《電路分析》譚永霞PPT課件06

本章介紹正弦電流電路的基本概念，正弦量的相量表示，基爾霍夫定律的相量形式以及電阻、電感、電容伏安關系的相量形式等，為正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析和計算打下基礎。第六章正弦電流電路的基本概念§6－1正弦信號的基本概念

§6－2正弦量的相量表示

§6－3基爾霍夫定律的相量形式

§6－4電阻、電感、電容元件伏安關系的相量形式主要內容正弦信號可以用sin表示，也可以用cos

表示，本課用cos

。

一.正弦電壓和電流（以電壓為例）的波形如右圖所示，橫坐標可以是t也可以是ωt，它們分別標于橫軸的上方和下方。

1.各量的物理概念

式（6－1）中

u(t)——電壓瞬時值，u(t)也可簡寫為u。Um－Umtωt2πωTT——（6－1）§6－1正弦信號的基本概念

u

Um——電壓最大值或振幅波形圖中

T——電壓的周期（秒，s）定義：——頻率（赫茲，Hz＝1/s）由波形的橫軸看出——角頻率（弧度/秒，rad/s）式（6－1）中——u(t)的相位角，簡稱相位——u(t)的初相位?？梢杂没《然蚨龋ā悖┍硎?，通常在主值范圍內取值，即。

2.正弦量的三要素由式（6—1）可見，只要知道了正弦量的最大值、頻率（或角頻率）和初相位，則就可寫出該正弦量的表達式，故將此三個量稱為正弦量的三要素。正弦量的三要素為Um、f（或ω）、。

f＝0→T＝∞→u(t)＝常數——直流，可見，直流信號可視為正弦信號的特例。

3.u(t)波形（u(t)與其波形對應關系）

＝0、>0和<0時的波形分別如下面的圖（a）、圖（b）和圖（c）所示。我們將圖（a）稱為標準波，可見，>0時的波形相當于將標準波左移，<0時的波形相當于標準波右移。說明：

u(t)波形的畫法如下：

——標準波左移弧度

——標準波右移弧度結論：uuuUmUmUm2π02πωtωtωt圖（a）圖（b）圖（c）：將cos

標準波左移：將cos

標準波右移（正左、負右）此結論對sin表示的正弦量也適用，只是標準波不同罷了。002π例6－1正弦電壓u(t)的最大值Um

＝

V，頻率f＝50Hz，初相角。（1）求T、ω，寫出u(t)的表達式并畫波形；（2）求t＝1s時的電壓值u(1)。解（1）

u(t)波形如下圖所示，由于初相波左移。，故u(t)波形為標準u/V2π314t/rad0（2）式中，括號內第一項為弧度，第二項為度，計算時應將弧度化為度，即例6－2電流波形如下圖所示。試求T、f、ω，并分別用cos

和sin寫出i(t)的表達式。1000t/rad2π10i/A0解由橫坐標可見，ω＝1000rad/s，所以1000t/rad2π10i/A0右圖波形為標準波右移的結果，因此i(t)的初相為負，大小為即，故根據三角公式，i(t)亦可表示為若從波形移動上看，上圖波形相當于標準波左移的結果，因此i(t)用sin函數表示時，其初相為正，大小為，故可直接寫出1000t/rad2π10i/A0o1o2o3例6－3上例所示波形（見下圖），若時間起點分別為O1、O2、O3

（見虛線縱軸所示），試寫出i的表達式（用cos

表示）。解O1

起點：O2

起點：O3起點：二.同頻率正弦量的相位關系u與i的相位差用表示，則有說明：（1）即——u與i

同相（位）

（2）

——u與i

反相（位）

（3）

——u與i

正交

（4）

——u超前i

為，或

i滯后u為

——u滯后i

為，或

i超前u為u與i

同相、反相、正交、超前（滯后）的波形分別如下面的圖（a）、（b）、（c）、（d）所示。圖（a）圖（b）圖（c）圖（d）ωtωtωtωtuuuu

i

i

i

i圖（c）ωtu

i上圖（c）中u與i

正交，具體是i超前u為（或）。圖（d）中，i圖（d）ωtu

i滯后u

為。由u、i波形可直接判斷超前、滯后關系。若u的最大值Um

比i的最大值Im

提前出現（在小于л的范圍內），則u超前i，超前的弧度為Um與Im

對應橫軸之間的弧度，也可以是u、i由負到正通過零值點之間的弧度。例6－4已知：，，，。試求與、、的相位差，并說明它們超前或滯后的關系。解同頻率正弦量的相位關系必須在相同函數（均為cos

或均為sin）的前題下進行比較，同時函數的最大值應該用正值表示。為此將、改寫為

u1u3u4u3u4（u1

超前u2

為）（u1

滯后u3

為）超過主值范圍，故改寫成（u1

滯后u4

為）u2例6－5試由下圖所示波形說明u1

、u2

、u3

的相位關系。0ωtu1u2u3解由圖可見：u1

與u2

的相位差，u1

超前u2

為；u2

與u3的相位差，u2

超前u3

為；u3

與u1的相位差，u3超前u1

為。三.周期信號的有效值

定義（以圖和式表示）：RRi(t)Ii(t)——周期電流I——

恒定電流功率：一周期內耗能：若即（1）則I稱為周期電流i(t)的有效值。由上式有——稱為方均根值結論周期電流i(t)的有效值I＝周期電流i(t)的方均根值同理周期電壓u(t)的有效值為四.正弦信號的有效值

1.正弦量的有效值正弦信號是周期信號，故上式適用。以電流為例，設將i(t)代入方均根式中，得電流的有效值或同理正弦電壓的有效值與最大值之關系為

2.用有效值表示正弦量故正弦量的三要素為：U（或Um）、f（或ω）、注意在正弦電路中，要嚴格區(qū)分字母的大、小寫。瞬時量必須小寫，有效值和最大值必須大寫。，§6－2正弦量的相量表示

正弦電路如果用正弦量的瞬時值進行分析，會涉及繁雜的三角運算及微分、積分等運算，為簡化分析，我們采用一種變換方法——相量法。相量法的基礎是復數運算，下面先對復數作簡要復習，然后再介紹正弦量的相量表示法。

一.復數復數A可表示為

A＝a1＋ja2

式中

j

＝為虛數單位（數學中是

i＝，為避免與電流i混淆，電路中改用j

），a1

是A的實數部分，簡稱實部，表為a1

＝Re，a2

是A的虛數部分，簡稱虛部，表為a2

＝

Im

。歸納：〔A〕〔A〕A＝a1＋ja2j＝a1＝Rea2

＝

Im〔A〕〔A〕

1.復數在復平面上的表示通常復數A在復平面上是用一個矢量表示，該矢量從坐標原點指向A的坐標點（，），為右圖所示。A矢量的長度稱為A的模，記為，A矢量與正實軸之夾角θ稱為A的幅角。

2.復數的幾種數學表示式（1）由上圖有：0a1a2a1a2θ——A的模θ——A幅角A＝a1＋ja2——代數式歐拉公式＋1＋jA（2）——指數式

（3）——極坐標式

（4）各量之關系由右圖可見0a1a2θ＋1＋ja1＝a2＝A例6－6復數A＝j，B＝－j，C＝－1，D＝2＋j1.5。試寫出它們的極坐標式，并在復平面上畫出對應的矢量。解D01211.5A－1C－1B＋1＋j

3.復數的若干運算（1）用代數式進行運算方便設則

C與A、B矢量的關系如左下圖所示，一般為了減少輔助線（虛線），常畫成右下圖形式。0＋1＋jACB0＋1＋jACBC＝A+BC＝A+B

D與A、B矢量之關系如左下圖所示，亦可畫成右邊兩種形式。0＋1＋jADB－B0＋1＋jADB－B0＋1＋jADB

（2）、用指數式或極坐標式運算方便設，則D＝A－BD＝A－BD＝A－B

（3）（或）與A之關系

與A的矢量如右上圖所示。由圖可見，矢量為A矢量逆時針轉一個角的結果。例如和、的矢量如下圖所示：則設0＋1Aθ0＋1A.二.正弦信號的相量表示設取復數進行分析：可見或上式改寫為上兩式中——稱為電壓最大值相量——稱為電壓有效值相量說明：（1）相量：表示正弦量的復數稱為相量。（2）相量圖：用矢量表示相量的圖形稱為相量圖。例如V的相量圖如右所示。（3）正弦量與相量是一一對應之關系，即u(t)和i(t)是在時間域中，而、是在復數域中，它們不是相等關系。例6－7已知：，，。試寫出它們對應的有效值相量，并畫相量圖。＋1u(t)i(t)解將i2

和i3

寫成標準形式于是亦可根據已知的

i2

直接寫出，即由已知的i3

得、、的相量圖如右圖所示。0＋1－例6－8已知：，，，f＝50Hz。試寫出u1(t)、u2(t)和u3(t)的表達式。

解也可根據正弦量的三要素直接寫出u1(t)因為故同理§6－3基爾霍夫定律的相量形式

一.KCL

時域中：當各i(t)為同頻率正弦量時，則

與Re可互換各i

的ω相等上式中于是所以有或結論各i

為同

f正弦量或

二.KVL分析同上各u

為同

f正弦量或例6－9下圖（a）所示為電路中的一個節(jié)點，試求i3

和

I3，并畫相量圖。（1），；（2）i1

同（1），。i1i3i2結論圖（a）解（1）i3＝i1＋i2，因為i1和i2

為同頻率正弦量，故可用相量計算。相量圖如右圖（b）所示：圖（b）＋1－（2）相量圖如右上圖（c）所示。圖（c）圖（b）相量圖反應了滯后為，超前為

圖（c）相量圖反應了超前為，滯后為。。＋1例6－10已知：，。求uac

，并畫相量圖。解為方便起見，用最大值相量進行計算，得相量圖如右圖所示，由圖可見，uac

超前uab

為，滯后ubc

為。

上兩例的相量圖不僅反映了各相量之間的相位關系，而且也反映了相量形式的KCL和KVL。由相量圖和表達式還可以看出，兩正弦信號之和不一定大于各分量，這是因為相量和（復數和）不同于實數和，這一點務必注意。＋1§6－4電阻、電感、電容元件伏安關系的相量形式一.電阻

時域中的VAR：設則

——電阻VAR的相量形式R＋－結論（1）VAR與幅角相等——同相位、（2）電路模型R＋－R＋－時域模型相量模型（3）波形圖、相量圖0ωt波形圖相量圖上述結論中左、右兩側均為對應關系。二.電感

時域中的VAR：設則或——電感VAR的相量形式式中ωL的單位為Ω。結論（1）VAR＋－L超前為（一般稱滯后為）（2）電路模型＋－L（H）jωL（Ω）＋－時域模型相量模型（3）波形圖、相量圖0ωt波形圖相量圖例6－11如右圖，設，L＝0.2H，試求，并畫相量圖。＋－L解相量圖如下所示：三.電容

時域中的VAR：設則＋－C——電容

VAR的相量形式式中

的單位為Ω。結論（1）VAR超前為（2）電路模型＋－C(F)時域模型（Ω）＋－相量模型（3）波形圖