2021-2022學(xué)年江蘇省淮安市洪澤外國語中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

2021-2022學(xué)年江蘇省淮安市洪澤外國語中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=lgx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=[f（a）+f（b）]，則p，q，r的大小關(guān)系是（）A．p=r＞q B．p=r＜q C．q=r＜p D．q﹣r＞p參考答案：B【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】直接利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得p=r，再由基本不等式及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得p＜q，則答案可求．【解答】解：∵p=f（）=lg=（lga+lgb），r=[f（a）+f（b）]=（lga+lgb），∴p=r，又q=f（）=lg，而，∴q＞p=r．故選：B．2.f（x）是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f（2）=0．則方程f（x）=0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是（）A．5B．4C．3D．2參考答案：B【考點(diǎn)】根的存在性及根的個數(shù)判斷；函數(shù)的周期性．【分析】根據(jù)題意，由f（x）是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f（2）=0，可得f（﹣2）=0，重復(fù)利用函數(shù)的周期性，看在區(qū)間（0，6）內(nèi)，還能推出哪些數(shù)的函數(shù)值等于0．【解答】解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且周期是3，f（2）=0，∴f（﹣2）=0，∴f（5）=f（2）=0，f（1）=f（﹣2）=0，f（4）=f（1）=0．即在區(qū)間（0，6）內(nèi)，f（2）=0，f（5）=0，f（1）=0，f（4）=0，故答案：B3.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線”的結(jié)論顯然是錯誤的，這是因?yàn)?A)大前提錯誤

(B)小前提錯誤

(C)推理形式錯誤

(D)非以上錯誤參考答案：A4.若實(shí)數(shù)滿足則的最小值是（

）

A.0

B.

C.1

D.2參考答案：A略5.若關(guān)于x的方程x2+4x+|m﹣1|+2|m|=0（m∈R）有實(shí)根，則m的取值范圍是（） A．m≥或m≤﹣1 B． ﹣1≤m≤0 C． ﹣1≤m≤ D． 0≤m≤參考答案：C略6.下列證明中更適合用反證法的是（

）A.證明B.證明是無理數(shù)C.證明D.已知，證明參考答案：B【分析】對選項(xiàng)進(jìn)行分析，選項(xiàng)A可用數(shù)學(xué)歸納法或者裂項(xiàng)相消法證明，選項(xiàng)B適合于反證法，選項(xiàng)C可用二倍角余弦公式證明，選項(xiàng)D可先計(jì)算的值，代入計(jì)算可得證明，綜合可得答案.【詳解】解：選項(xiàng)A，可得，適合直接證明；選項(xiàng)B并不適合直接證明，適合反證法；選項(xiàng)C，可得，適合直接證明；選項(xiàng)D，可得，將右邊式子化簡可得證明，也適合直接證明；所以選項(xiàng)B的證明更適合用反證法，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查直接證明和反證法的相關(guān)知識，及數(shù)列，三角函數(shù)的相關(guān)知識，需知道反證法適用的場所.7.總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

01983204

9234

4934

8200

3623

4869

6938

7481A．08 B．07 C．02 D．01參考答案：D考點(diǎn)：簡單隨機(jī)抽樣．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個數(shù)字開始向右讀，依次為65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合條件，故可得結(jié)論．解答：解：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個數(shù)字開始向右讀，第一個數(shù)為65，不符合條件，第二個數(shù)為72，不符合條件，第三個數(shù)為08，符合條件，以下符合條件依次為：08，02，14，07，01，故第5個數(shù)為01．故選D．點(diǎn)評：本題主要考查簡單隨機(jī)抽樣．在隨機(jī)數(shù)表中每個數(shù)出現(xiàn)在每個位置的概率是一樣的，所以每個數(shù)被抽到的概率是一樣的．8.已知函數(shù)若，則的取值范圍是A．B．或C．D．-1<或．參考答案：B略9.函數(shù)的圖象大致是（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，并根據(jù)該函數(shù)在和上的函數(shù)值符號進(jìn)行排除，可得出正確選項(xiàng).【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)為奇函數(shù)，排除B選項(xiàng)；當(dāng)時，，此時，，排除C選項(xiàng)；當(dāng)時，，此時，，排除D選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識別，再利用函數(shù)解析式來識別函數(shù)圖象時，一般利用以下五個要素來對函數(shù)圖象逐一排除：（1）定義域；（2）奇偶性；（3）單調(diào)性；（4）零點(diǎn)；（5）函數(shù)值符號.考查推理能力，屬于中等題.10.已知對任意,函數(shù)的值恒大于零，則a的取值范圍為(

)A． (－∞,1)

B．(－∞,0)

C． (－2,1)

D．(－2,0)參考答案：A函數(shù)的對稱軸為①當(dāng)，即時,的值恒大于0等價于,解得,

不存在符合條件的;

②當(dāng),即時,只要,即,不存在符合條件的;

③當(dāng),即時,只要,即,

綜上可知,當(dāng)時,對任意,函數(shù)的值恒大于0。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是兩個不共線的平面向量，向量，，若，則＝．參考答案：12.(1)下面算法的功能是

。(2)下列算法輸出的結(jié)果是（寫式子）

(3）下圖為一個求20個數(shù)的平均數(shù)的程序,在橫線上應(yīng)填充的語句為

參考答案：(1)統(tǒng)計(jì)x1到x10十個數(shù)據(jù)中負(fù)數(shù)的個數(shù)。(2)(3）i>20

13.如圖，點(diǎn)P在正方體的面對角線上運(yùn)動，則下列四個命題：①三棱錐的體積不變；②∥面；③；④面面。其中正確的命題的序號是___________

.（寫出所有你認(rèn)為正確結(jié)論的序號）參考答案：(1)(2)(4)14.已知f（x）=xex，g（x）=﹣（x+1）2+a，若?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：a≥．

【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【分析】?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等價于f（x）min≤g（x）max，利用導(dǎo)數(shù)可求得f（x）的最小值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．【解答】解：?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等價于f（x）min≤g（x）max，f′（x）=ex+xex=（1+x）ex，當(dāng)x＜﹣1時，f′（x）＜0，f（x）遞減，當(dāng)x＞﹣1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，所以當(dāng)x=﹣1時，f（x）取得最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣；當(dāng)x=﹣1時g（x）取得最大值為g（x）max=g（﹣1）=a，所以﹣≤a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥．故答案為：a≥．15.定義在R上的函數(shù)，如果對任意的都有，則

。參考答案：1000

16.已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為2,則其展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)是_______．參考答案：9【分析】令，可得：，解出的值，再利用通項(xiàng)公式即可得到答案?！驹斀狻坑捎诘恼归_式中各項(xiàng)系數(shù)和為2，令，可得：，解得：，的展開式的通項(xiàng)公式，要得到展開式中含項(xiàng)的系數(shù)，則或，解得或4；所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)故答案為：917.若a，b，c是空間三條直線，α，β是空間兩個平面，則下列命題中，①當(dāng)c⊥α?xí)r，若α∥β，則c⊥β；②當(dāng)bα?xí)r，若α⊥β，則b⊥β③當(dāng)bα?xí)r，若a∥α，則a∥b：④若a，b異面，則有無數(shù)條直線與a，b都垂直；⑤若α⊥β，a⊥α，b⊥β，

則a⊥b.真命題的序號是_________________.參考答案：①④⑤三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，如果函數(shù)g（x）=f（x）﹣k僅有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）當(dāng)a=2時，試比較f（x）與1的大小；（3）求證：（n∈N*）．參考答案：【考點(diǎn)】R6：不等式的證明；51：函數(shù)的零點(diǎn)；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）利用函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)求出它的單調(diào)區(qū)間和極值，由題意知k大于f（x）的極大值，或k小于f（x）的極小值．（2）令h（x）=f（x）﹣1，由h′（x）＞0得h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，利用h（1）=0，分x＞1、0＜x＜1、當(dāng)x=1三種情況進(jìn)行討論．（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時，，令，有，可得，由，證得結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)時，，定義域是（0，+∞），求得，令f'（x）=0，得，或x=2．∵當(dāng)或x＞2時，f'（x）＞0；當(dāng)時，f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，]、（2，+∞）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴f（x）的極大值是，極小值是．∵當(dāng)x趨于0時，f（x）趨于﹣∞；當(dāng)x趨于+∞時，f（x）趨于+∞，由于當(dāng)g（x）僅有一個零點(diǎn)時，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k僅有一個交點(diǎn)，k的取值范圍是{k|k＞3﹣ln2，或}．（2）當(dāng)a=2時，，定義域?yàn)椋?，+∞）．令，∵，∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

①當(dāng)x＞1時，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；②當(dāng)0＜x＜1時，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；

③當(dāng)x=1時，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．（3）證明：根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時，，即．令，則有，∴．∵，∴．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、證明不等式等基礎(chǔ)知識，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的計(jì)算能力及分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識，屬于中檔題．19.已知橢圓過點(diǎn)，其焦距為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為，則橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：（i）如圖（1），點(diǎn)為在第一象限中的任意一點(diǎn)，過作的切線，分別與軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn)，求面積的最小值；（ii）如圖（2），過橢圓上任意一點(diǎn)作的兩條切線和，切點(diǎn)分別為.當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時，是否存在定圓恒與直線相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.參考答案：（I）解：依題意得：橢圓的焦點(diǎn)為，由橢圓定義知：，所以橢圓的方程為.（II）（?。┰O(shè)，則橢圓在點(diǎn)B處的切線方程為

令，，令，所以又點(diǎn)B在橢圓的第一象限上，所以

，

，當(dāng)且僅當(dāng)所以當(dāng)時，三角形OCD的面積的最小值為

（Ⅲ）設(shè)，則橢圓在點(diǎn)處的切線為：又過點(diǎn)，所以，同理點(diǎn)也滿足，所以都在直線上，即：直線MN的方程為

所以原點(diǎn)O到直線MN的距離，所以直線MN始終與圓相切.

略20.（本小題10分）如圖所示，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)證明：AC⊥B1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．參考答案：方法一(1)證明：如圖所示，因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以AC⊥BB1.又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以AC⊥B1D.(2)因?yàn)锽1C1∥AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為θ)．如圖所示，聯(lián)結(jié)A1D，因?yàn)槔庵鵄BCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1，從而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四邊形ADD1A1是正方形，于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ.在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳C⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB，從而Rt△ABC∽Rt△DAB，21.（本題滿分16分）如圖，在棱長為1的正方體中，、分別為和的中點(diǎn)．（1）求異面直線和所成的角的余弦值；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；參考答案：解：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，，，，

……6分

異面直線和所成的角的余弦值；……7分（2）平面BDD1的一個法向量為設(shè)平面BFC1的法向量為∴取得平面BFC1的一個法向量，……14分∴所求的余弦值為

……16分22.如圖，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°．（Ⅰ）證明：BD⊥AA1；（Ⅱ）求二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的性質(zhì)．【專題】綜合題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】法一：（Ⅰ）連接BD交AC于O，則BD⊥AC，連接A1O，可證A1O⊥底面ABCD，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，證明向量的數(shù)量積為0即可得到BD⊥AA1；（Ⅱ）確定平面AA1C1C、平面AA1D的法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）解：假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，求出平面DA1C1的法向量，利用數(shù)量積為0，即可求得結(jié)論．法二：（Ⅰ）先證明BD⊥平面AA1O，即可證得AA1⊥BD；（Ⅱ）過O作OE⊥AA1于E點(diǎn)，連接OE，則∠DEO為二面角D﹣AA1﹣C的平面角，求出OE、DE，即可求得二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）存在這樣的點(diǎn)P，連接B1C，在C1C的延長線上取點(diǎn)P，使C1C=CP，連接BP，可得四邊形BB1CP為平行四邊形，進(jìn)而利用線面平行的判定可得結(jié)論．【解答】法一：（Ⅰ）證明：連接BD交AC于O，則BD⊥AC，連接A1O，在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°∴A1O2=AA12+AO2﹣2AA1?Aocos60°=3∴AO2+A1O2=A12∴A1O⊥AO，∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AO∴A1O⊥底面ABCD∴以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0），A1（0，0，）

…∵，，∴∴BD⊥AA1…（Ⅱ）解：∵OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1C的法向量設(shè)⊥平面AA1D，，則由得到，∴…∴所以二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值是…（Ⅲ）解：假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1設(shè)，則得…設(shè)⊥平面DA1C1，，則由得到，∴…又因?yàn)槠矫鍰