線段AM有最大值？并求這個(gè)最大值.20.如圖，在△ABC中AB=4,AC=6,ZBAC可以發(fā)生變化，以BC為底邊作等腰Rt20.如圖，在△ABC中和點(diǎn)A在BC的異側(cè)，試探索當(dāng)/BAC滿足什么條件時(shí)，線段4屈有最大值？并求這個(gè)最大值21.如圖，等腰△ABC中，AB=AC,NBAC=90°,P為^ABC外一點(diǎn)，PB=7,PC=3,求AP最小值.22.如圖，在等邊422.如圖，在等邊44BC中，P為形外一點(diǎn)，若AP=6,CP=4.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出：當(dāng)/APC=(2)若/APC=60°.①等邊△ABC的邊長(zhǎng)；②求BP的長(zhǎng)度.時(shí)，線段BP取得最大值為.,P為形外一點(diǎn)，若AP=4<2，CP=4..如圖，在等腰Rt△,P為形外一點(diǎn)，若AP=4<2，CP=4.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出：當(dāng)/APC=時(shí)，線段BP取得最大值為 (2)若/APC=75°,求BP的長(zhǎng)度..如圖，在等腰Rt△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,P為形外一點(diǎn)，若BP=2,CP=2V3.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出：當(dāng)/BPC=時(shí)，線段AP取得最大值為 ；(2)若NBPC=60°,求AP的長(zhǎng)度.四.類型4：還原起點(diǎn)構(gòu)造全等確定動(dòng)點(diǎn)路徑，求單線段的最值或折線段和的最值 點(diǎn)到直線之間垂線段最短或?qū)④婏嬹R模型..如圖，已知在等腰Rt△ABC中，/ACB=90°,D為BC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以A為直角頂點(diǎn)，AD為腰在AD的右側(cè)作等腰Rt△ADE,AC=BC=2,M為AB中點(diǎn)，連接ME，當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段ME的最小值為..如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，射線DE垂直平分BC,M是射線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CM，將線段CM繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CN,連接DN,則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段DN長(zhǎng)度的最小值是.

.如圖，/MON=90°,A為ON上的一個(gè)定點(diǎn)，且OA=6,P為OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊在直線AP的下方作等邊△APQ,連接OQ,在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段OQ的最小值為..如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=1,P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為直角頂點(diǎn)BP為腰作等腰Rt△BMP，/BPM=90°,PB=PM，則MA+MB的最小值為..如圖，在等邊^(qū)ABC中，D為AB邊的中點(diǎn)，E為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DE邊作等邊^(qū)DEF(F點(diǎn)在DE的右側(cè))，若AB=2.(1)連接AF,則AF的最小值為；(2)連接AF、BF,則AF+BF的最小值為.B EC B EC.如圖，在△ABC中，AC=6,ZBAC=60°,D、E分別為邊AB、邊AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DE為邊在DE的下方作等邊△DEF,O為等邊△DEF的中心，連接CO,則CO的最小值為..如圖，在AABC中，AB<AC,AC=6,ZBAC=60°,P為邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BP為底邊在BP的上方作等腰△BPQ，其中BQ=PQ,ZBQP=120°,連接CQ,則CQ的最小值為 .

五、類型5：拼接法構(gòu)造全等求線段和最值一一兩點(diǎn)之間線段最短.如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，射線DE//BC，M、N分別為線段AB與DE上的點(diǎn)，連結(jié)CM、CN,若BM=DN,求CM+CN的最小值..已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E、F分別是邊BD、CB上的動(dòng)點(diǎn)，且DE=BF,則線段和AE+AF最小值為.（可保留復(fù)合二次根式，不需要化簡(jiǎn)）.如圖，若AD為邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC的高線，E、F分別為AD、AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF,當(dāng)NBFC的度數(shù)為多少時(shí)，線段和BF+CE取得最小值，并求這個(gè)最小值.35.如圖，在矩形35.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=2.C3,P、Q分別為對(duì)角線AC、邊CD上的兩點(diǎn)，且AP=CQ,則BP+BQ的最小值.如圖，在Rt△ABC中，NC=90°,ZB=30°,AB=6,ZBAC的平分線交BC于點(diǎn)D,P、Q分別為邊AB、邊AC上的兩點(diǎn)，且AP=CQ，則DP+DQ的最小值為.如圖，在△ABC中，/A=45°,ZABC=60°,BC=8,D、E分別為AB.AC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD

=CE，練級(jí)CD、BE，則BE+CD的最小值為.（可保留符合二次根式，不要求化簡(jiǎn)）六、類型6：平移構(gòu)造平行四邊形求線段和最值一一利用三角形的三邊關(guān)系.如圖，在直角梯形ABCD中AD〃BC,求NB=90°,AD=3,AB=BC=9,MN為AB上的一條動(dòng)線段，且MN=2,連接CN、DM,則四邊形CDMN周長(zhǎng)的最小值為39.39.如圖，正方形ABCD中，AB=2,MN為對(duì)角線BD上的一條動(dòng)線段，且MN=Q，連接CM、CN,則CM+CN的最小值為.如圖，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,4）,B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,—1）,C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,1）,過(guò)點(diǎn)C作％軸的平行線CD,M為CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN±%軸于點(diǎn)N,連接AM、BN,則AM+BN的最小值為.

七、類型7：利用斜邊的中線、中位線性質(zhì)轉(zhuǎn)化構(gòu)造三角形的三邊關(guān)系.如圖，已知/MON=90°,斜邊為2的Rt△ABC的銳角頂點(diǎn)A、B分別在邊OM,ON上，當(dāng)點(diǎn)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，直角三角形的形狀保持不變，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離為..如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊ABC的邊長(zhǎng)為定長(zhǎng)6,A、B兩點(diǎn)分別在y軸正半軸、％軸正半軸上滑動(dòng)，則線段OC的最大值 ..如圖，若NMON=90°,矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM,ON上，當(dāng)點(diǎn)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，且矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2,BC=1,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離為..如圖，/MON=90°,已知△ABC中，AC=BC=13,AB=10,△ABC的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM,ON上，當(dāng)點(diǎn)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，△ABC的形狀始終保持不變，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最小距離為..如圖，在等腰Rt△ABC中，ZC=90°,AC=BC=4,D為線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CH±BD于點(diǎn)H，連接AH，則AH的最小值為..如圖，在Rt△ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=4,P是4ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足Z1=Z2,則線段BP長(zhǎng)的最小值為一.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=4,E、F分別為邊BC、CD上的兩點(diǎn)，且BE=CF,連接AE、BF交于點(diǎn)P，則CP的最小值為48.如圖，在Rt△ABCAD48.如圖，在Rt△ABCAD=2,連接BD,中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)D是^ABC所在平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且E為BD的中點(diǎn)，則線段CE長(zhǎng)的最大值為八、類型8:費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離(兩點(diǎn)之間線段最短).(1)閱讀理解:如圖1,在4ABC所在平面上存在一點(diǎn)M使得ZAMB=ZAMC=ZBMC=120°,且點(diǎn)M到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小,此時(shí)我們稱點(diǎn)M為^ABC的費(fèi)馬點(diǎn),MA+MB+MC的值為△ABC的費(fèi)馬距離⑵知識(shí)探究：如圖2,分別以AB、AC為邊在△ABC外作等邊4ABD和等邊△ACE,BE、CD交于點(diǎn)M求證:①ZAAB=ZAMC=ZBMC=120°;②根據(jù)⑴中的定義，圖2中的點(diǎn)M為^ABC的費(fèi)馬點(diǎn),線段的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離,即MA+MB+MC=,證明你的結(jié)論；

圖1圖2圖1圖2(3)知識(shí)應(yīng)用：村莊A、B、C構(gòu)成了如圖3所示的銳角△ABC,已知AC=8km,BC=10km,ZACB=60°,現(xiàn)選取一點(diǎn)M打水井,使水井M到三村A、B、C所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小，請(qǐng)畫(huà)圖找到M點(diǎn)，并求輸水管總長(zhǎng)度的最小值..如圖，在△ABC中,AC=4,BC=3,ZACB=30°,M為^ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AM、BM、CM,且ZAMC=ZCMB=ZBMA=120°，則MA+MB+MC=..如圖，在四邊形ABCD中，ZB=60°,AB=BC=3,AD=4,ZBAD=90°則PA+PC+PD的最小值為..如圖,在Rt△AOB中，ZA=30°,點(diǎn)O(0,.0),B(1,0)，點(diǎn)A在y軸正平軸上，以AB為一邊作等邊△ABP,使得點(diǎn)P在第一象限.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2)在4AOB內(nèi)部存在一點(diǎn)Q.使得AQ+OQ+BQ之和最小,請(qǐng)求出這個(gè)和的最小值.

.如圖，P為等邊△ABC形內(nèi)一點(diǎn)，將△ABP繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60請(qǐng)于此圖解答下而的問(wèn)題：(1)若PA=3v2，PB=5,ZAPB=105°,求PC的長(zhǎng)度;(2)若PA=4v3，PB=6,PC=2<3，求等邊^(qū)ABC的邊長(zhǎng);(3)若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6,求PA+PB+PC的最小值.九、類型9：設(shè)參表達(dá)量，配方法或柯西不等式求二次代數(shù)式的最值.如圖，在R△ABC中，NC=90°,AC=6cm,BC=4cm.點(diǎn)P在邊AC上，從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q在邊BC上，從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)，若點(diǎn)P、Q均以1cm/5的速度同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，連接PQ,則線段PQ的最小值是( ).A.20cm B.18cm C.2V5cm D.3%：2cm.如圖，在ABCD中，CE_LAB于點(diǎn)E,F為AD的中點(diǎn)，若AB=5,BC=10,則當(dāng)BE=,CE2一CF2取得最大值為..如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,4）,動(dòng)點(diǎn)P在％軸上運(yùn)動(dòng)，以P為直角頂點(diǎn)作等腰R△APQ（A、P、Q按逆時(shí)針順序），求OQ的最小值..如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6），B點(diǎn)與原點(diǎn)重合，以B為直角頂點(diǎn)，AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A以2單位/秒的速度從（0,6）向原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)B以1單位/秒的速度從原點(diǎn)沿％軸正半軸方向運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中等腰Rt△ABC的形狀不變，線段OC的最小值,58.如圖，點(diǎn)A、B,58.如圖，點(diǎn)A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上

接MC、MD，則MC+MD的最小值為—OA=OB=6，OC=OD=4，連接AB，M為AB上任意一點(diǎn)，連，MC2MD2的最大值是59.如圖，AAP5中，AB=2,ZAPB=90°,在直線AB的同側(cè)作等邊△ABC等邊AAP。和等邊△BPE,則四邊形PDCE的面積的最大值是 。十?類型10：利用代數(shù)式的幾何意義構(gòu)造折線的最值(兩點(diǎn)之間線段最短)60.閱讀材料：例題：說(shuō)明代數(shù)式\：'=1+；(x-3)2+4的幾何意義，并求它的最小值。解：XX2+1+4(x-3)2+4=\：'(x-0)2+(1-0)2+(：xx-3)2+(2-0)2。如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P(x,0)是x軸上一點(diǎn)，則((x-0)2+(1-0)2可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)A(0,1)的距離，(x-3)2+(2-0)2可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)B(3,2)的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長(zhǎng)度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值。設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'，則PA=PA'。因此，求PA+PB的最小值，只需求PA'+PB的最小值為線段A'B的長(zhǎng)度。為此，構(gòu)造Rt△ACB，因?yàn)锳C=3,CB=3,所以A'B=3<2，即原式的最小值為3