概率與隨機第31講

假設檢驗參數假設檢驗非參數假設檢驗這類問題稱作假設檢驗問題.總體分布已知，檢驗關于未知參數的某個假設總體分布未知時的假設檢驗問題在本講中，我們將討論不同于參數估計的另一類重要的統(tǒng)計推斷問題.這就是根據樣本的信息檢驗關于總體的某個假設是否正確.讓我們先看一個例子.這一講我們討論對參數的假設檢驗.生產流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱外運.怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？把每一罐都打開倒入量杯,看看容量是否合于標準.這樣做顯然不行！罐裝可樂的容量按標準應在350毫升和360毫升之間.每隔一定時間，抽查若干罐.如每隔1小時，抽查5罐，得5個容量的值X1，…，X5，根據這些值來判斷生產是否正常.如發(fā)現(xiàn)不正常，就應停產，找出原因，排除故障，然后再生產；如沒有問題，就繼續(xù)按規(guī)定時間再抽樣，以此監(jiān)督生產，保證質量.通常的辦法是進行抽樣檢查.很明顯，不能由5罐容量的數據，在把握不大的情況下就判斷生產不正常，因為停產的損失是很大的.當然也不能總認為正常，有了問題不能及時發(fā)現(xiàn)，這也要造成損失.如何處理這兩者的關系，假設檢驗面對的就是這種矛盾.在正常生產條件下，由于種種隨機因素的影響，每罐可樂的容量應在355毫升上下波動.這些因素中沒有哪一個占有特殊重要的地位.因此，根據中心極限定理，假定每罐容量服從正態(tài)分布是合理的.現(xiàn)在我們就來討論這個問題.罐裝可樂的容量按標準應在350毫升和360毫升之間.它的對立假設是：稱H0為原假設（或零假設，解消假設）；稱H1為備選假設（或對立假設）.在實際工作中，往往把不輕易否定的命題作為原假設.H0：（=355）H1：這樣，我們可以認為X1,…,X5是取自正態(tài)總體

的樣本，是一個常數.當生產比較穩(wěn)定時，現(xiàn)在要檢驗的假設是：那么，如何判斷原假設H0是否成立呢？較大、較小是一個相對的概念，合理的界限在何處？應由什么原則來確定？由于是正態(tài)分布的期望值，它的估計量是樣本均值，因此可以根據與的差距來判斷H0是否成立.-

||較小時，可以認為H0是成立的；當-

||生產已不正常.當較大時，應認為H0不成立，即-

||問題歸結為對差異作定量的分析，以確定其性質.差異可能是由抽樣的隨機性引起的，稱為“抽樣誤差”或隨機誤差這種誤差反映偶然、非本質的因素所引起的隨機波動.然而，這種隨機性的波動是有一定限度的，如果差異超過了這個限度，則我們就不能用抽樣的隨機性來解釋了.必須認為這個差異反映了事物的本質差別，即反映了生產已不正常.這種差異稱作“系統(tǒng)誤差”問題是，根據所觀察到的差異，如何判斷它究竟是由于偶然性在起作用，還是生產確實不正常？即差異是“抽樣誤差”還是“系統(tǒng)誤差”所引起的？這里需要給出一個量的界限.問題是：如何給出這個量的界限？這里用到人們在實踐中普遍采用的一個原則：小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.下面我們用一例說明這個原則.小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.這里有兩個盒子，各裝有100個球.一盒中的白球和紅球數99個紅球一個白球…99個另一盒中的白球和紅球數99個白球一個紅球…99個小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.現(xiàn)從兩盒中隨機取出一個盒子，問這個盒子里是白球99個還是紅球99個？小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.我們不妨先假設：這個盒子里有99個白球.現(xiàn)在我們從中隨機摸出一個球，發(fā)現(xiàn)是此時你如何判斷這個假設是否成立呢？假設其中真有99個白球，摸出紅球的概率只有1/100，這是小概率事件.這個例子中所使用的推理方法，可以稱為小概率事件在一次試驗中竟然發(fā)生了，不能不使人懷疑所作的假設.帶概率性質的反證法不妨稱為概率反證法.小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.它不同于一般的反證法概率反證法的邏輯是：如果小概率事件在一次試驗中居然發(fā)生，我們就以很大的把握否定原假設.一般的反證法要求在原假設成立的條件下導出的結論是絕對成立的，如果事實與之矛盾，則完全絕對地否定原假設.請看紅樓夢中的擲骰子現(xiàn)在回到我們前面罐裝可樂的例中：在提出原假設H0后，如何作出接受和拒絕H0的結論呢？在假設檢驗中，我們稱這個小概率為顯著性水平，用表示.常取的選擇要根據實際情況而定。罐裝可樂的容量按標準應在350毫升和360毫升之間.一批可樂出廠前應進行抽樣檢查，現(xiàn)抽查了n罐，測得容量為X1,X2,…,Xn，問這一批可樂的容量是否合格？提出假設選檢驗統(tǒng)計量~N(0,1)H0：=355H1：≠355由于已知，它能衡量差異大小且分布已知.對給定的顯著性水平

，可以在N(0,1)表中查到分位點的值，使故我們可以取拒絕域為：也就是說,“”是一個小概率事件.W：如果由樣本值算得該統(tǒng)計量的實測值落入區(qū)域W，則拒絕H0；否則，不能拒絕H0.如果H0是對的，那么衡量差異大小的某個統(tǒng)計量落入區(qū)域W(拒絕域)是個小概率事件.如果該統(tǒng)計量的實測值落入W，也就是說，H0成立下的小概率事件發(fā)生了，那么就認為H0不可信而否定它.否則我們就不能否定H0（只好接受它）.這里所依據的邏輯是：不否定H0并不是肯定H0一定對，而只是說差異還不夠顯著，還沒有達到足以否定H0的程度.所以假設檢驗又叫“顯著性檢驗”如果顯著性水平

取得很小，則拒絕域也會比較小.其產生的后果是：H0難于被拒絕.如果在很小的情況下H0仍被拒絕了，則說明實際情況很可能與之有顯著差異.基于這個理由，人們常把時拒絕H0稱為是顯著的，而把在時拒絕H0稱為是高度顯著的.在上面的例子的敘述中，我們已經初步介紹了假設檢驗的基本思想和方法.下面，我們再結合另一個例子，進一步說明假設檢驗的一般步驟.

例2某工廠生產的一種螺釘，標準要求長度是32.5毫米.實際生產的產品，其長度X假定服從正態(tài)分布未知，現(xiàn)從該廠生產的一批產品中抽取6件,得尺寸數據如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03問這批產品是否合格?…分析：這批產品(螺釘長度)的全體組成問題的總體X.現(xiàn)在要檢驗E(X)是否為32.5.提出原假設和備擇假設第一步：已知X~未知.第二步：能衡量差異大小且分布已知取一檢驗統(tǒng)計量，在H0成立下求出它的分布第三步：即“

”是一個小概率事件.小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.對給定的顯著性水平=0.01，查表確定臨界值,使得否定域W:|t|>4.0322得否定域W:|t|>4.0322故不能拒絕H0.第四步：將樣本值代入算出統(tǒng)計量t的實測值,|t|=2.997<4.0322沒有落入拒絕域這并不意味著H0一定對，只是差異還不夠顯著,不足以否定H0.假設檢驗會不會犯錯誤呢？由于作出結論的依據是下述小概率原理小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.不是一定不發(fā)生如果H0成立，但統(tǒng)計量的實測值落入否定域，從而作出否定H0的結論，那就犯了“以真為假”的錯誤.如果H0不成立，但統(tǒng)計量的實測值未落入否定域，從而沒有作出否定H0的結論，即接受了錯誤的H0，那就犯了“以假為真”的錯誤.請看下表

假設檢驗的兩類錯誤H0為真實際情況決定拒絕H0接受H0H0不真第一類錯誤正確正確第二類錯誤P{拒絕H0|H0為真}=,P{接受H0|H0不真}=.犯兩類錯誤的概率:顯著性水平為犯第一類錯誤的概率.

兩類錯誤的概率的關系兩類錯誤是互相關聯(lián)的，當樣本容量固定時，一類錯誤概率的減少導致另一類錯誤概率的增加.要同時降低兩類錯誤的概率，或者要在不變的條件下降低，需要增加樣本容量.請看演示假設檢驗和區(qū)間估計的關系請看演示假設檢驗和區(qū)間估計單、雙側檢驗前面一例的檢驗，拒絕域取在兩側，稱為雙側檢驗.下面看一個單側檢驗的例子.想了解單雙側檢驗的區(qū)別，請看演示.單雙側檢驗例3

某織物強力指標X的均值=21公斤.改進工藝后生產一批織物，今從中取30件，測得=21.55公斤.假設強力指標服從正態(tài)分布且已知=1.2公斤，問在顯著性水平=0.01下，新生產織物比過去的織物強力是否有提高?解:提出假設:取統(tǒng)計量否定域為W:=2.33是一小概率事件代入=1.2,n=30，并由樣本值計算得統(tǒng)計量U的實測值U=2.51>2.33故拒絕原假設H0.落入否定域解:提出假設:取統(tǒng)計量否定域為W:=2.33此時可能犯第一類錯誤，犯錯誤的概率不超過0.01.

例4

為比較兩臺自動機床的精度，分別取容量為10和8的兩個樣本，測量某個指標的尺寸(假定服從正態(tài)分布)，得到下列結果：在=0.1時，問這兩臺機床是否有同樣的精度?車床甲：1.08,1.10,1.12,1.14,1.15,1.25,1.36,1.38,1.40,1.42車床乙：1.11,1.12,1.18,1.22,1.33,1.35,1.36,1.38解:設兩臺自動機床的方差分別為在=0.1下檢驗假設:其中為兩樣本的樣本方差取統(tǒng)計量否定域為W:或由樣本值可計算得F的實測值為:查表得由于0.304<1.51<3.68，故接受H0

.否定域為W:或F=1.51這時可能犯第二類錯誤.想知道如何計算犯第二類錯誤的概率，再請看演示

兩類錯誤的概率的關系關于特性曲線的內容.其它情況可參看書上表(p252)，否定域請自己寫出.注意：我們討論的是正態(tài)總體均值和方差的假設檢驗，或樣本容量較大，可用正態(tài)近似的情形.下面我們對本講內容作簡單小結.

提出假設

根據統(tǒng)計調查的目的,提出原假設H0

和備選假設H1作出決策抽取樣本檢驗假設

對差異進行定量的分析，確定其性質(是隨機誤差還是系統(tǒng)誤差.為給出兩者界限，找一檢驗統(tǒng)計量T，在H0成立下其分布已知.）拒絕還是不能拒絕H0顯著性水平P(