浙江省杭州市第12中學(xué)2022高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

浙江省杭州市第12中學(xué)2022高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，則2a＋b的取值范圍是()A．(2，＋∞)

B．2，＋∞)C．(3，＋∞)

D．3，＋∞)參考答案：B2.已知奇函數(shù)的圖象是兩條直線的一部分（如圖所示），其定義域

為，則不等式的解集是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要條件，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，4） B．（4，+∞） C．（0，4] D．（﹣∞，4]參考答案：D【考點(diǎn)】充要條件．【分析】由x＞2得到x2＞4，根據(jù)充分不必要條件的概念得：a≤4．【解答】解：由題意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范圍是（﹣∞，4]．故選：D．4.如圖，正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若，則λ+μ的值為（） A． B． C．1 D．﹣1參考答案：A【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量的基本定理及其意義． 【專題】計(jì)算題；運(yùn)動(dòng)思想；平面向量及應(yīng)用． 【分析】利用向量轉(zhuǎn)化求解即可． 【解答】解：由題意正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，可知：=． 則λ+μ的值為：． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的幾何意義，考查計(jì)算能力． 5.已知數(shù)列滿足,前項(xiàng)的為,關(guān)于敘述正確的是(

)A.都有最小值

B.都沒有最小值C.都有最大值

D.都沒有最大值參考答案：A6.已知矩形ABCD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，且BC=2AB=2，現(xiàn)沿EF將平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，則三棱錐A﹣FEC的外接球的體積為(

) A． B． C． D．參考答案：B考點(diǎn)：球的體積和表面積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：求出幾何體的外接球的半徑，然后求解額居前的體積即可．解答： 解：幾何體的外接球就是棱柱的外接球，也就是擴(kuò)展的正方體的外接球，正方體的邊長(zhǎng)為1，對(duì)角線的長(zhǎng)度就是外接球的直徑，所求外接球的體積為：=．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的外接球的體積的求法，關(guān)鍵是球的半徑的求解，考查計(jì)算能力．7.已知兩條直線，，兩個(gè)平面，，給出下面四個(gè)命題：①， ②，，③， ④，，其中正確命題的序號(hào)是（

）．A．①③ B．②④ C．①④ D．②③參考答案：C①若，，則，①正確；②若，，，則或，異面，②錯(cuò)誤；③若，，則或，③錯(cuò)誤；④若，，，則，④正確．綜上，正確命題的序號(hào)為①④，故選．8.某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為 A．

B．

C． D．參考答案：A9.已知為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限參考答案：D試題分析：由純虛數(shù)的定義可得,解之得,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,故應(yīng)選D.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念與幾何意義.10.設(shè)的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是 （

）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知均為銳角.,則的大小關(guān)系是

.參考答案：c>b>a

12.已知橢圓方程為（）,F(-c,0)和F(c,0)分別是橢圓的左

右焦點(diǎn).①若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)到M,使=,則M的軌跡是圓；②若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則；③以焦點(diǎn)半徑為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切；④若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是；⑤點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.以上說法中，正確的有

參考答案：①③④13.已知函數(shù)及，若對(duì)于任意的，存在使得恒成立且，則稱為“兄弟函數(shù)”已知函數(shù),

是定義在區(qū)間上的“兄弟函數(shù)”，那么函數(shù)在區(qū)間上的最大值為

參考答案：214.在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為

▲

．參考答案：略15.已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，則k=______．參考答案：或【分析】由已知條件結(jié)合弦長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理求出圓心到直線的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式求得值【詳解】解：圓圓心為，半徑為3，在中，，即圓心到直線的距離為1，由點(diǎn)到直線的距離公式得，，所以或；故答案為或；【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓，弦長(zhǎng)，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于簡(jiǎn)單題．16.已知函數(shù)滿足：，，則

.

參考答案：1617.用0，1，2，3,4，5這六個(gè)數(shù)字，可以組成▲個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的五位數(shù)（結(jié)果用數(shù)值表示）．參考答案：216略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的極值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）把a(bǔ)=2代入原函數(shù)解析式中，求出函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，直接利用直線方程的點(diǎn)斜式寫直線方程；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)可知，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在定義域（0，+∝）上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值，當(dāng)a＞0時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，利用原函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值．【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），．（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程為y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）無極值；②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，解得x=a．又當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．從而函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值，且極小值為f（a）=a﹣alna，無極大值．綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）無極值；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值a﹣alna，無極大值．19.如圖，橢圓的離心率為，點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為k的直線l過點(diǎn)，且與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，B為橢圓E的下頂點(diǎn)，求證：對(duì)于任意的k，直線BC，BD的斜率之積為定值．參考答案：（1）；（2）證明見解析．（1）因?yàn)?，所以，所以①，又橢圓過點(diǎn)，所以②，由①②解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意可設(shè)直線，聯(lián)立消，整理得，設(shè)，，則有，，易知．故為定值．20.（本小題滿分13分）如圖，是半圓的直徑，是半圓上除、外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，垂直于半圓所在的平面，∥，，，。（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求二面角的余弦值。參考答案：（Ⅰ）證明：因?yàn)槭侵睆?，所?/p>

………………1分，因?yàn)槠矫妫?/p>

………………2分，因?yàn)?，所以平?/p>

………………3分因?yàn)?，，所以是平行四邊形，，所以平?/p>

………4分，因?yàn)槠矫?，所以平面平?/p>

………………5分（Ⅱ）依題意，

………………6分，由（Ⅰ）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立……8分如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，，，……………9分設(shè)面的法向量為，，即，…………10分設(shè)面的法向量為，，即，

……………12分由圖知二面角的平面角為鈍角二面角的余弦值為。

……13分21.（本小題滿分10分）《選修4—1：幾何證明選講》如圖，在Rt△ABC中，,BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB上，．(Ⅰ)求證：AC是△BDE的外接圓的切線；(Ⅱ)若，求EC的長(zhǎng)．參考答案：（Ⅰ）設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，點(diǎn)是圓心，

…………..2分又平分.又.是△的外接圓的切線

…………..5分(Ⅱ)由（Ⅰ）知是圓的切線,，.

……………8分又由（Ⅰ）知..

………………10分22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（其中t為參數(shù)）．現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ．（Ⅰ）寫出直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)M（﹣1，0）且與直線l平行的直線l1交C于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．參考答案：【考點(diǎn)】MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由消去參數(shù)t，可得直線l的普通方程；由ρ=6cosθ得ρ2=6ρcosθ，由得曲線C