平穩(wěn)時間序列模型的性質(zhì)

第五章平穩(wěn)時間序列模型的性質(zhì)第一節(jié)自回歸過程的性質(zhì)第二節(jié)移動平均過程的性質(zhì)第三節(jié)自回歸移動平均過程的性質(zhì)2/4/20231第四章時間序列模型的性質(zhì)第一節(jié)自回歸過程的性質(zhì)一、一階自回歸過程AR(1)的性質(zhì)二、二階自回歸過程AR(2)的性質(zhì)三、p階自回歸過程AR(p)的性質(zhì)2/4/20232第四章時間序列模型的性質(zhì)一、一階自回歸過程AR(1)的性質(zhì)一階自回歸模型的形式為：或2/4/20233第四章時間序列模型的性質(zhì)1、平穩(wěn)性和可逆性a.可逆性：一個有限階的自回歸模型總是可逆的，所以，ar(1)模型總是可逆的。B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外，即應有：2/4/20234第四章時間序列模型的性質(zhì)2.ar(1)過程的自相關(guān)函數(shù)2/4/20235第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/20236第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/20237第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/20238第四章時間序列模型的性質(zhì)通過上述推導可看出，當過程平穩(wěn)即時，AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)（ACF）呈指數(shù)衰減。如果，那么所有的自相關(guān)系數(shù)都為正，并逐漸衰減。如果，自相關(guān)系數(shù)的符號以負號開始，并呈正、負交替逐漸衰減。2/4/20239第四章時間序列模型的性質(zhì)例1，下面兩圖表分別是模擬生成的249個數(shù)據(jù)如下AR(1)過程趨勢圖和自相關(guān)圖2/4/202310第四章時間序列模型的性質(zhì)-6-4-202482848688909294969800例1，模擬生成的AR(1)過程趨勢圖2/4/202311第四章時間序列模型的性質(zhì)例1：模擬生成的AR(1)過程自相關(guān)圖:呈指數(shù)衰減2/4/202312第四章時間序列模型的性質(zhì)例2，下面兩圖表分別是模擬生成的249個數(shù)據(jù)如下AR(1)過程趨勢圖和自相關(guān)圖2/4/202313第四章時間序列模型的性質(zhì)-6-4-2024682848688909294969800Y例2，模擬生成的AR(1)過程趨勢圖2/4/202314第四章時間序列模型的性質(zhì)例2：模擬生成的AR(1)過程自相關(guān)圖::呈正負交替指數(shù)衰減2/4/202315第四章時間序列模型的性質(zhì)3.AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）A.偏自相關(guān)函數(shù)的一般公式2/4/202316第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202317第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202318第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202319第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202320第四章時間序列模型的性質(zhì)B.AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)2/4/202321第四章時間序列模型的性質(zhì)上述結(jié)論說明：AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)在滯后一階有一峰值，其符號取決于。滯后一階以后PACF截尾。2/4/202322第四章時間序列模型的性質(zhì)另一種思路：根據(jù)定義：偏自相關(guān)函數(shù)是指扣除Xt和Xt-k之間的隨機變量Xt-1,Xt-2,…Xt-k-1等影響之后的Xt和Xt-k之間的相關(guān)性。對于p階自回歸過程，當s≤p時，xt與xt-s有直接的相關(guān)性；而s>p時，兩者沒有直接的相關(guān)性。因此，對于AR(p)過程，在模型的滯后階數(shù)以內(nèi)，通常有非零的偏自相關(guān)系數(shù)；但在滯后階數(shù)以外，偏自相關(guān)系數(shù)則為零。2/4/202323第四章時間序列模型的性質(zhì)例1：模擬生成的AR(1)過程自相關(guān)圖::滯后一階以后截尾2/4/202324第四章時間序列模型的性質(zhì)例2：模擬生成的AR(1)過程自相關(guān)圖::滯后一階以后截尾2/4/202325第四章時間序列模型的性質(zhì)4.AR(1)過程的傳遞形式和格林函數(shù)2/4/202326第四章時間序列模型的性質(zhì)二、二階自回歸AR(2)過程的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或2/4/202327第四章時間序列模型的性質(zhì)B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型總是可逆的。2/4/202328第四章時間序列模型的性質(zhì)2.AR(2)過程的自相關(guān)函數(shù)2/4/202329第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202330第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202331第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202332第四章時間序列模型的性質(zhì)通過上述推導可以如下結(jié)論，在AR(2)過程的平穩(wěn)性條件滿足時，如果特征方程的根為實根，即時，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減。如果特征方程的根為復根，即時，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈阻尼正弦波衰減。2/4/202333第四章時間序列模型的性質(zhì)3.AR(2)過程的偏自相關(guān)函數(shù)2/4/202334第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202335第四章時間序列模型的性質(zhì)另一種思路：直接根據(jù)定義2/4/202336第四章時間序列模型的性質(zhì)通過上述證明可以得出如下結(jié)論：2/4/202337第四章時間序列模型的性質(zhì)例1，下面兩圖表分別是模擬生成的250個數(shù)據(jù)如下AR(2)過程趨勢圖和自相關(guān)圖2/4/202338第四章時間序列模型的性質(zhì)-4-202482848688909294969800例1.模擬生成的AR(2)過程趨勢圖2/4/202339第四章時間序列模型的性質(zhì)例1.模擬生成的AR(2)過程自相關(guān)圖呈混合指數(shù)衰滯后二階以后截尾2/4/202340第四章時間序列模型的性質(zhì)例2，下面兩圖表分別是模擬生成的250個數(shù)據(jù)如下AR(2)過程趨勢圖和自相關(guān)圖2/4/202341第四章時間序列模型的性質(zhì)-6-4-2024682848688909294969800例2.模擬生成的AR(2)過程趨勢圖2/4/202342第四章時間序列模型的性質(zhì)例2.模擬生成的AR(2)過程自相關(guān)圖呈混合指數(shù)衰減滯后二階以后截尾2/4/202343第四章時間序列模型的性質(zhì)例3，下面兩圖表分別是模擬生成的250個數(shù)據(jù)如下AR(2)過程趨勢圖和自相關(guān)圖2/4/202344第四章時間序列模型的性質(zhì)-4-202482848688909294969800模擬生成的AR(2)過程趨勢圖2/4/202345第四章時間序列模型的性質(zhì)模擬生成的AR(2)過程自相關(guān)圖呈阻尼正弦波衰減滯后二階以后截尾2/4/202346第四章時間序列模型的性質(zhì)4.AR(2)過程的傳遞形式和格林函數(shù)（1）傳遞形式（2）格林函數(shù)2/4/202347第四章時間序列模型的性質(zhì)三、p階自回歸過程AR(p)的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或2/4/202348第四章時間序列模型的性質(zhì)B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：ar(p)模型總是可逆的。2/4/202349第四章時間序列模型的性質(zhì)對于高階的自回歸過程，其平穩(wěn)性條件用其模型參數(shù)表示雖比較復雜，但都有最基本的一點：這是自回歸過程平穩(wěn)的必要條件之一。2/4/202350第四章時間序列模型的性質(zhì)2.AR(p)的自相關(guān)函數(shù)ACF2/4/202351第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202352第四章時間序列模型的性質(zhì)通過上述推導有如下結(jié)論：對于平穩(wěn)過程，有|λi|<1，AR(p)過程的ACF是由差分方程的根確定的，呈混合指數(shù)衰減或出現(xiàn)復根時的阻尼正弦波衰減。2/4/202353第四章時間序列模型的性質(zhì)3.AR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)PACF2/4/202354第四章時間序列模型的性質(zhì)可以很容易地看出，當k>p時，上式分母行列式最后列是同一矩陣前面各列的線性組合。于是當k>p時,有φkk=0。所以，AR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)滯后p階截尾。2/4/202355第四章時間序列模型的性質(zhì)4.AR(p)模型的傳遞形式和格林函數(shù)(1)傳遞形式(2)格林函數(shù)2/4/202356第四章時間序列模型的性質(zhì)例:考察如下AR模型的自相關(guān)和偏自相關(guān)2/4/202357第四章時間序列模型的性質(zhì)ACFPACF2/4/202358第四章時間序列模型的性質(zhì)ACFPACF2/4/202359第四章時間序列模型的性質(zhì)ACFPACF2/4/202360第四章時間序列模型的性質(zhì)ACFPACF2/4/202361第四章時間序列模型的性質(zhì)第二節(jié)移動平均過程的性質(zhì)一、一階移動平均過程MA(1)的性質(zhì)二、二階移動平均過程MA(2)的性質(zhì)三、q階移動平均過程MA(q)的性質(zhì)2/4/202362第四章時間序列模型的性質(zhì)一、一階移動平均過程MA(1)的性質(zhì)一階移動平均模型MA(1)的形式為：其中：xt為零均值平穩(wěn)序列，εt為零均值的白噪聲。2/4/202363第四章時間序列模型的性質(zhì)1.MA(1)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：AR(1)過程總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性，θ(B)=1－θ1B=0的根必須在單位圓外，即有：2/4/202364第四章時間序列模型的性質(zhì)注：以后對MA(1)過程性質(zhì)的討論中，都假定可逆性條件滿足，即有：|θ1|<1。2/4/202365第四章時間序列模型的性質(zhì)2.MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)ACF2/4/202366第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202367第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202368第四章時間序列模型的性質(zhì)3.MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)PACF這里不加證明的給出偏自相關(guān)函數(shù)的遞推公式：2/4/202369第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202370第四章時間序列模型的性質(zhì)由上推導可得出如下結(jié)論：在可逆性條件滿足情況下,MA(1)過程的PACF呈指數(shù)拖尾。如果θ1>0,那么PACF都為負，且呈指數(shù)衰減；如果θ1<0,那么PACF正負交替呈指數(shù)衰減。2/4/202371第四章時間序列模型的性質(zhì)另一種證明思路：對于移動平均過程MA(q)，其偏自相關(guān)函數(shù)會是什么樣的呢？為了考察yt與yt-k是否直接相關(guān)，可將MA模型轉(zhuǎn)換成AR模型；事實上，只要MA(q)過程是可逆的，它就可以表示成AR(∞)。2/4/202372第四章時間序列模型的性質(zhì)例1：模擬產(chǎn)生的250個數(shù)據(jù)的如下MA(1)過程的趨勢圖和自相關(guān)圖：2/4/202373第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202374第四章時間序列模型的性質(zhì)Xt=εt－0.85εt-1

=(1－0.85B)εt其中θ1=0.85>0εt為白噪聲滯后一階截尾呈負指數(shù)衰減2/4/202375第四章時間序列模型的性質(zhì)例2：模擬產(chǎn)生的250個數(shù)據(jù)的如下MA(1)過程的趨勢圖和自相關(guān)圖：2/4/202376第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202377第四章時間序列模型的性質(zhì)Xt=εt－(－0.85)εt-1

=(1－(－0.85)B)εt其中θ1=－0.85<0呈正負交替指數(shù)衰減滯后一階截尾2/4/202378第四章時間序列模型的性質(zhì)4.MA(1)過程的逆轉(zhuǎn)形式2/4/202379第四章時間序列模型的性質(zhì)二、二階移動平均過程MA(2)的性質(zhì)二階移動平均模型MA(2)的形式為：其中：xt為零均值平穩(wěn)序列，εt為零均值的白噪聲。2/4/202380第四章時間序列模型的性質(zhì)1.MA(2)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：MA(2)過程總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性,的根必須在單位圓外。2/4/202381第四章時間序列模型的性質(zhì)2.MA(2)過程的自相關(guān)函數(shù)ACF2/4/202382第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202383第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202384第四章時間序列模型的性質(zhì)2.MA(2)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)2/4/202385第四章時間序列模型的性質(zhì)對于MA(2)過程，我們有如下結(jié)論：如果其特征方程:1－θ1B－θ2B2=0的根是實數(shù)，則φkk是兩個衰減指數(shù)的和；如果其根是復數(shù)，則φkk是一衰減的正弦波。2/4/202386第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202387第四章時間序列模型的性質(zhì)滯后二階截尾指數(shù)衰減(拖尾)2/4/202388第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202389第四章時間序列模型的性質(zhì)滯后二階截尾阻尼正弦波衰減(拖尾)2/4/202390第四章時間序列模型的性質(zhì)4.MA(2)過程的逆轉(zhuǎn)形式2/4/202391第四章時間序列模型的性質(zhì)三、q階移動平均過程MA(q)性質(zhì)2/4/202392第四章時間序列模型的性質(zhì)1.平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：有限階移動平均過程MA(q)總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性，的根必須在單位圓外。2/4/202393第四章時間序列模型的性質(zhì)對于高階的移動平均過程，其可逆性條件用其模型參數(shù)表示雖比較復雜，但都有最基本的一點：這是移動平均過程可逆的必要條件之一。2/4/202394第四章時間序列模型的性質(zhì)2.MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)(ACF)2/4/202395第四章時間序列模型的性質(zhì)因而：MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)是滯后q階截尾的。2/4/202396第四章時間序列模型的性質(zhì)證明：2/4/202397第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/202398第四章時間序列模型的性質(zhì)3.MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）要用明確的公式表示出MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)是很困難的，但是從前面我們對MA(1)、MA(2)的討論中，可以看出：MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)是由的根確定的，呈混合指數(shù)衰減或阻尼正弦波衰減。2/4/202399第四章時間序列模型的性質(zhì)例:考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)2/4/2023100第四章時間序列模型的性質(zhì)MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾

2/4/2023101第四章時間序列模型的性質(zhì)MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾

2/4/2023102第四章時間序列模型的性質(zhì)MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

2/4/2023103第四章時間序列模型的性質(zhì)MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

2/4/2023104第四章時間序列模型的性質(zhì)MA模型可逆性MA模型自相關(guān)系數(shù)的不唯一性例中不同的MA模型具有完全相同的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)2/4/2023105第四章時間序列模型的性質(zhì)可逆概念的重要性一個自相關(guān)系數(shù)列唯一對應一個可逆MA模型。

2/4/2023106第四章時間序列模型的性質(zhì)第三節(jié)自回歸移動平均ARMA(p,q)過程一、ARMA(1,1)的性質(zhì)二、ARMA(p,q)過程的性質(zhì)2/4/2023107第四章時間序列模型的性質(zhì)一、ARMA(1,1)的性質(zhì)2/4/2023108第四章時間序列模型的性質(zhì)1.ARMA(1,1)過程的平穩(wěn)性和可逆性2/4/2023109第四章時間序列模型的性質(zhì)2.ARMA(1,1)過程的ACF2/4/2023110第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/2023111第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/2023112第四章時間序列模型的性質(zhì)通過上式可以看出，ARMA(1,1)過程的自相關(guān)函數(shù)具有AR(1)過程和MA(1)過程的組合特性。當k=1時，自相關(guān)系數(shù)有一峰值，并且是由φ1和θ1共同決定，。當k≥2時，自相關(guān)系數(shù)僅取決于φ1即自回歸部分對應的差分方程的根，呈指數(shù)衰減。2/4/2023113第四章時間序列模型的性質(zhì)3.ARMA(1,1)過程的PACFARMA(1,1)過程的PACF和它的ACF一樣，也是滯后一階有一峰值，一階以后呈指數(shù)衰減，不過指數(shù)衰減的形態(tài)由φ1和θ1共同決定，因此指數(shù)衰減的形態(tài)比MA(1)過程PACF指數(shù)衰減形式更多2/4/2023114第四章時間序列模型的性質(zhì)例1：模擬產(chǎn)生的250個數(shù)據(jù)的如下ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF：2/4/2023115第四章時間序列模型的性質(zhì)例1.模擬生成的ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF滯后一階有一峰值之后呈指數(shù)衰減滯后一階有一峰值之后呈指數(shù)衰減2/4/2023116第四章時間序列模型的性質(zhì)例2：模擬產(chǎn)生的250個數(shù)據(jù)的如下ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF：2/4/2023117第四章時間序列模型的性質(zhì)例2.模擬生成的ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF指數(shù)拖尾指數(shù)拖尾滯后一階有峰值2/4/2023118第四章時間序列模型的性質(zhì)4.ARMA(1,1)過程的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式（1）傳遞形式和格林函數(shù)：xt=φ-1(B)θ(B)at（2）逆轉(zhuǎn)形式和逆函數(shù)θ-1(B)φ

(B)xt=at2/4/2023119第四章時間序列模型的性質(zhì)二、ARMA(p,q)過程的性質(zhì)2/4/2023120第四章時間序列模型的性質(zhì)1.ARMA(p,q)的平穩(wěn)性和可逆性2/4/2023121第四章時間序列模型的性質(zhì)2/4/2023122