2020北京北師大實(shí)驗(yàn)高二(下)期中數(shù)學(xué)

nn10n0112100學(xué)習(xí)是一件很nn10n01121002020師大實(shí)驗(yàn)高二（下）期中數(shù)

學(xué)一、選擇題8道小題，每題，共32分．（分若式﹣）＝+axn1…+ax+對(duì)任意∈成，則a+…+的為）A0

B1C2

D．﹣）．（分復(fù)

，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A，0）

B（0）

C．

D．．（分下函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在，∞上單調(diào)遞增的是（）A＝

B＝

C．yD．＝ex．（分對(duì)任意的，x∈，＜，下列不等式中一定成立的是（）AC．．（分函AC．．（分已函數(shù)

BD．1（x﹣）1的導(dǎo)數(shù)為（）BD．在點(diǎn)x＝x處切的傾斜角是，x的為（）A

B

C．

D．．（分已函數(shù)（x）滿足f（）＝﹣1，（1＝，則函數(shù)y＝f）在1處瞬變化率為（）A1B．2．D2．（分從20同學(xué)中選派3人分別加數(shù)學(xué)、物理學(xué)科競(jìng)賽，要求每科競(jìng)賽都有人參加，而且每人只能參加一科競(jìng)賽．記不同的選派方式有，則計(jì)算式可以是（）1/

111212122學(xué)習(xí)是一件很有意思的事111212122A

B

C．

D．二、填空題8道小題，每題，共32分．（分已（x）是的奇函數(shù)，當(dāng)＞，（x）＝x﹣x

，則f（﹣）的值為．．（）函數(shù)y＝

的定義域是．．（）若復(fù)數(shù)z的軛復(fù)數(shù)＝i，則z＝．．（）若，正整數(shù)＝．．（）在二次項(xiàng)式（x﹣）

的展開式中，常數(shù)項(xiàng)的值是．（用具體數(shù)字作答）．（）除函數(shù)y＝x，x∈[﹣，﹣外，再寫出一個(gè)定義域和值域均為[2﹣1]的函數(shù)：．．（）設(shè)有編號(hào)為，2，，5的把鎖和對(duì)應(yīng)的五把鑰．現(xiàn)給這把鑰匙也分別貼上編為，23，，五個(gè)標(biāo)簽，則有

種不同的姑標(biāo)簽的方法；若想使這5把匙中至少有2把打開貼有相同標(biāo)簽的鎖，則有

種不同的貼標(biāo)簽的方法．（用數(shù)字作答）．（）如果直線y＝t（＞0與函數(shù)

的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，x，以下結(jié)論：①t＞；②lnx+＞0；③x+＞；④x﹣的取值范圍是（，，中正確的是．（填入所有正確結(jié)論的序號(hào)）三、解答題4道小題，共36）．（）已知函數(shù)．（1求f（x）在x＝的切線方程；（2求不等式'）＜2的集．．（10分已知：直線y＝與物＝（a為常數(shù)）交于兩點(diǎn)（x，）B（x，）且拋物線在點(diǎn)A，B處切線互相垂直．（1求值；（2求兩條切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（用示）．2/

ninnnnnn1mKninnnnnn1mK．（12分已知橢圓

學(xué)習(xí)是一件很有意思的事離心率為，（，2）橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形．點(diǎn)C是圓的下頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)橢圓中心O的條直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（不與點(diǎn)合），直線CACB分與軸于點(diǎn)D．（1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2判斷DGE的小是否為定值，并證明你的結(jié)論．．（）已知，無(wú)窮數(shù){}，a∈{0，1}（i＝1，，…）．記{a}的和為構(gòu)數(shù){}所有∈*都定義b＝（n≥2）．（1若{}單調(diào)遞減數(shù)列，直接寫出數(shù){}通項(xiàng)公式：（2若a＝0且存在∈N*得b＞0.8，求證：存在K∈*使得＝．3/

nn110n10111211nn110n1011121122020師大實(shí)驗(yàn)高二（下）期中數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題8道小題，每題，共32分．【分析】直接令＝1即求得結(jié)論．【解答】解：∵等式x﹣）

＝axn+ax

1+…+ax+對(duì)任意x∈R成立，令x＝1＝a+a+…+a；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用以及賦值法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題目．．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得z對(duì)的點(diǎn)的坐標(biāo)，則案可求．【解答】解：由＝＝＝i；則在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)的點(diǎn)的坐標(biāo)是：0，1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)．．【分析】結(jié)合偶函數(shù)的定義及函數(shù)單調(diào)性的定義逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可判斷．【解答】解：y＝x

為偶函數(shù)，且在0+）上單調(diào)遞，符合題意；y＝

為偶函數(shù)，且在，∞）上單調(diào)遞減，不符合題意；y＝cosx為函數(shù)且在（0+）上不單調(diào)，不符合意；y＝e為奇非偶函數(shù)，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)試題．．【分析】根據(jù)任意的，x∈，＜x，取特殊值可排除ABD【解答】解：根據(jù)任意的，∈，x＜，＝，x＝，可排除，取

，可排除D．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．．【分析】直接運(yùn)用商的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則求解．4/

0020322020學(xué)習(xí)是一件很有意思的事0020322020【解答】解：．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查了商的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，，題是基礎(chǔ)題．．【分析】根據(jù)切線的傾斜角求出斜率，然后令導(dǎo)數(shù)等于斜率，即可解出的值．【解答】解：易知，因?yàn)樵趚＝x處切線傾斜角為，故，解得

．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．．【分析】先對(duì)函數(shù)求得y＝[f'（x）+fx）ex

，再將x＝1代進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：∵y＝f（）e

，∴y＝（x）

+f（x）ex＝['（x）+f（）]?x，當(dāng)x＝1時(shí)＝[f（）f（1]e1（﹣）＝．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．．【分析】根據(jù)題意，分2步行分析：先從20名同學(xué)中選出人再將選出的3安排參加兩科競(jìng)賽，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2步行分析：先從20名同學(xué)中選出3人，有3

種選法，再將選出的安排參加兩科競(jìng)賽，需要先將三人分成2組參加科競(jìng)，有CA2

＝6種況，則有C3

種不同的選法；故n＝C，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5/

學(xué)習(xí)是一件很有意思的事二、填空題8道小題，每題，共32分．【分析】要求f（﹣）的值，先求出f（2）值，根據(jù)函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)得到兩個(gè)函數(shù)值之間的互為相反數(shù)的關(guān)系，即可得到結(jié)果．【解答】解：∵（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＝x﹣x2∴f（）＝﹣22＝﹣2∴f（﹣2＝f2）＝．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，解題的過(guò)程中，一定要抓住函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)奇偶的對(duì)稱性求解，關(guān)鍵是奇偶性的運(yùn)用．．【分析】可看出，要使得原函數(shù)有意義，需滿足，出范圍即可．【解答】解：要使原函數(shù)有意義，則，解得＜或＞，∴原函數(shù)的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪，）．故答案為：（﹣，）∪，∞．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)定義域的定義及求法，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，分式不等式的解法，考查了算能力，屬于基礎(chǔ)題．．【分析】設(shè)＝a+bi（a∈R），代入＝z+1+i，整理后利用復(fù)數(shù)等的條件列式求得，b的，則答案可求．【解答】解：設(shè)z＝a+bi（，b∈R，由＝2+1+i，得﹣＝2bi）i＝（2a+1）（2b+1i，∴，＝﹣1，＝﹣．∴＝．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基題．．【分析】由題意利用排列數(shù)、組合數(shù)公式，求出n的．【解答】解：若，

＝n﹣）（n2，求得＝5，6/

555學(xué)習(xí)是一件很有意思的事555故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列數(shù)、組合數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．．【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，由x的數(shù)為0求得r值則常數(shù)項(xiàng)可求．【解答】解：由令6﹣r＝0，得r＝3，

＝，∴二項(xiàng)項(xiàng)式（x﹣）

的展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值為

．故答案為：﹣160【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，是基礎(chǔ)題．．【分析】寫出一個(gè)定義域和值域均為[﹣2，﹣1]的函數(shù)即可【解答】解：定義域和值域均為[2﹣1]的函數(shù)為：y＝﹣﹣x，x∈﹣2﹣1]故答案為：y＝﹣3﹣x，x∈﹣2，﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的定義域和值域的定義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．．【分析】對(duì)于第一空：由排列數(shù)公式計(jì)算可得答案，對(duì)于第二空：分3種況討論：①都可以打開貼有相同標(biāo)簽的鎖，即標(biāo)簽全部貼對(duì)，鑰匙中有把可以打開貼有相同標(biāo)簽的鎖，即有個(gè)簽貼對(duì)，③鑰匙中有把以開貼有相同標(biāo)簽的鎖，即有個(gè)標(biāo)簽貼對(duì)，由加法原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，現(xiàn)給這把匙也貼上編號(hào)為1，，3，5的個(gè)標(biāo)簽，則有A標(biāo)簽的方法：若這鑰匙中至少有能打開貼有相同標(biāo)簽的鎖，分3種況討論：①5把可以打開貼有相同標(biāo)簽的鎖，即5個(gè)簽全部貼對(duì)，有貼標(biāo)簽的方法；

＝120種同的貼②5把匙中有3把以打開貼有相同簽的鎖，即有標(biāo)簽貼對(duì)，有C

＝種標(biāo)簽的方法；③5把匙中有2把以打開貼有相同簽的鎖，即有標(biāo)簽貼對(duì)，有C＝20種貼標(biāo)簽方法；則一共有＝種標(biāo)簽的方法；故答案為：120．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．．【分析】根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可判斷各命題的真假．【解答】解：作出函數(shù)y＝x的圖象，如圖所示：7/

121212121211112學(xué)習(xí)是一件很121212121211112當(dāng)x＞0時(shí)+≥2，為直線y＝t＞0與函數(shù)所以t＞2①正確；

的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，不妨設(shè)x＜，∴l(xiāng)nx+＝，②錯(cuò)誤；

，化簡(jiǎn)可得x＝1，x+＞x﹣x＝x﹣∵0x＜，

＝2，③正確；，∴x﹣

＜0即x﹣x的值范圍是（，）④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)與方程的之間的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．三、解答題4道小題，共36）．【分析】1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后求出斜，最后利用點(diǎn)斜式求出切線方程；（2直接求導(dǎo)數(shù)，然后解一個(gè)一元二次不等式即可．8/

1221122學(xué)習(xí)是一件很有意思的事1221122【解答】解：（1）（義域0+））．f'）2，（1＝，所以切線方程為y﹣12（x﹣1），即＝2﹣．（2不等式為，所以x

﹣3＞0（＞0）．解此不等式得x＞1或，x＞0．所以f（x）＜2解集為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線的基本思路，一元二次不等式的解法，同時(shí)考查學(xué)生的運(yùn)算能．屬于中檔題．．【分析】1）先聯(lián)立直線、拋物線方程，消去得關(guān)于x的元二次方程利用韋達(dá)定理結(jié)合A、兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)積為﹣1，即可求出的值；（2先表示出、兩點(diǎn)處的切線方程，然后解出交點(diǎn)的橫坐即可．【解答】解：（1）由，去得ax2

﹣kx﹣1＝0顯然a．又直線與拋物線交于兩點(diǎn)A（，），（x，）所以．對(duì)y＝求導(dǎo)得y＝，所以兩條切線的斜率分別為＝2，＝ax．因?yàn)閮蓷l切線互相垂直，所以，所以．（2由題意知切點(diǎn)分別為：，，所以兩條切線的方程分別為

……①；和

……②．聯(lián)立①②解方程組得：交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，以及利用方程思想解決問(wèn)題的能力．屬于檔題．．【分析】1）利用已知條件求出；合離心率求出c，然后求解b即可得到橢圓方程．9/

0000000Knn120000000Knn12（2

學(xué)習(xí)是一件很有意思的事是定值．設(shè)A（x，）（﹣x，）求出直線的程求出，E坐，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：（1）橢圓

離心率為，（0，）與橢圓的左、右頂點(diǎn)可構(gòu)成等腰直角三角形，所以＝2；離心率為，以＝ea＝；．橢圓方程為．（2

是定值．設(shè)A（x，）（﹣x，），則直線CA的方程為．將y＝0代入，解得，即．同理，解得．，將

代入上式，得．所以GD⊥GE即證．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力是難題．．【分析】1）直接利用數(shù)列的關(guān)系式的變換求出列為單調(diào)遞減數(shù)列，最后歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2利用）歸納出的通項(xiàng)公式和存在性問(wèn)題的應(yīng)用求出存在∈N*，使得b＝0.8【解答】解：（1）由于：數(shù)列{}所有n∈*都定義＝（．

，進(jìn)一步確定數(shù)所以所以a＝1，＝．

，10/

n2n1mKKKK學(xué)習(xí)是一件很有意思的事n2n1mKKKK，所以na＜+a