B組第04章 剛體的轉(zhuǎn)動

第四章剛體的轉(zhuǎn)動24-1

剛體的定軸轉(zhuǎn)動4-2

力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量4-3

角動量角動量守恒定律本章目錄4-4

力矩作功剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理物理學(xué)第五版3*4-7

萬有引力的牛頓命題*4-6剛體進動*4-5

剛體的平面平行運動*4-8

經(jīng)典力學(xué)的成就和局限性物理學(xué)第五版4

剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體．（任意兩質(zhì)點間距離保持不變的特殊質(zhì)點組）剛體的運動形式：平動、轉(zhuǎn)動．⑴剛體是理想模型⑵剛體模型是為簡化問題引進的．說明：4-1

剛體的定軸轉(zhuǎn)動5

剛體平動質(zhì)點運動

平動：剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同．

特點：各點運動狀態(tài)一樣，如：等都相同．6轉(zhuǎn)動：分定軸轉(zhuǎn)動和非定軸轉(zhuǎn)動剛體的平面運動

7剛體的一般運動可看作：隨質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+的合成8沿逆時針方向轉(zhuǎn)動一剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度角位移

角坐標沿順時針方向轉(zhuǎn)動<0q0>q角速度矢量

方向:右手螺旋方向P’(t+dt).OxP(t)r.9角加速度

剛體定軸轉(zhuǎn)動(一維轉(zhuǎn)動)的轉(zhuǎn)動方向可以用角速度的正、負來表示.10(1)

每一質(zhì)點均作圓周運動，圓面為轉(zhuǎn)動平面；(2)

任一質(zhì)點運動均相同，但不同；定軸轉(zhuǎn)動的特點

(3)

運動描述僅需一個坐標．11二勻變速轉(zhuǎn)動公式

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點勻變速直線運動

當剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的α=常量時，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動．12三角量與線量的關(guān)系13

例1在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面并通過中心的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)．開始起動時，角速度為零．起動后其轉(zhuǎn)速隨時間變化關(guān)系為：,式中．求：(1)t=6s

時電動機的轉(zhuǎn)速．(2)起動后，電動機在t=6s

時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)．(3)角加速度隨時間變化的規(guī)律．14(2)

電動機在6s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為解(1)

將t=6s

代入(3)

電動機轉(zhuǎn)動的角加速度為15例2在高速旋轉(zhuǎn)圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動．開始時，它的角速度，經(jīng)300s

后，其轉(zhuǎn)速達到18000r·min-1

．轉(zhuǎn)子的角加速度與時間成正比．問在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？解令，即，積分得16當t=300s

時17由得在300s內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)END18

1

一飛輪半徑為0.2m、轉(zhuǎn)速為150r·min-1，因受制動而均勻減速，經(jīng)30s

停止轉(zhuǎn)動．試求：(1)角加速度和在此時間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；(2)制動開始后t=6s

時飛輪的角速度；(3)t

=6s

時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度．課堂練習(xí)：19P*O:力臂

對轉(zhuǎn)軸Z

的力矩

一力矩用來描述力對剛體的轉(zhuǎn)動作用．4-2

力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量20O討論

（1）若力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量

其中對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故對轉(zhuǎn)軸的力矩21O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和

（3）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消．22

例1

有一大型水壩高110m、長1000m，水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所示.求作用在大壩上的力，以及這個力對通過大壩基點Q且與x軸平行的力矩.QyOxyOhxL23

解設(shè)水深h，壩長L，在壩面上取面積元，作用在此面積元上的力yOhxyQyOxL24令大氣壓為，則代入數(shù)據(jù)，得yOhxyL25QyOyh

對通過點Q的軸的力矩代入數(shù)據(jù)，得：26補充例題一質(zhì)量為m、長為L的均勻細棒，可在水平桌面上繞通過其一端的豎直固定軸轉(zhuǎn)動，已知細棒與桌面的摩擦因素為,求棒轉(zhuǎn)動時受到的摩擦力矩的大小。xodxx27解xodxx28O二轉(zhuǎn)動定律

（1）單個質(zhì)點與轉(zhuǎn)軸剛性連接29（2）剛體

質(zhì)量元受外力，內(nèi)力外力矩內(nèi)力矩O30

剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比.轉(zhuǎn)動定律定義轉(zhuǎn)動慣量O31討論（2）（3）（1）

不變轉(zhuǎn)動定律32三轉(zhuǎn)動慣量J

的意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度.

轉(zhuǎn)動慣量的單位：kg·m233

質(zhì)量離散分布

J的計算方法

質(zhì)量連續(xù)分布

：質(zhì)量元34

對質(zhì)量線分布的剛體：：質(zhì)量線密度

對質(zhì)量面分布的剛體：：質(zhì)量面密度

對質(zhì)量體分布的剛體：：質(zhì)量體密度：質(zhì)量元

質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量35O′O

解設(shè)棒的線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′

為處的質(zhì)量元

例2一質(zhì)量為、長為

的均勻細長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量.O′O如轉(zhuǎn)軸過端點垂直于棒36ORO

例3一質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤，求通過盤中心O

并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量.

解設(shè)圓盤面密度為，在盤上取半徑為，寬為的圓環(huán)而圓環(huán)質(zhì)量所以圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動慣量37剛體的轉(zhuǎn)動慣量與以下三個因素有關(guān)：（3）與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)．（1）與剛體的體密度

有關(guān)．（2）與剛體的幾何形狀及體密度

的分布有關(guān)．說明38四

平行軸定理

質(zhì)量為

的剛體，如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為，則對任一與該軸平行，相距為

的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量CO39質(zhì)量為m，長為L的細棒繞其一端的JP圓盤對P

軸的轉(zhuǎn)動慣量OO1d=L/2O1’O2O2’40竿子長些還是短些較安全？

飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？41(2)為瞬時關(guān)系(3)轉(zhuǎn)動中與平動中地位相同(1)

,與方向相同說明

轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用42

例4

質(zhì)量為mA的物體A

靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為R、質(zhì)量為mC的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為mB

的物體B上，B

豎直懸掛．滑輪與繩索間無滑動，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計．(1)兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？(2)

物體B

從靜止落下距離y時，其速率是多少？43解

(1)

用隔離法物體分別對各物作受力分析，取坐標如圖．ABCOO44OO45解得：46如令，可得

（2）

B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率47穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O轉(zhuǎn)動．試計算細桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成角時的角加速度和角速度．例5一長為l、質(zhì)量為m勻質(zhì)細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉(zhuǎn)動．由于此豎直放置的細桿處于非m,lOmgθ48

解細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動定律得式中得m,lOmgθ49由角加速度的定義代入初始條件積分得m,lOmgθEND501、一輕繩繞在有水平軸的定滑輪上，滑輪質(zhì)量為m，繩下端掛一物體，物體所受重力為P,滑輪的角加速度為β1，若將物體去掉而以與P相等的力直接向下拉繩子，滑輪的角加速度β2

將(A)

不變(B)

變小(C)

變大(D)

無法判斷Pβ1β2RR課堂練習(xí)：51

2、如圖：一定滑輪兩端分別懸掛質(zhì)量都是m的物塊A和B，圖中R和r，已知滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，求A、B兩物體的加速度及滑輪的角加速度．mmrRT1T2ABβ523

一轉(zhuǎn)動慣量為J的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動，起初角速度為0

，設(shè)它所受阻力矩為M=-k

(k為常數(shù))，求圓盤的角速度從0變?yōu)?/2

所需的時間．解53

力的時間累積效應(yīng)：沖量、動量、動量定理．

力矩的時間累積效應(yīng)：沖量矩、角動量、角動量定理．4-3

角動量角動量守恒定律54一質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律質(zhì)點運動描述剛體定軸轉(zhuǎn)動描述551質(zhì)點的角動量

質(zhì)量為的質(zhì)點以速度在空間運動，某時對

O

的位矢為，質(zhì)點對O的角動量大小

的方向符合右手法則角動量單位：kg·m2·s-156

質(zhì)點以作半徑為

的圓運動，相對圓心

作用于質(zhì)點的合力對參考點O

的力矩，等于質(zhì)點對該點O

的角動量隨時間的變化率.2

質(zhì)點的角動量定理57質(zhì)點角動量定理的推導(dǎo)58

質(zhì)點的角動量定理：對同一參考點O，質(zhì)點所受的沖量矩等于質(zhì)點角動量的增量.

恒矢量

3

質(zhì)點的角動量守恒定律沖量矩59

例1

一半徑為R

的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)量為m

的小球穿在圓環(huán)上,并可在圓環(huán)上滑動.小球開始時靜止于圓環(huán)上的點A

(該點在通過環(huán)心O

的水平面上)，然后從A點開始下滑．設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計．求小球滑到點B

時對環(huán)心O

的角動量和角速度．60

解小球受力、作用,的力矩為零，重力矩垂直紙面向里由質(zhì)點的角動量定理61考慮到得由題設(shè)條件積分上式62

課堂練習(xí)人造地球衛(wèi)星繞地球作橢圓運動，地球位于橢圓的一個焦點O上。如圖，問衛(wèi)星經(jīng)過近地點P1和遠地點P2時，哪一時刻的速度大？（要求定量回答）63二剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律1剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量O64對定軸轉(zhuǎn)的剛體，2

剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理質(zhì)點mi受合力矩Mi(包括Mi

ex、Mi

in

)合外力矩65剛體非定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理3

剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律，則若=常量

對定軸轉(zhuǎn)的剛體，受合外力矩M，從到內(nèi)，角速度從

變?yōu)?/p>

，積分可得：66

角動量守恒定律是自然界的一個基本定律.

內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量.

守恒條件若不變，不變；若變，也變，但不變.討論

在沖擊等問題中常量67

許多現(xiàn)象都可以用角動量守恒來說明.花樣滑冰跳水運動員跳水

直升飛機的尾翼為什么要安裝螺旋槳？68請看：貓剛掉下的時候，由于體重的緣故，四腳朝天，脊背朝地，這樣下來肯定會摔死。請你注意，貓狠狠地甩了一下尾巴，結(jié)果，四腳轉(zhuǎn)向地面，當它著地時，四腳伸直，通過下蹲，緩解了沖擊。那么，甩尾巴而獲得四腳轉(zhuǎn)向的過程，就是角動量守恒過程。為什么貓從高處落下時總能四腳著地？69

例3

質(zhì)量很小長度為l

的均勻細桿，可繞過其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動．當細桿靜止于水平位置時，有一只小蟲以速率

垂直落在距點O為

l/4

處，并背離點O

向細桿的端點A

爬行．設(shè)小蟲與細桿的質(zhì)量均為m．問：欲使細桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動，小蟲應(yīng)以多大速率向細桿端點爬行?l/4O（不講）70解蟲與桿的碰撞前后，系統(tǒng)角動量守恒71由角動量定理考慮到72

例4一雜技演員M由距水平蹺板高為h

處自由下落到蹺板的一端A，并把蹺板另一端的演員N彈了起來．問演員N可彈起多高?ll/2CABMNh73設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長度為l，質(zhì)量為

，蹺板可繞中部支撐點C

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，演員的質(zhì)量均為m．假定演員M落在蹺板上，與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞．解碰撞前M落在

A點的速度碰撞后的瞬間，M、N具有相同的線速度74M、N和蹺板組成的系統(tǒng)，角動量守恒ll/2CABMNh75解得演員N以u起跳，達到的高度：END761

輕繩一端系著質(zhì)量為m的質(zhì)點，另一端穿過光滑水平桌面上的小孔O用力拉著，質(zhì)點原來以等速率作半徑為r的圓周運動，問當拉動繩子向正下方移動到半徑為r/2時，質(zhì)點的角速度多大？mrr/2O補充例題：77解m轉(zhuǎn)動中，所受力矩M=0．得常矢量mrr/2O78

被中香爐慣性導(dǎo)航儀（陀螺）

角動量守恒定律在技術(shù)中的應(yīng)用

79自然界中存在多種守恒定律

動量守恒定律—空間平移對稱能量守恒定律—時間平移對稱角動量守恒定律—空間轉(zhuǎn)動對稱電荷守恒定律—量子力學(xué)的相移對稱質(zhì)量守恒定律宇稱守恒定律—空間反演對稱801、陀螺若，則在重力矩作用下，陀螺將繞垂直于板面的軸轉(zhuǎn)動，即倒地。(2)當時，重力矩將改變的方向，而不改變的大小(因)。最終效果：陀螺繞豎直軸旋轉(zhuǎn)—

旋進旋進角速度三、旋進—角動量定理的應(yīng)用舉例（不講）812.車輪的旋進（演示）討論：

改變的方向，旋進方向是否改變？改變配重G，對旋進有什么影響？用外力矩加速（或阻礙）旋進，會發(fā)生什么現(xiàn)象？823.回轉(zhuǎn)儀實驗：如圖所示的杠桿陀螺儀。當陀螺儀高速旋轉(zhuǎn)時，移動平衡物B，桿不會傾斜，而是在水平面內(nèi)繞O旋轉(zhuǎn)。這種運動稱為旋進運動，它是在外力矩作用下產(chǎn)生的回轉(zhuǎn)效應(yīng)。834、拋體的旋進c5、旋進現(xiàn)象在自然界廣泛存在：地球的旋進；用電子在外磁場中的旋進解釋物質(zhì)的磁化的本質(zhì)；…...84力的空間累積效應(yīng)：

力的功、動能、動能定理．力矩的空間累積效應(yīng)：

力矩的功、轉(zhuǎn)動動能、動能定理．4-4

力矩作功剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理85力矩的功一力矩作功86二力矩的功率比較三轉(zhuǎn)動動能87四剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理——剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理比較

88

例1

留聲機的轉(zhuǎn)盤繞通過盤心垂直盤面的軸以角速率ω作勻速轉(zhuǎn)動．放上唱片后，唱片將在摩擦力作用下隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動．設(shè)唱片的半徑為R，質(zhì)量為m，它與轉(zhuǎn)盤間的摩擦系數(shù)為μ，求：(1)唱片與轉(zhuǎn)盤間的摩擦力矩；(2)唱片達到角速度ω時需要多長時間；(3)在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤的驅(qū)動力矩做了多少功？89Rrdrdlo

解(1)

如圖取面積元ds=drdl，該面元所受的摩擦力為此力對點o的力矩為90

于是，在寬為dr的圓環(huán)上，唱片所受的摩擦力矩為Rrdrdlo91(3)

由

可得在0

到t的時間內(nèi)，轉(zhuǎn)過的角度為(2)

由轉(zhuǎn)動定