高中數(shù)學(xué)人教A版第一章解三角形 同課異構(gòu)

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。單元質(zhì)量評(píng)估(一)(第一章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.在△ABC中，若b=2asinB，則A=()°或60° °或60°°或60° °或150°【解析】選D.因?yàn)閎=2asinB，所以bsinB=a12，由正弦定理知，si所以A=30°或150°.2.(2023·廣州高二檢測(cè))在△ABC中，A=60°，a=6，b=4.滿足條件的△ABC()A.無(wú)解 B.有解C.有兩解 D.不能確定【解析】選A.因?yàn)閍sinA=b所以6sin60°=4所以sinB=2，故滿足條件的△ABC無(wú)解.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，則此三角形解的情況是()A.一解 B.兩解C.一解或兩解 D.無(wú)解【解析】選B.因?yàn)閎sinA=100×22=502，而0<5023.在△ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不能確定【解析】選C.由正弦定理可把不等式轉(zhuǎn)化為a2+b2<c2.又因?yàn)閏osC=a24.在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，則最短邊的邊長(zhǎng)等于()A.63 B.62 C.12【解題指南】由三角形內(nèi)角和定理求出角A，再利用三角形中大角對(duì)大邊確定最小邊.【解析】選A.由三角形內(nèi)角和定理得A=180°-(45°+60°)=75°，因?yàn)槿切沃写蠼菍?duì)大邊，故最短的邊為b，由正弦定理得bsin45°=1所以b=sin45°sin60°=225.已知在△ABC中，AB=6，A=30°，B=120°，則△ABC的面積為() B.18 3 3【解析】選C.因?yàn)锳=30°，B=120°，所以C=30°.所以BA=BC=6.所以S△ABC=12=12×6×6×32=96.若在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，那么cosC=()14 B.14 23【解析】選A.由正弦定理得，a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，設(shè)a=2x，b=3x，c=4x(x>0)，所以cosC=a2+=-147.三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和3，它們夾角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根，則三角形的另一邊長(zhǎng)為() B.2 【解題指南】設(shè)已知的兩邊為a，b，利用根與系數(shù)關(guān)系求出a，b的夾角的余弦值，再利用余弦定理求出第三邊的長(zhǎng).【解析】選B.設(shè)已知的兩邊為a，b，三角形為ABC，因?yàn)槿切蝺蛇卆，b的夾角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根，所以cosC=-35.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=25+9-2×5×3×-35=52，所以c=528.(2023·濰坊高二檢測(cè))設(shè)a，b，c分別是△ABC中A，B，C對(duì)應(yīng)邊的邊長(zhǎng)，則直線sinA·x-ay-c=0與bx+sinB·y+sinC=0的位置關(guān)系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直【解析】選，b，c分別是△ABC中A，B，C對(duì)應(yīng)邊的邊長(zhǎng)，則直線sinA·x-ay-c=0的斜率為sinAbx+sinB·y+sinC=0的斜率為-b因?yàn)閟inAa·-bsinB=所以兩條直線垂直.9.(2023·唐山高一檢測(cè))如圖，一棟建筑物AB的高為(30-103)m，在該建筑物的正東方向有一個(gè)通信塔CD.在它們之間的地面點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為()A.30m B.60m C.30m D.40m【解析】選B.如圖，在Rt△ABM中，AM=ABsin∠AMB=30-103sin15°過(guò)點(diǎn)A作AN⊥CD于點(diǎn)N，易知∠MAN=∠AMB=15°，所以∠MAC=30°+15°=45°，又因?yàn)椤螦MC=180°-15°-60°=105°，所以∠ACM=30°.在△AMC中，由正弦定理得MCsin45°=解得MC=403CD=403×sin60°=60(m)，故通信塔CD的高為60m.【拓展延伸】求距離問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)首先選取適當(dāng)基線，畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形問(wèn)題.(2)明確所求的距離在哪個(gè)三角形中，有幾個(gè)已知元素.(3)確定使用正弦定理或余弦定理解三角形.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某人站在山頂看見(jiàn)一列車隊(duì)向山腳駛來(lái)，他看見(jiàn)第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見(jiàn)第二輛車與第三輛車的俯角差，則第一輛車和第二輛車之間的距離d1與第二輛車和第三輛車之間的距離d2之間的關(guān)系為()>d2 =d2<d2 D.不能確定大小【解析】選C.設(shè)山頂為點(diǎn)P，山高為PD，第一、二、三輛車分別為A，B，C，俯角差為α，作出圖形如圖，由題知∠CPB=∠BPA=α，由正弦定理，得d2sinα=PBsin∠PCB，即PBsinα=d2sin∠PCB=d1sin∠PAB，又因?yàn)閟in∠PAB>sin∠PCB，所以d1<d2.10.若△ABC的三邊分別是a，b，c，它的面積為a2+b° ° ° °【解析】選A.由題意知12ab·sinC=a所以3sinC=a2所以tanC=3311.(2023·福州高二檢測(cè))已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c-bc-a=sinAA.π6 B.π4 C.π3【解題指南】利用正弦定理將c-bc-a=【解析】選C.根據(jù)正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R，得c-bc-a=sinAsinC+sinB=ac+b，即a2+c2-b12.(2023·廈門(mén)高二檢測(cè))在不等邊三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，如果sin2(B+C)<sin2B+sin2C，()A.0,π2 C.π6,π3【解析】選D.由題意得sin2A<sin2B+sin2再由正弦定理得a2<b2+c2，即b2+c2-a2>0.則cosA=b2因?yàn)?<A<π，所以0<A<π2又a為最大邊，所以A>π3因此得角A的取值范圍是π3二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)13.在△ABC中，a=3，b=6，A=2π3，則B=【解析】由正弦定理得3sin2π3所以sinB=22因?yàn)锽∈0,所以B=π4答案：π14.(2023·臨沂高二檢測(cè))已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若cosB=45，a=10，△ABC的面積為42，則b+asinA的值等于【解析】依題意可得sinB=35又因?yàn)镾△ABC=12所以c=14.故b=a2+c所以b+asinA=b+bsinB=16答案：16215.已知△ABC的周長(zhǎng)為2+1，且sinA+sinB=2sinC.若△ABC的面積為16sinC，則角C的度數(shù)為_(kāi)_________【解析】由sinA+sinB=2sinC，得a+b=2c.又因?yàn)閍+b+c=2+1，所以c=1，a+b=2.又因?yàn)镾△ABC=12absinC=1所以ab=13所以cosC=a2+b2-所以C=60°.答案：60°16.如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于__________m.【解析】設(shè)AD垂直BC，垂足為D.由題意得：CD=603，BD=60tan15°=60(2-3)，所以BC=CD-BD=1203-120(m).答案：1203-120三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答時(shí)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)(2023·全國(guó)卷Ⅰ)已知a，b，c分別是△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b，求cosB.(2)若B=90°，且a=2，求△ABC的面積.【解析】(1)因?yàn)閟in2B=2sinAsinC，由正弦定理得b2=2ac，因?yàn)閍=b，所以a=2c.由余弦定理得cosB=a2+c2-b2(2)因?yàn)锽=90°，所以a2+c2=b2，又因?yàn)閎2=2ac，所以a2+c2=2ac，所以a=c=2，所以S△ABC=12×2×218.(12分)在△ABC中，若tanAtanB=a【解析】方法一：由正弦定理得：sinAcosBsinBcosA=sin

2Asin所以sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A=180°-2B，即：A=B或A+B=90°，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.方法二：sinAcosBcosAsinB=a2b2化簡(jiǎn)：b2(a2+c2-b2)=a2(b2+c2-a2)，所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，所以a=b或a2+b2=c2，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.19.(12分)(2023·錦州高二檢測(cè))風(fēng)景秀美的鳳凰湖畔有四棵高大的銀杏樹(shù)，記作A，B，P，Q，湖岸部分地方圍有鐵絲網(wǎng)不能靠近.欲測(cè)量P，Q兩棵樹(shù)和A，P兩棵樹(shù)之間的距離，現(xiàn)可測(cè)得A，B兩點(diǎn)間的距離為100m，∠PAB=75°，∠QAB=45°，∠PBA=60°，∠QBA=90°，如圖所示.則P，Q兩棵樹(shù)和A，P兩棵樹(shù)之間的距離各為多少？【解析】在△PAB中，∠APB=180°-(75°+60°)=45°，由正弦定理得APsin60°=100sin45°?在△QAB中，∠ABQ=90°，所以AQ=1002.∠PAQ=75°-45°=30°，由余弦定理得PQ2=(506)2+(1002)2-2×506×1002cos30°=5000，所以PQ=5000=502因此，P，Q兩棵樹(shù)之間的距離為502m，A，P兩棵樹(shù)之間的距離為20.(12分)(2023·三明高一檢測(cè))已知在△ABC中，C=2A，cosA=34，且2BA→(1)求cosB的值.(2)求AC的長(zhǎng)度.【解析】(1)因?yàn)镃=2A，所以cosC=cos2A=2cos2A-1=1所以sinC=378，sinA=所以cosB=-cos(A+C)=sinA·sinC-cosA·cosC=916(2)因?yàn)锳BsinC=BC因?yàn)?BA→·CB所以|BA→||所以BC=4，AB=6，所以AC=B=16+36-2×4×6×【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中，AB→·AC→=83(1)求sin2B+C2+cos2A(2)若b=2，S△ABC=3，求a的值.【解析】(1)因?yàn)锳B→·AC→=所以|AB→|·|=83×12|AB所以cosA=43所以cosA=45，sinA=3所以sin2B+C2=1-cos(B+C)2+2cos=1+cosA2+2cos2A(2)因?yàn)閟inA=35，由S△ABC=1得3=12×2c×35，所以a2=b2+c2-2bccosA=4+25-2×2×5×45所以a=13.21.(12分)(2023·浙江高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知A=π4，b2-a2=12c(1)求tanC的值.(2)若△ABC的面積為3，求b的值.【解題指南】(1)根據(jù)正弦定理可將條件中的邊之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，再將式子作三角恒等變換即可求解.(2)根據(jù)條件首先求得sinB的值，再結(jié)合正弦定理以及三角形面積的計(jì)算公式即可求解.【解析】(1)由b2-a2=12c2及正弦定理得sin2B-sin2A=12即sin2B-12=12sin所以-cos2B=sin2C又因?yàn)锳=π4，所以B+C=3π4，2B=所以-cos2B=sin2C=2sinCcosC，即2sinCcosC=sin2C，所以(2)由tanC=2，C∈(0，π)，得sinC=255，cosC=又因?yàn)閟inB=sin(A+C)=sinπ=sinπ4cosC+cosπ=310由正弦定理得c=22因?yàn)锳=π4，1所以bc=62，所以b=3.22.(12分)(2023·鄭州高二檢測(cè))已知向量m=3sinx4,1，n=cosx4,co(1)若f(x)=1，求cos2π3(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足acosC+12c=b，【解析】由題意得，f(x)=3sinx4cosx4+cos=32sinx2+12cos=sinx2+π(1)由