高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明直接證明與間接證明第2章

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．實(shí)數(shù)a，b，c不全為0等價于()A．a(chǎn)，b，c均不為0B．a(chǎn)，b，c中至多有一個為0C．a(chǎn)，b，c中至少有一個為0D．a(chǎn)，b，c中至少有一個不為0【解析】“不全為0”的對立面為“全為0”，故“不全為0”的含義為“至少有一個不為0”．【答案】D2．(2023·山東高考)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實(shí)根”時，要做的假設(shè)是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實(shí)根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實(shí)根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實(shí)根【解析】依據(jù)反證法的要求，即至少有一個的反面是一個也沒有，直接寫出命題的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實(shí)根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根，故應(yīng)選A.【答案】A3．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為()A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線【解析】假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線，故應(yīng)選C.【答案】C4．設(shè)a，b，c大于0，則3個數(shù)：a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)的值()【導(dǎo)學(xué)號：60030059】A．都大于2 B．至少有一個不大于2C．都小于2 D．至少有一個不小于2【解析】假設(shè)a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)三個數(shù)都小于2，則必有a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)<6，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥2eq\r(a·\f(1,a))＋2eq\r(b·\f(1,b))＋2eq\r(c·\f(1,c))＝6，故二者相矛盾．所以假設(shè)不成立．【答案】D5．用反證法證明“三角形中最多只有一個內(nèi)角為鈍角”，下列假設(shè)中正確的是()A．有兩個內(nèi)角是鈍角B．有三個內(nèi)角是鈍角C．至少有兩個內(nèi)角是鈍角D．沒有一個內(nèi)角是鈍角【解析】“最多只有一個”的否定是“至少有兩個”，故選C.【答案】C二、填空題6．命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是___________________________________________________________．【解析】“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，故結(jié)論的否定是：沒有一個面是三角形或四邊形或五邊形．【答案】沒有一個面是三角形或四邊形或五邊形7．設(shè)a，b是兩個實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是________(填序號)．【解析】假設(shè)a，b均不大于1，即a≤1，b≤1.則①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一個大于1”，故選③.【答案】③8．(2023·開原模擬)如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則△A1B1C1和△A2B【解析】由條件知，△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則△A1B1C1是銳角三角形，假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA2＝cosA1＝sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A1))，,sinB2＝cosB1＝sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B1))，,sinC2＝cosC1＝sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C1))，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A2＝\f(π,2)－A1，,B2＝\f(π,2)－B1，,C2＝\f(π,2)－C1.))那么，A2＋B2＋C2＝eq\f(π,2)，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾．所以假設(shè)不成立，又顯然△A2B2C2不是直角三角形，所以△A2B2C2是鈍角三角形．【答案】銳角三角形，純角三角形三、解答題9．已知f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)，證明：方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根．【證明】假設(shè)x0是f(x)＝0的負(fù)數(shù)根，則x0<0且x0≠－1且ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1)，由0<ax0<1?0<－eq\f(x0－2,x0＋1)<1，解得eq\f(1,2)<x0<2，這與x0<0矛盾，所以假設(shè)不成立，故方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根．10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1，求證：a，b，c中至少有一個大于eq\f(3,2).【證明】假設(shè)a，b，c都小于等于eq\f(3,2)，即a≤eq\f(3,2)，b≤eq\f(3,2)，c≤eq\f(3,2).∵abc＝1，∴a，b，c三數(shù)同為正或一正兩負(fù)．又a＋b＋c＝0，∴a，b，c只能是一正兩負(fù)，不妨設(shè)a＞0，b＜0，c＜0.則b＋c＝－a，bc＝eq\f(1,a)，∴b，c為方程x2＋ax＋eq\f(1,a)＝0的兩根，∴Δ＝a2－eq\f(4,a)≥0，即a3≥4.∴a≥eq\r(3,4)＞eq\r(3,\f(27,8))＝eq\f(3,2)，這與a≤eq\f(3,2)矛盾，∴a，b，c中至少有一個大于eq\f(3,2).[能力提升]1．下列命題運(yùn)用“反證法”證明正確的是()A．命題：若a>b>0，則eq\r(a)>eq\r(b).用反證法證明：假設(shè)eq\r(a)>eq\r(b)不成立，則eq\r(a)<eq\r(b).若eq\r(a)<eq\r(b)，則a<b，與已知a>b矛盾．故假設(shè)不成立，結(jié)論eq\r(a)>eq\r(b)成立B．命題：已知二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)有實(shí)根，求證：Δ＝b2－4ac≥用反證法證明：假設(shè)Δ＝b2－4ac<0，則ax2＋bx＋c＝0無實(shí)根，與已知方程有實(shí)根矛盾，∴Δ≥0C．命題：已知實(shí)數(shù)p滿足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，證明：關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實(shí)數(shù)根．用反證法證明：假設(shè)方程x2－2x＋5－p2＝0有實(shí)數(shù)根，由已知實(shí)數(shù)p滿足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2<p<－eq\f(1,2)，而關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0的根的判別式Δ＝4(p2－4)，∵－2<p<－eq\f(1,2)，∴eq\f(1,4)<p2<4，∴Δ<0，即關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實(shí)數(shù)根D．命題：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R.“若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0”用反證法證明：假設(shè)a＋b<0，則a<－b，b<－a.∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，則f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．這與已知相矛盾．∴原命題成立【解析】A．反證法中的反證不全面，“eq\r(a)>eq\r(b)”的否定應(yīng)為“eq\r(a)≤eq\r(b)”．B．本題犯了“循環(huán)論證”的錯誤，實(shí)質(zhì)上沒有求出該題．C．在解題的過程中并沒有用到假設(shè)的結(jié)論，故不是反證法．【答案】D2．設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR>0”是“P，Q，R同時大于0”的()【導(dǎo)學(xué)號：60030060A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】首先，若P，Q，R同時大于0，則必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，則必有兩個為負(fù)，不妨設(shè)P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，所以b<0，與b>0矛盾．故P，Q，R都大于0.【答案】C3．用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，故假設(shè)錯誤；②所以一個三角形不能有兩個直角；③假設(shè)△ABC中有兩個直角，不妨設(shè)∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確順序?yàn)開_________．【解析】由反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟可知，上述步驟的順序應(yīng)為③①②.【答案】③①②4．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,2x－2)，如果數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＋1＝f(an)，求證：當(dāng)n≥2時，恒有an<3成立．【證明】假設(shè)an≥3(n≥2)，則由已知得an＋1＝f(an)＝eq\f(a\o\al(2,n),2an－2)，所以當(dāng)n≥2時，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(an,2an－2)＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,an－1)))≤eq\f(1,2)eq\b\lc