江西省吉安市縣第二中學(xué)2022高三數(shù)學(xué)文測試題含解析

江西省吉安市縣第二中學(xué)2022高三數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sinB?sinC=sin2A，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形參考答案：C【考點】余弦定理；正弦定理．【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得．由sinB?sinC=sin2A，利正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴．∵sinB?sinC=sin2A，∴bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，∴（b﹣c）2=0，解得b=c．∴△ABC的形狀是等邊三角形．故選：C．【點評】本題考查了正弦定理余弦定理、等邊三角形的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2.已知：命題“,”；命題“”，則下列命題正確的是（

）A．命題“”是真命題

B．命題“”是真命題

C.命題“”是真命題

D．命題“”是真命題參考答案：B3.設(shè)集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B={0，1}，則?AB=（）A．{﹣3，﹣2，﹣1} B．{﹣1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1}參考答案：B【考點】1H：交、并、補集的混合運算．【分析】列舉出全集A，即可確定出B的補集．【解答】解：∵合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}={﹣1，0，1，2，3}，B={0，1}，∴?UA={﹣1，2，3}．故選B．4.已知等差數(shù)列的前項和，滿足，則＝（）A.-2014 B.-2013 C.-2012 D.-2011參考答案：D略5.設(shè)集合M={x|﹣2＜x＜3}，P={x|x≤﹣1}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：A考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：簡易邏輯．分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合集合的基本運算進行判斷即可．解答：解：∵M={x|﹣2＜x＜3}，P={x|x≤﹣1}，∴M∪P={x|x＜3}，M∩P={x|﹣2＜x≤﹣1}，則M∩P?M∪P，即“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分條件，故選：A點評：本題主要考查充分條件和必要條件判斷，根據(jù)集合的交集和并集進行運算是解決本題的關(guān)鍵．6.七巧板是我們祖先的一項創(chuàng)造，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形（兩塊全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形組成的.如圖是一個用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.已知定義在上的函數(shù)滿足：①對任意，有；②當，有，若函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是（

）A．9

B．10

C．11

D．12參考答案：A試題分析：由題意，作出函數(shù)的圖象，在同一坐標系為作出的圖象，由圖象可知，兩圖象在上交點有9個，即函數(shù)在上有9零點．故選A．考點：函數(shù)的零點，數(shù)形結(jié)合思想．【名師點睛】解決函數(shù)零點問題的方法：1．如果函數(shù)比較簡單，可用函數(shù)零點存在定理進行判斷．如果要判斷零點個數(shù)，可能還需要研究函數(shù)的單調(diào)性一，函數(shù)的變化趨勢．2．函數(shù)的零點，即方程的根與函數(shù)圖象交點問題的相互轉(zhuǎn)化，這樣可以通過畫出函數(shù)的圖象，通過觀察研究函數(shù)圖象的交點個數(shù)來確定方程根的個數(shù)．本題我們通過畫出函數(shù)和的圖象，從而從圖象中確定交點個數(shù)，這種方法直觀、簡潔．8.某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為（）A．6π B．7π C．8π D．12π參考答案：B【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知該幾何體上半部分為半球，下面是一個圓柱，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，即可求出表面積．【解答】解：由三視圖可知該幾何體上半部分為半球，下面是一個圓柱，所以其表面積為．故選B．9.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，對都有成立，當且時，有。給出下列命題

(1)

(2)在[_2，2]上有5個零點

(3)(2013，0)是函數(shù)的一個對稱中心

(4)直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸則正確命題個數(shù)是

A．1

B．2

C．3

D．4

參考答案：C10.已知四棱錐的三視圖如圖，則四棱錐的全面積為()

A.

B.C.5

D.4參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某高級中學(xué)共有900名學(xué)生，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取1個容量為45的樣本，其中高一年級抽20人，高三年級抽10人，則該校高二年級學(xué)生人數(shù)為

．參考答案：300【考點】分層抽樣方法．【分析】用分層抽樣的方法抽取一個容量為45的樣本，根據(jù)高一年級抽20人，高三年級抽10人，得到高二年級要抽取的人數(shù)，根據(jù)該高級中學(xué)共有900名學(xué)生，算出高二年級學(xué)生人數(shù)．【解答】解：∵用分層抽樣的方法從某校學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，其中高一年級抽20人，高三年級抽10人，∴高二年級要抽取45﹣20﹣10=15，∵高級中學(xué)共有900名學(xué)生，∴每個個體被抽到的概率是=∴該校高二年級學(xué)生人數(shù)為=300，故答案為：300．12.已知函數(shù)，在函數(shù)的定義域內(nèi)任取一點，使得的概率是___________．

參考答案：

略13.甲、乙兩名同學(xué)從三門選修課中各選修兩門，則兩人所選課程中恰有一門相同的概率為

。參考答案：14.在中，角，，所對的邊分別為，，，為的面積，若向量，滿足∥，則角

．參考答案：15.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的模為 .參考答案：16.已知正三棱錐P-ABC的體積為，其外接球球心為O，且滿足，則正三棱錐P-ABC的外接球半徑為

．參考答案：滿足三角形在球的大圓上，且為正三角形設(shè)球半徑為，正三角形的高為，邊長為解得

17.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，＞0（x＞0），則不等式x2f（x）＞0的解集是．參考答案：（﹣1，0）∪（1，+∞）【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】先根據(jù)[]′=＞0判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而分別看x＞1和0＜x＜1時f（x）與0的關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷﹣1＜x＜0和x＜﹣1時f（x）與0的關(guān)系，最后取x的并集即可得到答案．【解答】解：[]′=＞0，即x＞0時是增函數(shù)，當x＞1時，＞f（1）=0，f（x）＞0．0＜x＜1時，＜f（1）=0，f（x）＜0，又f（x）是奇函數(shù)，所以﹣1＜x＜0時，f（x）=﹣f（﹣x）＞0，x＜﹣1時f（x）=﹣f（﹣x）＜0，則不等式x2f（x）＞0即f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞），故答案為：（﹣1，0）∪（1，+∞）．【點評】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用．在判斷函數(shù)的單調(diào)性時，?？衫脤?dǎo)函數(shù)來判斷．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，，，，，，，，M是PA的中點．(1)求證：BM∥平面PCD；(2)求三棱錐B-CDM的體積．參考答案：（1）詳見解析；（2）16.【分析】（1）取中點，證明為平行四邊形，得到，從而得到平面；（2）對三棱錐進行等體積轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為求的體積.過作的垂線，垂足為，證明為三棱錐的高并求出求出其長度，求出的面積，得到三棱錐的體積，即三棱錐的體積.【詳解】(1)證明:取中點，連接，，作,則,易知ABCH為平行四邊形，有.為的中位線，，且.又，且，，且，則為平行四邊形，，又平面，平面，平面.(2)解:過作的垂線，垂足為，取中點，連結(jié)又平面平面，平面平面，平面，平面.為三棱錐的高，,為中點，，，為等腰直角三角形，，平面平面，平面平面，平面，平面.為的中點，，過作交于點，為平行四邊形，，.【點睛】本題考查通過線線平行證明線面平行，通過面面垂直證明線面垂直，變換頂點和底面進行等體積轉(zhuǎn)化，求三棱錐的體積，屬于中檔題.19.如圖，正三棱柱（底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面）中，是的中點，。

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求點到平面的距離。參考答案：解：證明：連接A1B，設(shè)A1B∩AB1=E，連接DE.∵AA1=AB

∴四邊形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中點，又D是BC的中點，∴DE∥A1C.

∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.（Ⅱ）由體積法略20.已知△ABC的面積S滿足≤S≤3，且·=6,與的夾角為.(1)求的范圍;(2)求函數(shù)=的最大值.參考答案：解：（1）∵∴S=3.

∴。（2）上遞增，∴.

略21.（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍．參考答案：解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．當a<0時，對x∈R，有f′(x)>0，∴當a<0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)．當a>0時，由f′(x)>0，解得x<－或x>；由f′(x)<0，解得－<x<，∴當a>0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－，)．(2)∵f(x)在x＝－1處取得極值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，在x＝1處取得極小

值f(1)＝－3.∵直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，∴結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m的取值范圍是(－3,1)．略22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).(1)若直線l過點（1，0），并且與曲線相切，求直線l的方程；(2)設(shè)函數(shù)在[1,e]上有且只有一個零點，求a的取值范圍.(其中a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))參考答案：解：（1）設(shè)切點坐標為（x0，y0），則y0=x0lnx0,切線的斜率為lnx0+1，所以切線l的方程為y-x0lnx0=（lnx0+1）（x-x0），又切線l過點（1，0），所以有-x0lnx0=（lnx0+1）(1-x0)，即lnx0=x0-1，設(shè)h（x）=lnx-x+1，則，x∈（0,1），，h（x）單調(diào)遞增，x∈（1,），，h（x）單調(diào)遞減，h（x）max=h(1)=0有唯一解，所以x0=1，y0=0.所以直線l的方程為y=x-1.（4分）（2）因為g（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=0，所以所求問題等價于函數(shù)g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上沒有零點.因為.所以由lnx+1-a<00<x<ea-1,x>ea-1,所以g（x）在（0，ea-1）上單調(diào)遞減，在（ea-1，）上單調(diào)遞增.（6分）①當ea-1≤1，即a≤1時，g（x）在（1,e]上單調(diào)遞增，所以g（x）>g(1)=0.此時函數(shù)g（x）在（1,e]上沒有零點，（7分）②當1<ea-1<e,即1<a<2時，g（x）在[1,ea-1)上單調(diào)遞減，在（ea-1,e]上單