常微分方程的差分方法

常微分方程的差分方法第一頁，共三十四頁，2022年，8月28日第三章常微分方程的差分方法1．教學內(nèi)容：

Euler方法：Euler公式，單步顯式公式極其局部截斷誤差；后退Euler公式，單步隱式公式極其局部截斷誤差；梯形公式，預測校正公式與改進Euler公式。2．重點難點：

Euler公式，預測校正公式與改進Euler公式3．教學目標：

了解歐拉方法的幾何意義、對給出的初值問題，能利用Euler公式，改進Euler公式進行數(shù)值求解第二頁，共三十四頁，2022年，8月28日科學技術當中常常需要求解常微分方程的定解問題。這類問題的最簡單的形式，是本章著重要考察的一階方程的初值問題：（1）（2）本章中我們假定右函數(shù)適當光滑以保證初值問題解的存在唯一。雖然求解常微分方程有各種各樣的解析方法，但求解從實際問題中歸結(jié)出來的微分方程要靠數(shù)值解法。初值問題（1）、（2）局部解的唯一存在條件：若連續(xù)且滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)L，對一切有第三頁，共三十四頁，2022年，8月28日差分法是一類重要的數(shù)值方法，這類方法是要尋求離散節(jié)點上的近似解，相鄰節(jié)點間距稱為步長。初值問題的各種差分方法都采用“步進式”，即求解過程順著節(jié)點排列的次序一步一步地向前推進。描述這類算法，只要給出從已知信息計算的遞推公式，這類計算格式統(tǒng)稱為差分格式。微分方程初值問題（1）、（2）的數(shù)值解法，就是求它的解y(x)在一系列節(jié)點上的近似值，用。稱為步長，一般總?cè)為常數(shù)。第四頁，共三十四頁，2022年，8月28日3、1歐拉方法1、歐拉格式

微分方程的本質(zhì)特征是方程中含有導數(shù)項，這也是它難于求解的癥結(jié)所在。數(shù)值解法的第一步就是設法消除其導數(shù)項，這項手續(xù)稱為離散化。實現(xiàn)離散化的基本途徑就用差商代替導數(shù)。譬如，若在點處列出方程并用差商代替，結(jié)果有

第五頁，共三十四頁，2022年，8月28日設用的近似值代入上式右端，記所求結(jié)果為，這樣導出的計算公式（3）已先期算出已知節(jié)點步長這就是眾所周知的歐拉（Euler）格式，若初值是已知的，則依據(jù)上式即可逐步算出數(shù)值解第六頁，共三十四頁，2022年，8月28日yx0仿此不斷地作下去……歐拉方法的幾何解釋Y1第七頁，共三十四頁，2022年，8月28日例1求解初值問題（其解析解為）解：設步長h=0.1，由歐拉公式（3）有：所以，……第八頁，共三十四頁，2022年，8月28日計算結(jié)果表xnyny(xn)xnyny(xn)0.11.10001.09450.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43511.41421.01.78481.7321第九頁，共三十四頁，2022年，8月28日解析解數(shù)值解第十頁，共三十四頁，2022年，8月28日

為簡化分析，人們常假設在第n步求得的為準確即的前提下估計誤差

這種誤差稱為局部截斷誤差。誤差估計為：y(xn+1)-[y(xn)+hf（xn,y(xn)）]

如果不作這一假定，累積了n步的誤差，稱為整體截斷誤差。其表達式為y(xn+1)-yn+1=y(xn+1)-［yn+hf(xn,yn)］第十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日如果一種數(shù)值方法的局部截斷誤差為

則稱它的的精度是p階的，或稱之為p階方法。對于歐拉格式（3），假定則有：第十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日由此我們可知歐拉格式僅為一階方法。將在點泰勒展開：因此有：

雖然歐拉公式（3）的精確度很差，但卻體現(xiàn)了數(shù)值方法的基本思想。第十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日2、隱式歐拉格式設改用向后差商替代方程中的導數(shù)項再離散化，即可導出下列格式（5）該格式右端含有未知的它實際上是個關于的函數(shù)方程。故稱該格式為隱式歐拉格式。由于向前差商和向后差商具有同等精度，故隱式歐拉格式也是一階方法，精度與歐拉格式相當。但計算遠比顯式格式困難得多。第十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日3、兩步歐拉格式設改用中心差商替代方程中的導數(shù)項，再離散化，即可導出下列格式

設用的近似值，的近似值代入上式右端，記所求結(jié)果為，這樣導出的計算公式（6）第十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日無論是顯式歐拉格式還是隱式歐拉格式，它們都是單步法，其特點是計算時只用到前一步的信息，而該格式卻調(diào)用了前面兩步的信息，兩步歐拉格式因此而得名。

兩步歐拉格式具有更高的精度，可以驗證它是二階方法。事實上，由泰勒展開式知所以：第十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日故有：假設則：故兩步歐拉格式是二階方法。第十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日3、2改進的歐拉方法為了改進歐拉方法的精度，我們將微分方程（1）兩邊從x0到x對x積分，于是得到與初值問題（1）、（2）等價的積分方程因此，求解y(x)就轉(zhuǎn)化為計算上式右端的積分。1、梯形格式第十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日一般地有：（7）為了求得的近似值，只要用數(shù)值積分方法求出積分的近似值就可以了，而選用不同的積分方法，便導出不同的差分格式。例如用矩形公式計算，得代入（7）式得第十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日若用分別近似代替則得計算公式此式正是歐拉格式為了提高精度，改用梯形公式計算積分，即代入（7）式得第二十頁，共三十四頁，2022年，8月28日用分別近似代替則得計算公式（8）與梯形求積公式相呼應的這一差分格式稱為梯形格式。它實際上是顯式歐拉格式與隱式歐拉格式的算術平均。第二十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日例：用梯形法求解

解析解解：設步長h=0.1，由梯形格式（8）有：得：整理得：所以：第二十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日第二十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日2、改進的歐拉格式歐拉方法（3）是一種顯式算法，計算量小，但精度低；梯形方法（8）雖然提高了精度，但它是一種隱式算法，必須通過解方程或者迭代過程求解，計算量大。我們綜合這兩種方法，先用歐拉法求得一個初步的近似值，記為，稱之為預報值，然后用它替代梯形法右端的再直接計算，得到校正值。這樣建立的預報－校正系統(tǒng)稱為改進的歐拉格式：預報校正（9）第二十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日把預報代入校正中，便可表為或表為下列平均化形式：可以驗證改進的歐拉格式與梯形格式具有同等的精度，但梯形格式是隱式的，而改進的歐拉格式卻是顯式的，便于計算。（10）第二十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日例2用改進的歐拉格式求解初值問題（其解析解為）解：設步長h=0.1，由改進的歐拉格式（10）有：第二十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日n=0時n=1時第二十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日計算結(jié)果表xnyny(xn)xnyny(xn)0.11.09591.09450.61.48601.48320.21.18411.18320.71.55251.54920.31.26621.26490.81.61651.61250.41.34341.34160.91.67821.67330.51.41641.41421.01.73791.7321改進的歐拉格式明顯地改善了精度第二十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日解析解歐拉格式改進的歐拉