人教版數(shù)學(xué)高二A版選修2-3教案3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用第二課時(shí)

高中數(shù)學(xué)打印版第課教學(xué)目標(biāo)知識與技能從相關(guān)指數(shù)和殘差分析角度探討回歸模型的擬合效果，以及建立回歸模型的基本步驟．過程與方法在發(fā)現(xiàn)直接求回歸直線方程存在缺陷的基礎(chǔ)上學(xué)生去發(fā)現(xiàn)解決問題的新思—進(jìn)行回歸分析，進(jìn)而介紹殘差分析的方法和利用R獻(xiàn)率．

來表示解釋變量對于預(yù)報(bào)變量變化的貢情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)數(shù)與實(shí)生活的聯(lián)系學(xué)態(tài)度評價(jià)兩個(gè)變量的相關(guān)性，掌握處理問題的方法成謹(jǐn)治學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神養(yǎng)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力教學(xué)中適地利用學(xué)生的合作與交流學(xué)生在學(xué)習(xí)的同時(shí)體與他人合作的重要性．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)從殘差分析相關(guān)指數(shù)角度探討回歸模型的擬合效果及建立回歸模型的基本步驟；教學(xué)難點(diǎn)：了解評價(jià)回歸效果的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：相關(guān)指數(shù)、殘差和殘差平方和．教過引入新課(幻燈片)編號身高/

體重/

54646143上表是上一節(jié)課我們從某大學(xué)選取名大學(xué)生其身高和體重?cái)?shù)據(jù)組成的數(shù)據(jù)表一節(jié)課中我們通過數(shù)據(jù)建立了回歸直線方程，并根據(jù)方程預(yù)測了身高為72的大學(xué)生的體重．當(dāng)時(shí)們提到根據(jù)回歸直線方程求得的體重?cái)?shù)據(jù)僅是一個(gè)估計(jì)值，其與真實(shí)值之間存在著誤差，為了綜合分析身高和體重的關(guān)系，我們引入了線性回歸模型y＝bx＋來表示兩變量之間的關(guān)系，其中隨機(jī)變量，又稱隨機(jī)誤差．線性回歸模型y＝bx＋ae增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量y的由自變量x和機(jī)誤差同確定．假設(shè)隨機(jī)誤差對體重沒有影響也就是說體僅身高的影響那么散點(diǎn)圖中所有的點(diǎn)將完全落在回歸直線上．但是，在圖中，數(shù)據(jù)點(diǎn)并沒有完全落在回歸直線上．這些點(diǎn)散布在回歸直線附近，所以一定是隨機(jī)誤差把這些點(diǎn)從回歸直線推”開了，自變量x能解釋部分的化．同學(xué)們考慮一下，隨機(jī)變量e的均值是多少？差又是多少？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生思考回答問題．學(xué)情預(yù)測：學(xué)生回答E(e)，D(e)σ教師提問：能否通過D(e)來刻畫線性回歸模型的合程度？學(xué)情預(yù)測隨誤差的方差越小通回歸直線預(yù)報(bào)真實(shí)值y的度高隨誤差是引起預(yù)報(bào)值與真實(shí)值y之的誤差原因之一，其大小取決于隨機(jī)誤差的方差．設(shè)計(jì)意圖說研究隨機(jī)誤差的要性通過研究隨機(jī)誤差以分析預(yù)報(bào)值的可信度．提出問題：既然可以用隨機(jī)變量的方差來衡量隨機(jī)誤差的大小，即通過方差2

來刻畫預(yù)報(bào)變量體重)的變化在多大程度上與隨機(jī)誤差有關(guān)，那么如何獲得方差σ學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，小組合作交流討論．

呢？活動(dòng)結(jié)果：可以采用抽樣統(tǒng)計(jì)的思想，通過隨機(jī)變量e的本來估計(jì)σ精心校對版本

的大?。?/p>

^^^^^^^12nn^^iiii^^^^^^^12nn^^iiiiiiin^iii^^設(shè)計(jì)目的：復(fù)習(xí)抽樣統(tǒng)計(jì)思想，以便通過隨機(jī)變量e的本來估計(jì)總體．探究新知提出問題既然表了解釋變量以外其他各種影響預(yù)報(bào)值的因素帶來的誤差么如何獲得e的樣本來計(jì)算σ

呢？學(xué)生活動(dòng)：分組合作討論交流．學(xué)情預(yù)測：由函數(shù)模y＝bx＋a和歸模型y＝bx＋＋可＝y(tǒng)y，樣根據(jù)圖表中女大學(xué)生的身高求出預(yù)報(bào)值，再與真實(shí)值作差，即可求得e的一個(gè)估計(jì)值．教師由在計(jì)算回歸直線方程利用公式求得和為斜率和截距的估計(jì)值它們與真實(shí)值間存在誤差，因y是計(jì)值，所e＝y(tǒng)－y也一個(gè)估計(jì)值．由上可知，對于樣本(x，)，(x，y)，，(x，)而言，它們的隨機(jī)誤差為e＝y(tǒng)－bx－，i，，稱其估計(jì)值＝y(tǒng)－

i

為相應(yīng)于點(diǎn)x)的差．將所有殘差的平方加起來，即i

2這個(gè)和稱作殘差平方和．i類比樣本方差估計(jì)總體方差的思想，可以用^σ

＝

^12(y－y)－n－ii

2

作為2

的估計(jì)量，通常σ

越小，預(yù)報(bào)精度越高．這樣當(dāng)們求得回歸直線方程以通過殘差來判斷模型擬合程度的效果判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析．設(shè)計(jì)目的：通過問題誘思，引入殘差概念．理解新知提出問題對照女大學(xué)生的身高體重的原始數(shù)據(jù)合求出的回歸直線方程求出相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)．學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立完成．活動(dòng)結(jié)果：編號身高(體重kg)殘差e

－

－

－

提出問題根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)樣本編號為橫坐標(biāo)差值為縱坐標(biāo)出點(diǎn)圖這樣的散點(diǎn)圖稱作殘差．學(xué)生活動(dòng)：分組合作，共同完成．活動(dòng)結(jié)果：殘差圖精心校對版本

^^^n^iiiiiii高中數(shù)學(xué)打印版^^^n^iiiiiii提出問題觀察上面的殘差圖認(rèn)哪幾個(gè)樣本點(diǎn)在采集時(shí)可能存在人為的錯(cuò)誤？為什么？學(xué)生活動(dòng)：分組討論．活動(dòng)結(jié)果第一個(gè)和第六個(gè)樣本在采集過程中可能存在錯(cuò)誤為他的樣本點(diǎn)基本都集中在一個(gè)區(qū)域內(nèi)只有這兩樣本點(diǎn)的殘差比較大對其他樣本點(diǎn)來說分得較為分散．提出問題：如何從殘差圖來判斷模型的擬合程度？學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立思考也可相互討論．活動(dòng)結(jié)果：因

越小，預(yù)報(bào)精度越高，即模型的擬合程度越高，2小的值越集中故殘差點(diǎn)比較均勻落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)明選用的模型比較合適且?guī)顓^(qū)域的寬度越窄，說明擬合精度越高，回歸直線的預(yù)報(bào)精度越高．教師：在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，人們經(jīng)常用相關(guān)指數(shù)(y－2

來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：R

＝1－

1n(y21提出問題：分析上面計(jì)算相關(guān)指數(shù)R

的公式，如何根據(jù)R2

來判斷模型的擬合效果？學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立思考也可相互討論，教師加以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)提示．n活動(dòng)結(jié)果：因?yàn)閷τ诖_定的樣本數(shù)據(jù)而言，(y－y)21意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好．

是一個(gè)定值，故R2

取值越大，提出問題：在線性回歸模型中R

表示解釋變量對于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率

越接近1，表示回歸的效果越好，即解釋變量和預(yù)報(bào)量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，試計(jì)算關(guān)于女大學(xué)生身高與體重問題中的相關(guān)指數(shù)R

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立計(jì)算獲得數(shù)據(jù)．活動(dòng)結(jié)果：2≈0.64.根據(jù)R≈0.64就得出“女大學(xué)生的身高解釋了64%體重變”，或者說“大學(xué)生的體重差異有64%由身高引起的就難理解為什么預(yù)報(bào)體重和真實(shí)值之間有差距了．設(shè)計(jì)目的結(jié)合圖象讓生直觀感受殘差圖在刻畫回歸模型擬合效果方面的應(yīng)用會(huì)殘差分析和相關(guān)指數(shù)的意義．提出問題根據(jù)前面得到的回歸程否預(yù)測一名美國女大學(xué)生的體重？建立回歸模型后能否一勞永逸，在若干年后還可以使用，或者適用于多年以前的女大學(xué)生體重預(yù)測？精心校對版本

^^^12n^高中數(shù)學(xué)^^^12n^學(xué)生活動(dòng)：討論交流總結(jié)發(fā)言．活動(dòng)結(jié)果：在使用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)要注意：(1)回歸方程只適用于我們所研究樣本的總體；(2)我們建立的回歸方程一般都有間性；(3)樣本取值的范圍會(huì)影響回歸方的適用范圍；(4)不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)就是預(yù)報(bào)變量的精確值．提出問題：結(jié)合我們剛學(xué)習(xí)的概念，現(xiàn)在能否將建立回歸模型的步驟補(bǔ)充完整？學(xué)生活動(dòng)：討論交流，合作完成．活動(dòng)結(jié)果：一般地，建立回歸模型的基本步驟為：(1)確定研究對象，明確哪個(gè)變量解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量．(2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)如是否存在線性關(guān)系等)．(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方．(4)按一定規(guī)則如最小二乘)估計(jì)回歸方程中的參數(shù)．(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有(如個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等)．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．設(shè)計(jì)意圖設(shè)問題，讓學(xué)生討分析出用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)需注意的問題，并讓學(xué)生完善建立回歸模型的步驟．在這個(gè)過程中師宜做太多引導(dǎo)，要放手給學(xué)生，讓學(xué)生討論，充分參與進(jìn)來．運(yùn)用新知例1個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了0次試驗(yàn)，測得的數(shù)據(jù)如下：編號零件數(shù)x/個(gè)

加工時(shí)間y/

68758189102115122(1)建立零件數(shù)為解釋變量，加工間為預(yù)報(bào)變量的回歸模型，并計(jì)算殘差；(2)你認(rèn)為這個(gè)模型能較好地刻畫件數(shù)和加工時(shí)間的關(guān)系嗎？分：先根據(jù)散點(diǎn)圖粗略判斷變量是否具線性相關(guān)性斷是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)，然后通過殘ee來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)是否存在可疑數(shù)據(jù)．解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖下：散點(diǎn)圖由散點(diǎn)圖可知變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，可以通過求線性回歸方程來擬合數(shù)據(jù)．根據(jù)公式可求得加工時(shí)間對零件數(shù)的線性回歸方程y＝0.668x＋精心校對版本

^^^^^^ii5^5iii高中數(shù)學(xué)打印版^^^^^^ii5^5iii殘差數(shù)據(jù)如下表：編號

10殘差e

－

－0.65

－

－0.37

－0.05

(2)畫出殘差圖殘差圖由圖可知?dú)堻c(diǎn)分布較均勻即用上述回歸模型擬合數(shù)據(jù)效果很好但需注意由差圖也可以看出4個(gè)本和第樣本點(diǎn)殘差較大要認(rèn)在采集這兩個(gè)樣本點(diǎn)的過程中是否有人為的錯(cuò)誤．點(diǎn)評由點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量的性相關(guān)關(guān)系差較大利殘差圖可以較好地評價(jià)模型的擬合程度，并能發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)中的可疑數(shù)據(jù)．【變練演編】例一段時(shí)間內(nèi)，某種商品的價(jià)格元)和需求量y()之間的一組數(shù)據(jù)為：價(jià)格元需求量y/

161820504341求出y對x的歸方程，并說明擬合效果的好壞．思分：根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)若相關(guān)，求出回歸直線方程后通過相關(guān)指數(shù)的大小來評價(jià)擬合效果的好壞．解：作出散點(diǎn)圖：從作出的散點(diǎn)圖可以看出這些點(diǎn)在一條直線附近用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)由數(shù)據(jù)可得＝，y＝，由計(jì)算公式＝，＝y(tǒng)－bx＝故yx的歸方程y＝2.35x＋，列表yy

i

1.2

－0.14.6

－－

0.3－4.4

－8.4所以(y－)2＝8.3，(y－2229.2.i

i1精心校對版本

5^iiiii高中數(shù)學(xué)打印版5^iiiii(y－2相關(guān)指數(shù)R2

＝1－

1

≈0.946.5(y－y)

1因?yàn)楹芙?所以該模型的擬合效果很好．變式：若要分析是否在上述樣本的采集過程中存在可疑數(shù)據(jù)，應(yīng)如何分析？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生分組討論，回顧課本解答問題．活動(dòng)成果：可以畫出殘差圖來進(jìn)行分析．變式：既然利用殘差圖和相關(guān)指數(shù)都能夠評價(jià)回歸模型的擬合效果，能否總結(jié)一下兩種方法各自的特點(diǎn)？活動(dòng)成果利用殘差圖可以直觀示擬合的效果且可以發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)而關(guān)指數(shù)是把對擬合效果的評價(jià)轉(zhuǎn)換為數(shù)值大小的判斷于化處理并能在數(shù)量上表現(xiàn)解釋變量對于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率．設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步熟悉判斷擬合效果的方法以及各自的特點(diǎn)．【達(dá)標(biāo)檢測】．分析下列殘差圖，所選用的回歸模型效果最好的()ABC

D．下列說法正確的()①回歸直線方程適用于一切樣本和總體回直線方程一般都有時(shí)間性樣本的取值范圍會(huì)影響回歸直線方程的適用范圍據(jù)回歸直線方程得到的預(yù)測值是預(yù)測變量的精確值．A①③④B．③C．①②D．④．在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時(shí)，若求得相關(guān)指數(shù)2，氣溫解釋了85%熱茶銷售杯數(shù)變化或說熱銷售杯數(shù)差異有是由氣溫引起的．答案：1.D2.B3.0.85.精心校對版本

n^iii^^5^ii11i221高中數(shù)學(xué)打印版n^iii^^5^ii11i221課堂小結(jié)學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容嘗總結(jié)然后不充分的地方由學(xué)生相互補(bǔ)充后老師的引導(dǎo)下，用精煉的語言進(jìn)行概括：．判斷變量是否線性相關(guān)的方法以及各自的特點(diǎn)；．在運(yùn)用回歸模型時(shí)需注意的事項(xiàng)；．建立回歸模型的基本步驟．設(shè)計(jì)意圖學(xué)自己小結(jié)是一個(gè)多維整合的過程一個(gè)高層次的自我認(rèn)識過程．補(bǔ)充練習(xí)【基礎(chǔ)練習(xí)】．有下列說法：①在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選的模型比較合適．②用相關(guān)指數(shù)來畫回歸的效果，2值接近于，說明模型的擬效果越好③較兩個(gè)模型的擬效果以比較殘差平方和的大小殘差平方和越小的模型，擬合效果越好．正確的是()A①②B．②③．①③D①②③．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對AB兩量做回歸分析，分別得到散點(diǎn)圖與殘差平方和(y－y)

如下表

1甲

乙

丙

丁散點(diǎn)圖殘差平方和

哪位同學(xué)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)擬合AB兩量關(guān)系的模型擬精度高(A甲B乙．D?。P(guān)于x與y有下數(shù)據(jù)：xy

為了對xy兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析有下兩種線性模型y＝＋17.5乙：y＝＋試較哪一個(gè)模型擬合效果更好．答案或提示2.D(yy)2．析：設(shè)甲模型相關(guān)指數(shù)為R2則R2＝－

i＝1－5(y)2

＝0.845設(shè)乙i模型的相關(guān)指數(shù)為R

，則可求得R

＝，因?yàn)镽2>R

，所以甲模型的擬合效果更好．【拓展練習(xí)】假設(shè)某種農(nóng)作物本苗數(shù)與有效穗之存在相關(guān)關(guān)系測得5數(shù)據(jù)如下：精心校對版本

^^^^^^^^^^^^123455^iii5^i^^^^^^^^^^^^123455^iii5^iiix36.644.4y43.149.2(1)以x為釋變量y為報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖；(2)求y與x之的回歸方程，對于基本苗數(shù)56.7預(yù)有效穗數(shù)．(3)計(jì)算各組殘差；(4)求2并說明隨機(jī)誤差對有效穗數(shù)的影響占百分之幾？解：(1)散點(diǎn)圖如圖：由可以看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可用線性回歸方程來建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系．設(shè)線性回歸方程y＝bx＋a，數(shù)據(jù)可以求得：≈0.291a＝y(tǒng)－x＝34.67.故所求的線性回歸方程為y＝＋當(dāng)x＝時(shí)，＝0.291×56.7＋＝51.1697.估計(jì)有效穗數(shù)為51.169(3)各組數(shù)據(jù)的殘差分別≈0.37e，≈－，≈－2.22e≈1.61.(4)殘差平方和：(y－y)

5＝，又(y－y)250.18，∴

＝1－

i1(y－)i8.425＝1≈0.832.5(y2

ii即解釋變量(農(nóng)作物基本苗數(shù)對有效穗數(shù)的影響約占了83.2%所以隨機(jī)誤差對有效穗數(shù)的影響約占1＝16.8%.設(shè)說本課時(shí)從上一節(jié)課的案例出發(fā)，通過分析隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因，引入隨機(jī)變量、殘差、殘差平方和指的有關(guān)概念關(guān)數(shù)和殘差分析等角度探討回歸模型擬合的效果，并通過案例說明利用所建立的回歸模型進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)需要注意的問題結(jié)建立回歸模型的基本步驟．在教學(xué)過程中以問題為引導(dǎo)思考的動(dòng)機(jī)重學(xué)生合作意識的培養(yǎng)過案例的分析，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)據(jù)的處理能力，讓學(xué)生初步了解回歸分析思想在實(shí)際生活中的運(yùn)用．精心校對版本

iin^ii^^^n^iin^n^iiiin^^iiiiiii＝)＋(y－y)＋2n^^iiiiiin^iin^ii^^^n^iin^n^iiiin^^iiiiiii＝)＋(y－y)＋2n^^iiiiiin^^n^^^iiiiiiin^[^^]iiii＝b(x－x)(y－y)b(x)i備資有關(guān)總偏差平方和、回歸平方和、殘差平方和以及相關(guān)指數(shù)等概念的說明n．總偏差平方和SST(y)2刻畫了預(yù)報(bào)變量y的化劇烈程度．

1．回歸平方和：SSR＝(y－y2i1

，公式中所有預(yù)測值的平均值也等于，故^1^^^^^^＝x＋a＝x＋＝x＋y－bx＝y(tǒng)，iii

1因此回歸平方和又可以寫成從而回歸平方和刻畫了估計(jì)量ya＋x的化程度由估計(jì)量由解釋變量所決定以歸方和刻畫了預(yù)報(bào)變量的變化中由解釋變量通過線性回歸模型引起的那一部分的變化程度．．殘差平方和：SSE＝(y－y2

，刻畫了殘差變量變化的程度．i．偏差平方和分解：即指公式(y－y2(y－y2－y2，i

i

i稱為平方和分解公式，用文字表示為：總偏差平方和＝回歸平方和＋殘差平方和．公式證明如下：假設(shè)觀測數(shù)據(jù)為(，)，i，…，n，則(y－)2＝(y－y＋y－ynn^22iii

1(y－)(y－y)．

i1

1

1

1而－y)(y－)＝(b－bx－－bx)

1i

1＝(x－x－－x－－)

1^[]iii

1

精心校對版本

^ii