2020年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學一模試卷(附答案詳解)

????????

2020年北京市海區(qū)高考數(shù)學一試卷在復平面內(nèi)，復對的點位于)

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

已知集，??，集合可是

B.

C.

D.

已知雙曲線

????

22

??的離心率，則的值

B.

C.

D.

已知實，在軸上對應的點如圖所示，則下列式子中正確的是

??

B.

??

C.

??

D.

??|

在

6

的展開式中，常數(shù)項)

B.

C.

?160

D.

如圖為的與線相切于點沿直滾滾動到圓時圓與相于運到段的度點到直線的距離為

B.

C.

D.

已知函與函數(shù)的象關于??軸稱．在間內(nèi)調遞減，則的值范圍為

B.

C.

D.

某四棱錐的三視圖如圖所示棱錐中最長棱的棱長為B.C.D.

√√

若數(shù)列滿，則??

”是“

為等比數(shù)列”的第1頁，共頁

??355??355在邊上C.

充分而不必要條件充分必要條件

B.D.

必要而不充分條件既不充分也不必要條件形2????是負整數(shù)的數(shù)稱為費馬數(shù)數(shù)家馬根

，4

都是質數(shù)提出了猜想：費馬數(shù)都是質數(shù)．多年之后，數(shù)學家歐拉計算不質數(shù)，那的位數(shù)是參考數(shù)據(jù)

B.

C.

D.

已點在物線

上則拋物的準線方．在差數(shù)列}中，，，數(shù)的前項和為．??5??已非零向量，滿|，則??)??．在中

????43

；的面積為．如，在等邊三中動從點出，著此三角形三邊逆時針運動回到點記運動的路程點到此三角形中心距離的平方，給出下列三個結論：函的大為；函的象對稱軸方程；關的程最有個數(shù)根．其中，所有正確結論的序號_____如，在三棱柱

中，平面，，點為Ⅰ求：平；Ⅱ求面的小．

的中點．第2頁，共頁

,,已函

??Ⅰ求值；Ⅱ從，；，這兩個條件中任選一個，作為題目的已知條件，求函數(shù)在

????

上的最小值，并直接寫出函數(shù)的個周期．科創(chuàng)新能力是決定綜合國力和國際競爭力的關鍵因素是推動經(jīng)濟實現(xiàn)高質發(fā)展的重要支撐，而研發(fā)投入是科技創(chuàng)新的基本保障．如圖是某公司到年年發(fā)投入的數(shù)據(jù)分布圖：其中折線圖是該公司研發(fā)投入占當年總營收的百分比圖是當年研發(fā)投入的數(shù)值單：十億．Ⅰ從年年隨機選取一年，求該年研發(fā)投入占當年總營收的百分比超過的率；Ⅱ從年年隨機選取兩個年份，示其中研發(fā)投入超億元第3頁，共頁

22的年份的個數(shù)，的分布列和學期望；22Ⅲ根圖中的信息，結合統(tǒng)計學知識，判斷該公司在發(fā)展的過程中是否比較重視研發(fā)，并說明理由．已函

．Ⅰ當時求線在點的切線方程；求數(shù)的小值；Ⅱ求：時曲與有且只有一個交點．已橢圓：??的離心率為，22

，，，

的面積為．Ⅰ求圓的程；Ⅱ設是上點，且不與頂點重合，若直與線交點，線與線交點.證eq\o\ac(△,)等腰三角形．第4頁，共頁

??1????1??????已數(shù){是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列若在常數(shù)??

，使

2??

??

對任意??∈

成立，則稱數(shù)列

具有性．Ⅰ分判斷下列數(shù){是具有性質；直接寫出結論??；??????

．Ⅱ若列滿足??，求證：“數(shù)列具有性質”??????是“數(shù)

為常數(shù)列”的充分必要條件；Ⅲ已數(shù){中，??若數(shù)列具有性質，????+1????求數(shù)列

的項公式．第5頁，共頁

可得答案和解析可得1.【答案】【解析】【分析】本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎題．首先進行復數(shù)的乘法運算到數(shù)的代數(shù)形式的標準形式根據(jù)復數(shù)的實部和虛部寫出對應的點的坐標，看出所在的象限．【解答】解：復數(shù)??

??，復對應的點的標，這個點在第一象限，故選．2.【答案】【解析】解：，，集以是．故選：．根據(jù)，??，可得出集合可能的情況．本題考查了描述法舉法的定義集的定義及運算查計算能力于基礎題．3.【答案】【解析】解：雙曲

????

22

??的離心率為，

，得，故選：．利用雙曲線的離心率公式，列出方程，求??可．本題考查雙曲線的簡單性質的應用，是基本知識的考查，基礎題．第6頁，共頁

，，??【解析】解：法根據(jù)數(shù)軸可且，對于因為所則即，A錯；對于：因|，

22

，所

2

則

2

，故B錯；對于：為，以，，C錯；對于因為且，以|，故D正，法不妨，，，則故A錯誤

2

誤；，故誤；故選：法：據(jù)數(shù)軸得且|，結合不等式基本性質逐一進行判斷即可；法：特值法帶入驗證即可．本題考查不等式的相關應用，考查合情推理，屬于中檔題．5.【答案】【解析】解：由題意得：

??

2??

，令??得，故常數(shù)項為

3．故選：．先求出通項，然后令的指數(shù)為零即可．本題考查二項式展開式通項的應用和學生的運算能力，屬于基礎題．6.【答案】第7頁，共頁

33【解析】解：根據(jù)條件可知圓周=33

24

，故可得位置如圖：，eq\o\ac(△,)??是腰直角三角形，則到′的離，故選：．根據(jù)條件可得圓旋轉了個作可得eq\o\ac(△,)??′是腰直角三角形進而可求到4′的離．本題考查點到直線的距離，考查圓旋轉的長度求法，數(shù)中檔題．7.【答案】【解析解根題意，函|與數(shù)的象關于軸稱若在區(qū)間內(nèi)調遞減，則(在區(qū)上遞增，而({

，在區(qū)上增函數(shù)，則有，即的值范圍為；故選：根據(jù)題意，分析可在間上遞，寫成分段函數(shù)的形式，分析可得(在區(qū)上增函數(shù)，據(jù)此可的值范圍．本題考查函數(shù)的單調性，涉及函數(shù)之間的對稱性、不等式的解法，屬于基礎題．8.【答案】【解析】解：根據(jù)幾何體的三視可得直觀圖為：該幾何體為四棱錐體，如圖所示：所以最長的棱長

2．故選：．首先把三視圖轉換為直觀圖步求出最大棱長．第8頁，共頁

553232lg2本題考查的知識要點：三視圖和直觀圖形之間的轉換，幾何體的棱長的求法和應用，主要考查學生的運算能力和553232lg29.【答案】【解析】解：“，，

”，取，

，{為比數(shù)列，充分性成立．若

為比數(shù)列則

?

只時能成立，必要性不成立．數(shù){滿，“，

，

”是“

為等比數(shù)列”的充分不必要條件．故選：．利用等比數(shù)列的定義、通項公式即可判斷出結論．本題考查了等差數(shù)列的通項公式，充分必要條件的判斷，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．【案【解析】【分析】本題考查指對數(shù)運算，考查學生閱讀理解能力．根據(jù)所給定義表示出

，進而即可判斷出其位數(shù)．【解答】解：根據(jù)題意，

=2

532

，因為

，以5

的位數(shù)．故選：．【案【解析】解：把點代拋線方程有，，拋線的準線方

．第9頁，共頁

????，22222????，22222把點的標代入拋物線的方程可求，而準線方程

2

，從而得解．本題考查拋物線的方程、準線方程等，考查學生的運算能力，屬于基礎題．【案【解析】解：設等差數(shù)列

的差，，2525，得．則數(shù)列

的前項和

2

2．故答案為：．利用等差數(shù)列的通項公式求和公式即可得出．本題考查了等差數(shù)列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．【案【解析】解：因為非零向量

滿足|2；2則

2

??)

2

．故答案為：．把所給條件平方整理得到?

；代入數(shù)量積即可求解結論．2本題考查向量的數(shù)量積以及模長的應用，考查向量的表示以及計算，考查計算能力．【案2【解析】【分析】本題主要考查正弦定理以及三角形的面積，屬于基礎題目．先根據(jù)正弦定理求得，而得三角形的面積．第10頁，共18頁

，點在上??所以：??2??，點在上??所以：??2??解：如圖：因為eq\o\ac(△,)中√，

??2??

，2，sinsin

√3×sinsin3

??4

；

???sin=422sin22

2；故答案為：，．【案0【解析】解：由題可得函數(shù){

2

,

，作出圖象如圖：

2

,則當點eq\o\ac(△,)??頂重合時時取最大值正；又(，以函的稱軸為，故正確；由圖象可得數(shù)(圖與的點個數(shù)最多個方最多有個根，故錯誤．故答案為：．寫出函數(shù)解析式并作出圖象，數(shù)形結合進行逐一分析．本題考查命題的真假性判斷，涉及函數(shù)的應用、圖象與性質，數(shù)形結合思想，邏輯推理能力，屬于難題．第11頁，共18頁

,√，．，(,???16.答,√，．，(,???所以.eq\o\ac(△,)中，，，1，所以??

．所以.因為，平面，所以

平．Ⅱ解由Ⅰ知，，，，如圖，為點建立空間直角坐標??．則，

．設平面的向為=(，則，?即

令則，??，所以

．又因為平面的向量為，所以

．由題知二面為銳角所以其大小為【解析Ⅰ證明B.

利用直線與平面垂直的判斷定理證

平面．Ⅱ以為原點建立空間直角坐標求平面的向量的向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的大大小即可，本題考查二面角的平面角的求法線與平面垂直的判斷定理的應用考查空間想象能力以及邏輯推理能力計算能力，是中檔題．【案】解：Ⅰ由函

，則

；Ⅱ選條，的一個周期??；第12頁，共18頁

??，所以,；,??????,，所以[；,,]時，??，所以,；,??????,，所以[；,,]時，,,

2；4因為

????????7??64所以??

??4

，所以；當

，即時，在4

????6

取得最小值為．選擇條，則(的個周期2??；由(

??24

；因為

????6所以當，

??????6

取得最小值．【解析Ⅰ由數(shù)(的析式求的；Ⅱ選條時的個周期??，利用三角恒等變換化(，求(在選擇條時(的一個周期為??，

????6

的最小值．化簡(，利用三角函數(shù)的性質求在

????6

的最小值．本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，也考查了轉化與運算能力，是基礎題．【案】解：Ⅰ設事為年年中隨機選取一年，研發(fā)投入占當年總營收的百分比超，從年年共年其中研發(fā)投入占當年總營收的百分比超有年所以

．Ⅱ由表信息，從年年年有年發(fā)投入超過億，所以的所有可能取值，，．第13頁，共18頁

252211????252522252且252211????252522252

????10

；

55??10

；2)

????10

．所以的布列為：故的望

22．

5

22Ⅲ從個方面可以看出，該公式是比較重視研發(fā)的：一、從年至年每年的研發(fā)投入是逐年增加年外，且增加的幅度總體上逐漸加大；二、研發(fā)投入占營收的比例總體上也是逐漸增加的，雖年后些波動，但是總體占比還是較高的．【解析Ⅰ按古典概型概率計算公式計算即可；Ⅱ顯這是一個超幾何分布超幾何分布的概率計算方法算隨機變?nèi)。?，時概率，然后畫出分布列，即可求期望；Ⅲ結折線圖從“每年的研發(fā)投入”“研發(fā)投入占營收比”的變化來分析即可．本題考查離散型隨機變量的分布列、期望的求法，注意對題意的理解需到位、準確．同時考查學生的數(shù)學建模的素養(yǎng)，屬于中檔題．【案】解：Ⅰ當時，

，．所以．又，所以曲在處切線方程；令，，時隨的變化如下

極小值

可知(

????

，數(shù)的最小值．Ⅱ證：由題意可知令(

?????1，則

，由Ⅰ中知

，故

，第14頁，共18頁

1120.2,2．2．2．,222因為1120.2,2．2．2．,222則

√?

，所以函在上單調遞增，因為(

??2，又因為(

??，所以(有一的一個零點．即函數(shù)與有只有一個交點．【解析本考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，函數(shù)的零點等問題，考查運算求解能力及推理論證能力，屬于中檔題．Ⅰ代入，求導，求出切線斜率及切點，利用點斜式方程即解；求函數(shù)函的調性情況，進而得出最值；Ⅱ即函僅一個零點，利用導數(shù)可知函在間上調遞增，結合零點存在性定理即得證．??【答案】解：Ⅰ由題{

??

.解得{所以橢圓方程為4解

．證明：設直

方程且??，線程由{解點

44

．由{2得44

4，則

2所以，42

?4??4即

4242

1

?44+18???24??+1

．于是直

的方程為

4

，線的程．第15頁，共18頁

4??,．??4???200由{0??,解得點．000000000由{0,0000000??00000000000000004??,．??4???200由{0??,解得點．000000000由{0,0000000??0000000000000000002200000000????0000000000000020????

解得點

4于是

，所以．設中點，點縱坐標2??2??．故中點在定直上從上邊可以看出在的直平分線上，所，所eq\o\ac(△,)??為等腰角形．解法證明：

,則4000000

．直線

方程

，直線

方為．0+4??4直線

方程

，直線

方為0解得點(

．00

????????

?4)?(4??

0．于是

，所以．

4

4(4+4)??

4+4)0

．故中點在定直上從上邊可以看出在的直平分線上，所，所eq\o\ac(△,)??????為腰三角形．【解析Ⅰ由題{

??3

，求出，，可到橢圓方程．??

??

.解直方為????0且直線方為過聯(lián)立直線與橢圓方程組坐標坐出??|可證eq\o\ac(△,)??????為等腰三角形．第16頁，共18頁

00??????+1????????+1??????????1??????1??100??????+1????????+1??????????1??????1??1????????+1????+1??+1??

,??則200000

直方程

，直線

方為通過聯(lián)立直線與橢圓方程標推得eq\o\ac(△,)??為腰三角形．本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用圓方程的求法查轉化思想以及計算能力，是難題．【案】解：Ⅰ數(shù)列

具有“性”數(shù){不有“性”??Ⅱ證：先證“充分性”：當數(shù)列

具“性”，有??1??

??

，又因為

，所以

????

0，??1進而有??結合有

??+1??

，即“數(shù)

為常數(shù)列”；再證“必要性”：若“數(shù)

為常數(shù)列”，則有

????

，即“數(shù)

具有“性質”Ⅲ首證明：??+1

．??因為

具有“性質”所以

??

??

．當時．又因為??,

，且

??

??1

，所以有

????1

??

進而有

??

????+1

??+1

，所以

??+1

)，??結合,

可得：

．??然后利用反證法證明

．??假設數(shù)

中存在