高中數(shù)學人教B版第三章不等式 市一等獎

章末綜合測評(三)(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.對于任意實數(shù)a，b，c，d，下列四個命題中：①若a>b，c≠0，則ac>bc；②若a>b，則ac2>bc2；③若ac2>bc2，則a>b；④若a>b>0，c>d，則ac>bd.其中真命題的個數(shù)是() 【解析】若a>b，c<0時，ac<bc，①錯；②中，若c＝0，則有ac2＝bc2，②錯；③正確；④中，只有c>d>0時，ac>bd，④錯，故選A.【答案】A2.直線3x＋2y＋5＝0把平面分成兩個區(qū)域.下列各點與原點位于同一區(qū)域的是()A.(－3,4) B.(－3，－4)C.(0，－3) D.(－3,2)【解析】當x＝y(tǒng)＝0時，3x＋2y＋5＝5>0，則原點一側對應的不等式是3x＋2y＋5>0，可以驗證僅有點(－3，4)滿足3x＋2y＋5>0.【答案】A3.設A＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)，其中a，b是正實數(shù)，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，則A與B的大小關系是()≥B >B<B ≤B【解析】∵a，b都是正實數(shù)，且a≠b，∴A＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，即A>2，B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2，即B≤2，∴A>B.【答案】B4.已知0＜a＜b＜1，則下列不等式成立的是()＞b3 \f(1,a)＜eq\f(1,b)＞1 (b－a)＜0【解析】由0＜a＜b＜1，可得a3＜b3，A錯誤；eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，B錯誤；ab＜1，C錯誤；0＜b－a＜1，lg(b－a)＜0，D正確.【答案】D5.在R上定義運算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，則滿足x☆(x－2)<0的實數(shù)xA.(0,2)B.(－2,1)C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－1,2)【解析】根據(jù)定義得，x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2<x<1，所以所求的實數(shù)x的取值范圍為(－2,1).【答案】B6.若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是()A.[0,2] B.[－2,0]C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]【解析】因為2x＋2y≥2eq\r(2x＋y)，2x＋2y＝1，所以2eq\r(2x＋y)≤1，所以2x＋y≤eq\f(1,4)＝2－2，所以x＋y≤－2，即x＋y的取值范圍是(－∞，－2].【答案】D7.已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,x－1)≤0))))，N＝{x|x2＋2x－3≤0}，P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2＋2x－3≥1))))，則有()＝N＝P ＝PNMP N＝P【解析】由M知－3≤x＜1；由N知－3≤x≤1；由P知－3≤x≤1，所以MN＝P.【答案】D，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0.))若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為()\f(1,2)或－1 或eq\f(1,2)或1 或－1【解析】如圖，由y＝ax＋z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，故當a>0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝2；當a<0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝－1.【答案】D9.已知正實數(shù)a，b滿足4a＋b＝30，當eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取最小值時，實數(shù)對(a，b)是()【導學號：18082138】A.(5,10) B.(6,6)C.(10,5) D.(7,2)【解析】eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))·eq\f(1,30)·30＝eq\f(1,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(4a＋b)＝eq\f(1,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(b,a)＋\f(4a,b)))≥eq\f(1,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(b,a)·\f(4a,b))))＝eq\f(3,10).當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(4a,b)，,4a＋b＝30，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝10))時取等號.【答案】A10.已知目標函數(shù)z＝2x＋y，且變量x，y滿足下列條件：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y≤－3，,3x＋5y＜25，,x≥1，))則()＝12，zmin＝3＝12，無最小值＝3，無最大值無最大值，也無最小值【解析】作如圖可行域，作直線2x＋y＝0，將直線向右上方平移過程中，過點A時，z最小，過點B時，z最大，又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－4y＝－3))得A(1,1)，B點不存在，∴zmin＝2×1＋1＝3，z無最大值.【答案】C11.對任意a∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，則x<x<3 <1或x>3<x<2 <1或x>2【解析】設g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＝x2－3x＋2>0，,g－1＝x2－5x＋6>0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<1或x>2，,x<2或x>3))?x<1或x>3.【答案】B12.設D是不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤10，,2x＋y≥3，,0≤x≤4，,y≥1))表示的平面區(qū)域，則D中的點P(x，y)到直線x＋y＝10的距離的最大值是()\r(2)B.2eq\r(2)\r(2)\r(2)【解析】畫出可行域，由圖知最優(yōu)解為A(1,1)，故A到x＋y＝10的距離為d＝4eq\r(2).【答案】D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13.已知0＜x＜6，則y＝(6－x)·x的最大值是________.【解析】法一：∵0＜x＜6，∴6－x＞0，∴(6－x)·x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－x＋x,2)))2＝9，當且僅當6－x＝x，即x＝3時取等號.法二：y＝(6－x)x＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9.∵0＜x＜6，∴ymax＝f(3)＝9.【答案】914.規(guī)定記號“⊙”表示一種運算，定義a⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b為正實數(shù))，若1⊙k<3，則k的取值范圍為________.【導學號：18082139】【解析】由題意得eq\r(k)＋1＋k<3，即(eq\r(k)＋2)·(eq\r(k)－1)<0，且k>0，因此k的取值范圍是(0,1).【答案】(0,1)15.已知實數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－4≥0，,2x－y－5≤0，))目標函數(shù)z＝y(tǒng)－ax(a∈R).若取最大值時的唯一最優(yōu)解是(1,3)，則實數(shù)a的取值范圍是________.【解析】不等式組的可行域如圖陰影部分所示.由z＝y(tǒng)－ax得y＝ax＋z，當直線y＝ax＋z的斜率大于1時，目標函數(shù)在點(1,3)處取得最大值.【答案】(1，＋∞)16.實數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x－y－5≤0，,x＋y－4≥0，))則z＝|x＋2y－4|的最大值為________.【解析】法一：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.z＝|x＋2y－4|＝eq\f(|x＋2y－4|,\r(5))·eq\r(5)，其幾何含義為陰影區(qū)域內(nèi)的點到直線x＋2y－4＝0的距離的eq\r(5)倍.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,2x－y－5＝0))得點B的坐標為(7,9)，顯然點B到直線x＋2y－4＝0的距離最大，此時zmax＝21.法二：由圖可知，陰影區(qū)域內(nèi)的點都在直線x＋2y－4＝0的上方，顯然此時有x＋2y－4＞0，于是目標函數(shù)等價于z＝x＋2y－4，即轉化為一般的線性規(guī)劃問題.顯然當直線經(jīng)過點B時，目標函數(shù)取得最大值，zmax＝21.【答案】21三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(2,x)，解不等式f(x)－f(x－1)>2x－1.【解】由題意可得x2＋eq\f(2,x)－(x－1)2－eq\f(2,x－1)>2x－1，化簡得eq\f(2,xx－1)<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1.所以原不等式的解集為{x|0<x<1}.18.(本小題滿分12分)設x∈R，比較eq\f(1,1＋x)與1－x的大小.【導學號：18082140】【解】作差：eq\f(1,1＋x)－(1－x)＝eq\f(x2,1＋x)，①當x＝0時，∵eq\f(x2,1＋x)＝0，∴eq\f(1,1＋x)＝1－x；②當1＋x<0，即x<－1時，∵eq\f(x2,1＋x)<0，∴eq\f(1,1＋x)<1－x；③當1＋x>0且x≠0，即－1<x<0或x>0時，∵eq\f(x2,1＋x)>0，∴eq\f(1,1＋x)>1－x.19.(本小題滿分12分)設x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－6≤0，,x－y＋2≥0，,x≥0，y≥0，))若目標函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為12，求eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)的最小值.【解】不等式組在直角坐標系中所表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示.由z＝ax＋by得y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，當z變化時，它表示經(jīng)過可行域的一組平行直線，其斜率為－eq\f(a,b)，在y軸上的截距為eq\f(z,b)，由圖可知當直線經(jīng)過點A(4,6)時，在y軸上的截距最大，從而z也最大，所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(2a＋3b,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(2,b)))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋6＋\f(4a,b)＋\f(9b,a)))≥4，當且僅當a＝eq\f(3,2)，b＝1時等號成立，所以eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)的最小值為4.20.(本小題滿分12分)一個農(nóng)民有田2畝，根據(jù)他的經(jīng)驗，若種水稻，則每畝每期產(chǎn)量為400千克；若種花生，則每畝每期產(chǎn)量為100千克，但水稻成本較高，每畝每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可賣5元，稻米每千克只賣3元，現(xiàn)在他只能湊足400元，問這位農(nóng)民對兩種作物各種多少畝，才能得到最大利潤？【解】設水稻種x畝，花生種y畝，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,240x＋80y≤400，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,3x＋y≤5，,x≥0，y≥0，))畫出可行域如圖陰影部分所示而利潤P＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y＝960x＋420y(目標函數(shù))，可聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,3x＋y＝5，))得交點B,.故當x＝，y＝時，P最大值＝960×＋420×＝1650，即水稻種畝，花生種畝時所得到的利潤最大.21.(本小題滿分12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集是{x|－3＜x＜1}.(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0；(2)b為何值時，ax2＋bx＋3≥0的解集為R.【解】(1)由題意知，1－a＜0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的兩根.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,1－a)＝－2，,\f(6