MATLAB-簡介(5) MATLAB 符號數(shù)學(xué)1

MATLAB符號數(shù)學(xué)在前面，我們已介紹了MATLAB在數(shù)值運算的能力，接著我們再說明另一種不同的運算法「符號數(shù)學(xué)」(symbolicmathematic)。符號代數(shù)一般我們做運算時多半是以數(shù)值做運算，例如一算式1+0.5=1.5就是以數(shù)值運算；符號運算即是能以分數(shù)做運算，而無須轉(zhuǎn)換成數(shù)值再運算。再舉一例，我們皆知cos(x)微分得到sin(x)，這樣的數(shù)學(xué)式你是無法用數(shù)值做運算。當然符號數(shù)學(xué)能運算復(fù)雜的數(shù)學(xué)式，這也是我們使用它的目的。MATLAB的符號數(shù)學(xué)是放在一個叫符號數(shù)數(shù)學(xué)的工具箱，它的數(shù)學(xué)函數(shù)其實是來自于Maple(Maple是一個以符號運算為主的數(shù)學(xué)運算軟體)的運算核心。在MATLAB中，符號對象是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，包括符號常數(shù)、符號變量和符號表達式。符號常數(shù)、符號變量、符號函數(shù)、符號操作等則是用來形成符號表達式，嚴格按照代數(shù)、微積分等課程中的規(guī)則、公式進行運算，并盡可能給出解析表達式結(jié)果。數(shù)值表達式的變量必須事先被賦值。符號對象也要定義基本的符號對象，然后才能進行符號運算。創(chuàng)建符號常量Sym(‘常量’)

例：>>a=sym(‘sin(2)’)%創(chuàng)建符號常量

>>a=sym(sin(2))%把常量轉(zhuǎn)換為符號常量Sym(常量，參數(shù)）參數(shù)作用D返回最接近的十進制數(shù)值（默認32位）F返回最接近的浮點表示R返回最接近的有理數(shù)型（為系統(tǒng)默認方式)，可表示為p/q,p*q,10^q,pi/q,2^q,sqrt(p)形式之一e返回最接近的帶有機器浮點誤差的有理值例：>>a1=2*sqrt(5)+pi

%創(chuàng)建數(shù)值常量>>a2=sym(‘2*sqrt(5)+pi’)%創(chuàng)建符號表達式>>a3=sym(2*sqrt(5)+pi)%按最接近的有理數(shù)型表示符號常量>>a4=sym(2*sqrt(5)+pi,’d’)%按最接近的十進制浮點數(shù)表示符號常量>a5=‘2*sqrt(5)+pi’%字符串常量>>a31=a3-a1%數(shù)值常量和符號常量的計算sym(‘a(chǎn)rgv’,flagv)%falgv的取值可以為positive,real,和unreal。

>>sym(‘x’,’real’)>>sym(‘y’,’real’)syms（’arg1’,’arg2’,…,flagv）%定義字符串變量為符號變量Symsarg1arg2…,flagv

>>symsabcx>>syms(‘a(chǎn)’,’b’,’c’,’x’)f=sym(‘表達式’)>>z=sym(‘x+iy’)創(chuàng)建符號變量和表達式符號表示式在MATLAB中是將一符號表示式儲存唯一字串(characterstring)，即是以二個單引號之內(nèi)的表示式來定義其為一符號式，例如'tan(y/x)','x^3-2*x^2+3','1/(cos(angle)+2)'

的三個式子。在一符號表示式中，需要定義所謂的獨立變數(shù)。如果未曾事先指定何者為獨立變數(shù)，MATLAB會自行決定。而它所決定變數(shù)的原則如下：它會挑選一個除了i和j之外而在字母上最接近x的小寫字元；如果在式子中并無上述字元，則x會被視為預(yù)設(shè)的獨立變數(shù)。函數(shù)symvar(s)

可以用已決定何者為獨立變數(shù)。請看以下的例子：expressionSsymvar(S)

symvar('tan(y/x)')xysymvar(‘x^3-2*x^2+3’)xsymvar('1/(cos(angle)+2)')xsymvar('3*a*b-6’)ba自由變量的確定規(guī)則－小寫字母i和j不能作為自由變量；－符號表達式有多個字符變量，則按照以下順序選擇自由變量：

①x；

②字母表順序中最接近x的字符變量；

③如果與x相同距離，則在x后面的優(yōu)先。－大寫字母比小寫字母都靠后。MATLAB提供了一個函數(shù)ezplot

可以畫單變數(shù)的符號式，其預(yù)設(shè)的獨立變數(shù)的范圍是-2π,2π。它的語法為ezplot(S),S代表符號變數(shù)；另一個相關(guān)語法ezplot(S,[xmin,xmax])，則是設(shè)定獨立變數(shù)的范圍xmin到xmax。

平面曲線：ezplotMatlab符號函數(shù)繪圖ezplot(f(x))ezplot(f(x),[a,b])ezplot(f(x,y))ezplot(f(x,y),[a,b,c,d])ezplot(f(x,y),[a,b])例：ezplot(‘sin(x)’)ezplot(‘sin(x)’,[-pi,pi])ezplot(‘x^2+y^2-9’)ezplot(‘x^2+y^2-9’,[-3,3])函數(shù)表達式要加單引號。Iffisafunctionofthevariablesuandv(ratherthanxandy),thenthedomainendpointsa,b,c,anddaresortedalphabetically.Thus,

EZPLOT('u^2-v^2-1',[-3,2,-2,3])plotsu^2-v^2-1=0over-3<u<2,-2<v<3.ExamplesEitherofthefollowingcommands,ezplot('erf(x)')ezplot

erf(x)plotagraphoftheerrorfunction::Thestatement,ezplot('sin(x)',[02*pi])createstheplot:>>ezplot('sin(t)','cos(t)')ezplot('sin(3*t)*cos(t)','sin(3*t)*sin(t)',[0,pi])

符號表達式的書寫有多種形式：多項式表達形式;因式形式表達形式嵌套形式表達形式符號運算中有許多操作指令，如collect（合并同類項）、expand（對指定項展開）、factor（進行因式或因子分解）、horner（轉(zhuǎn)換成嵌套形式）、numden（提取公因式）、simplify（恒等式簡化）、pretty（習慣方式顯示），simple等。注：EXPR可以是符號表達式或矩陣。在這種情況下，這些指令將對該矩陣的元素逐個進行操作。符號表達式的操作以下的函數(shù)用來簡化數(shù)學(xué)式，如展開、化簡或合并同類項。相關(guān)的指令有：collect(S)合并S的同類項collect(S,'v')合并S的同類項，是以v為獨立變數(shù)expand(S)

將S表示式展開factor(S)

還原S的因式(factorization)simple(S)

如果可能的話，將S表示式再做簡化simplify(S)

利用Maple簡化法則化簡S表示式我們來看一些例子

>>symsxy>>factor(x^3-1)ans=(x-1)*(x^2+x+1)>>expand((x-3)^2+(y-4)^2

)ans=x^2-6*x+25+y^2-8*y>>collect((x-3)^2+(y-4)^2

)ans=x^2-6*x+9+(y-4)^2>>collect((x-3)^2+(y-4)^2,’y’)

ans=y^2-8*y+(x-3)^2+16>>S3='sqrt(a^4*b^7)'>>S4='14*x^2/(22*x*y)';

>>simplify(sqrt(a^4*b^7))ans=a^2*b^(7/2)>>simple(14*x^2/(22*x*y))ans=7/11*x/y符號表示式的運算以下列出幾個常用的符號運算函數(shù)，它們可以將一符號數(shù)學(xué)式轉(zhuǎn)換成另一種型態(tài)。分列如下：horner(S)

將S轉(zhuǎn)換成巢狀表示式numden(S)

將S的有理數(shù)表示成分子和分母的形式numeric(S)

將S改成數(shù)值式(S不能含有任何符號變數(shù))poly2sym(c)

轉(zhuǎn)換多項式系數(shù)向量c為符號多項式pretty(S)

將S顯示成數(shù)學(xué)式sym2poly(S)

轉(zhuǎn)換S為多項式系數(shù)向量symadd(A,B)執(zhí)行A+B的符號加法symdiv(A,B)

執(zhí)行A+B的符號除法symmul(A,B)

執(zhí)行A+B的符號乘法sympow(S,p)

執(zhí)行S^p的符號次方運算symsub(A,B)

執(zhí)行A+B的符號減法我們接著看幾個應(yīng)用上述函數(shù)的例子>>p2='3*y./(y+2)';>>p1='1/(y-3)';>>p3='(y+4)*(y-3)*y';

>>symmul('1/(y-3)'

,'(y+4)*(y-3)*y’)ans=(y+4)*y>>sympow(p2,3)ans=27*y^3/(y+2)^3>>p1='1/(y-3)';>>p2='3*y/(y+2)';>>p3='(y+4)*(y-3)*y';

>>symadd(p1,p2)ans=1/(y-3)+3*y/(y+2)>>[num,den]=numden(symadd(p1,p2))ans=[-8*y+2+3*y,(y-3)*(y+2)]>>horner(symadd(p3,'1')ans=1+(-12+(1+y)*y)*yTaylorseriesexpansion.TAYLOR(f)isthefifthorderMaclaurinpolynomialapproximationtof.Threeadditionalparameterscanbespecified,inalmostanyorder.TAYLOR(f,n)isthe(n-1)-storderMaclaurinpolynomial.TAYLOR(f,a)istheTaylorpolynomialapproximationaboutpointa.TAYLOR(f,x)usestheindependentvariablexinsteadofFINDSYM(f).Taylor級數(shù)展開Examples:

taylor(exp(-x))returns1-x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/24*x^4-1/120*x^5taylor(log(x),6,1)returnsx-1-1/2*(x-1)^2+1/3*(x-1)^3-1/4*(x-1)^4+1/5*(x-1)^5taylor(sin(x),pi/2,6)returns1-1/2*(x-1/2*pi)^2+1/24*(x-1/2*pi)^4taylor(x^t,3,t)returns1+log(x)*t+1/2*log(x)^2*t^21練習Matlab

ezplot

畫單變數(shù)的符號式2練習M