高中數(shù)學(xué)人教B版第二章平面向量

三、平面向量★考試大綱★一、考綱點(diǎn)擊1、理解向量的基本概念和向量的基本運(yùn)算；2、掌握共線、垂直、夾角；3、向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算。二、熱點(diǎn)提示本章的重點(diǎn)有向量的概念、運(yùn)算及坐標(biāo)表示，向量共線的條件極其坐標(biāo)表示，向量的數(shù)量積運(yùn)算的定義、運(yùn)算律及其坐標(biāo)表示，向量垂直的條件極其坐標(biāo)表示?！锝虒W(xué)大綱★平面向量的實(shí)際背景及基本概念（1）了解向量的實(shí)際背景；（2）理解平面向量的概念和兩個(gè)向量相等的含義；（3）理解向量的幾何表示。2．向量的線性運(yùn)算（1）掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；（2）掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義；（3）了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義。3．平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（1）了解平面向量的基本定理及其意義；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；（3）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；（4）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。4．平面向量的數(shù)量積（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；（2）了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；（4）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。5．向量的應(yīng)用（1）會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題；（2）會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題?！镏R(shí)梳理★一、基本概念1.向量：數(shù)學(xué)中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量。數(shù)量：我們把只有大小沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量。2.有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段。有向線段三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度。3.向量的長(zhǎng)度（模）：向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度（或稱模），記作。4.零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作，零向量的方向是任意的。單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，叫做單位向量。5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量、是兩個(gè)平行向量，那么通常記作∥。平行向量也叫做共線向量。我們規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對(duì)于任一向量，都有∥。6.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量、是兩個(gè)相等向量，那么通常記作=。7.如圖，已知非零向量、，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作=，=，則向量叫做與的和，記作，即。7.相反向量：①我們規(guī)定，與長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作-。和-互為相反向量。②我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量。③任一向量與其相反向量的和是零向量，即。④如果、是互為相反的向量，那么=-，=-，。⑤我們定義，即減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量。二、向量的加減向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。這種求向量的方法稱為向量加法的三角形法則。說(shuō)明：1.對(duì)于零向量與任一向量，我們規(guī)定：+=+=2.公式及運(yùn)算定律：①②≤③④三、向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘。記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①②當(dāng)λ＞0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，的方向與的方向相反；λ=0時(shí)，=運(yùn)算定律：①②③④⑤四、共線定理共線定理：對(duì)于向量（≠）、，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使=，那么與共線。相反，已知向量與共線，≠，且向量的長(zhǎng)度是向量的長(zhǎng)度的μ倍，即||=μ||，那么當(dāng)與同方向時(shí)，有=；當(dāng)與反方向時(shí)，有=。則得如下定理：向量向量（≠）與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使=。五、平面向量基本定義平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使。我們把不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。補(bǔ)充結(jié)論：已知向量、是兩個(gè)不共線的兩個(gè)向量，且m、n∈R，若，則m=n=0。正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。六、向量夾角向量與的夾角：已知兩個(gè)非零向量和。作，，則（0°≤θ≤180°）叫做向量與的夾角。當(dāng)θ=0°時(shí)，與同向；當(dāng)θ=180°時(shí)，與反向。如果與的夾角是90°，我們說(shuō)與垂直，記作。七、向量的坐標(biāo)表示1.兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）。即若，，則，2.實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。即若，則_x_y_L_P2_P_P13.當(dāng)且僅當(dāng)x1y2_x_y_L_P2_P_P14.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為①當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2上時(shí)，點(diǎn)P叫線段P1P2的內(nèi)分點(diǎn)，λ＞0②當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2的延長(zhǎng)線上時(shí)，P叫線段P1P2的外分點(diǎn)，λ＜-1；當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，P叫線段P1P2的外分點(diǎn)，-1＜λ＜0.22.從一點(diǎn)引出三個(gè)向量，且三個(gè)向量的終點(diǎn)共線，則，其中λ+μ=1數(shù)量積（內(nèi)積）：1.已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作·即·=。其中θ是與的夾角，（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影。我們規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為0。2.·的幾何意義：數(shù)量積·等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積。3.數(shù)量積的運(yùn)算定律：①·=·②（λ）·=λ（·）=·（λ）③（+）·=·+·④⑤⑥4.兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即。則：①若，則，或。如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和中點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么，②設(shè)，，則5.設(shè)、都是非零向量，，，θ是與的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示可得：★考點(diǎn)精講★一、向量的主要理論1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)，則：，，，,,.(2)設(shè)，則：,2.共線定理3.數(shù)量積1、，2、在方向上的投影為：，3、，4、，5、.4.垂直條件1、，2、，3、.5.夾角二、向量主要題型1.向量共線的求解（1）列方程組由，設(shè)出，列出方程組，求出即可。（2）用坐標(biāo)運(yùn)算由，直接算出即可。例1已知點(diǎn)，及，.求點(diǎn)和的坐標(biāo)。例2平面向量中，已知，，且，則向量______。2.向量垂直的求解1、。2、。例3已知，，其中．

(1)求證：與互相垂直；(2)若與的長(zhǎng)度相等，求的值(為非零的常數(shù))．3.求向量夾角第一步，首先求出，第二步，根據(jù)夾角，求出夾角。4.計(jì)算模1、，2、求模先平方，求出平方，再開方計(jì)算。例4已知向量，向量，則的最大值是．5三點(diǎn)共線共線定理★高考精析★高考預(yù)測(cè)：在高考試題中，主要考查有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，突出向量的工具作用．平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則，以及基本運(yùn)算技能，考查學(xué)生掌握平面向量的和、差、數(shù)乘和數(shù)量積的運(yùn)算法則，理解其直觀的幾何意義，并能正確地進(jìn)行運(yùn)算；第二，考察向量的坐標(biāo)表示，及坐標(biāo)形勢(shì)下的向量的線性運(yùn)算；第三，經(jīng)常和函數(shù)、曲線、數(shù)列等知識(shí)結(jié)合，考察綜合運(yùn)用知識(shí)能力．在近幾年的高考中，每年都有兩道題目．其中小題以填空題或選擇題形式出現(xiàn)，考查了向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則，數(shù)乘、數(shù)量積、共線問(wèn)題與軌跡問(wèn)題．大題則以向量形式為條件，綜合考查了函數(shù)、三角、數(shù)列、曲線等問(wèn)題。第一課時(shí)向量的概念及線性運(yùn)算重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦重點(diǎn)：1．向量概念、相等向量概念、向量幾何表示；2．用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，作兩個(gè)向量的和向量與差向量；3．掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律、理解向量共線的充要條件。難點(diǎn)：1．向量概念的理解；2．向量的加法和減法的定義的理解；3．對(duì)向量共線的充要條件的理解題組設(shè)計(jì)再現(xiàn)題組1.對(duì)任意向量，下列命題正確的是（）．A.若滿足，且與同向，則B.C.D.若都是單位向量，則2.設(shè)是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.與的方向相反B.C.與的方向相同D.鞏固題組3.已知，則（）A.三點(diǎn)共線B.三點(diǎn)共線C.三點(diǎn)共線D.三點(diǎn)共線4.已知向量，是兩個(gè)非兩向量，在下列的四個(gè)條件中，能使，共線的條件是（）①且②存在相異實(shí)數(shù)使③（其中實(shí)數(shù)滿足）④已知梯形，其中A.①②B.①③C.②④D.③④提高題組5.若向量終點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，且，使得反之，也成立。反饋題組6.平面向量、共線的充要條件是（）A．，方向相同B.，兩向量中至少有一個(gè)為零向量C.D.存在不全為零的實(shí)數(shù)，，，求的大值和最小值。是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（）外心B.垂心C.內(nèi)心D.重心第二課時(shí)向量的正交分解及坐標(biāo)表示新課標(biāo)要求了解平面向量基本定理；2.掌握平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示，理解這是應(yīng)用向量解決實(shí)際問(wèn)題的重要思想方法；3．理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；4．會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線；5．掌握線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式。重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦重點(diǎn)：1．平面內(nèi)任一向量都可以用兩個(gè)不共線非零向量表示；2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；3．段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用難點(diǎn)：1．平面向量基本定理的理解；2．向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性；高考分析及預(yù)策本節(jié)考點(diǎn)：1.平面向量基本定理；2.向量的正交分解；3.平面向量的坐標(biāo)表示極坐標(biāo)運(yùn)算；4.兩向量共線的條件的坐標(biāo)表示；5.利用共線求定比分點(diǎn)坐標(biāo)．題組設(shè)計(jì)再現(xiàn)題組1．下列說(shuō)法正確的是（）①一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；③零向量不可作為基底中的向量．A.①②B.②③C.①③D.①②③2.已知點(diǎn)，，，，是判斷向量和的位置關(guān)系．鞏固題組3．在中，已知是中線上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.4.已知，，當(dāng)為何值時(shí)，與平行？平行時(shí)，它們是同向還是反向？提高題組5．設(shè)向量，，，若表示向量的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量為（）A.B.C.D.6．如圖，已知，求線段中點(diǎn)和三等分點(diǎn)的坐標(biāo)．反饋題組7．若向量與相等，已知，則的值為．8．已知點(diǎn)及求：⑴為何值時(shí)，在第二象限？⑵四邊形能否構(gòu)成平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。第三課時(shí)數(shù)量積及其應(yīng)用新課標(biāo)要求1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題；4掌握向量垂直的條件重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦重點(diǎn)：1．平面向量的數(shù)量積定義；2．平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律；3．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．難點(diǎn)：1．平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用；2．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用高考分析及預(yù)策本節(jié)的主要考點(diǎn):兩個(gè)向量的夾角；平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)；向量數(shù)量積的運(yùn)算律；用向量的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量垂直的條件；向量的長(zhǎng)度、距離和夾角公式．題組設(shè)計(jì)再現(xiàn)題組1.為何值時(shí)，與垂直？2.已知，⑴求與的夾角；⑵求；⑶若，，求的面積鞏固題組3．若向量與的夾角為，，則向量的模為（）A.B.C.D.4．已知為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，向量，，若，且則角=．提高題組5．設(shè)兩個(gè)向量滿足：的夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的范圍．6．已知向量且．⑴求及；⑵若的最小值是，求的值．反饋題組在中，若且，則的形狀是（）A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．三邊均不相等的三角形8．已知向量．⑴當(dāng)時(shí)，求的值；⑵求函數(shù)的值域．測(cè)試題選擇題1．已知是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線上有一點(diǎn)，滿足，則=（）A．B.C.D.2．設(shè)，則=（）A．B.C.D.3．已知向量，若，則等于（）A．B.C.D.4．已知兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A．B.C.D.5．在中，，的面積，則與夾角的取值范圍是（）A．B.C.