32立體幾何中的向量方法(一)

第一課時：§3.2立體幾何中的向量方法（一）授課要求：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用．掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題．授課重點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用．授課難點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用．授課過程：一、復(fù)習(xí)引入1.用向量解決立體幾何中的一些典型問題的基本思慮方法是：⑴怎樣把已知的幾何條件（如線段、角度等）轉(zhuǎn)變成向量表示；⑵考慮一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式；⑶怎樣對已經(jīng)表示出來的向量進(jìn)行運(yùn)算，才能獲得需要的結(jié)論？通法解析：利用兩個向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)可以解決哪些問題呢？角問題；⑵利用性質(zhì)a⊥ba·b＝０可以解決線段或直線的垂直問題；⑶利用性質(zhì)a·a＝｜a｜2，可以解決線段的長或兩點(diǎn)間的距離問題．二、例題講解1.出示例1：已知空間四邊形OABC中，OABC，OBAC．求證：OCAB．證明：OC·AB＝OC·(OBOA)＝OC·OB－OC·OA．∵OABC，OBAC，∴OA·BC0，OB·AC0，OA·(OCOB)0，OB·(OCOA)0．∴OA·OCOA·OB，OB·OCOB·OA．∴OC·OB＝OC·OA，OC·AB＝0．∴OCAB2.出示例2：如圖，已知線段AB在平面α內(nèi)，線段AC，線段BD⊥AB，線段DD'，DBD'30，若是AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D間的距離．解：由AC，可知ACAB．由DBD'30可知，＜CA,BD＞＝120，∴|CD|2＝(CAABBD)2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝b2a2b22b2cos120＝a2b2．∴CDa2b2．3.出示例3：如圖，M、N分別是棱長為1的正方體ABCDA'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中點(diǎn)．求異面直線MN與CD'所成的角．解：∵M(jìn)N＝1(CC'BC)，CD'＝CC'CD，2∴MN·CD'＝1(CC'BC)·(CC'CD)＝1(|CC'|2＋CC'CD＋BC·CC'＋22BC·CD)．∵CC'CD，CC'BC，BCCD，∴CC'CD0，BC·CC'0，BC·CD0，∴MN·CD'＝1|CC'|2＝1．求得cos＜MN,CD'＞1，∴＜MN,CD'＞＝60.222小結(jié)：利用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)變成向量表示式，并用已知向量表示未知向量，爾后經(jīng)過向量的運(yùn)算去計算或證明．三、牢固練習(xí)作業(yè)：課本P116練習(xí)1、2題.第二課時：§3.2立體幾何中的向量方法（二）授課要求：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用．掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題．授課重點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用．授課難點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用．授課過程：一、復(fù)習(xí)引入談?wù)摚簩⒘Ⅲw幾何問題轉(zhuǎn)變成向量問題的路子？1）經(jīng)過一組基向量研究的向量法，它利用向量的看法及其運(yùn)算解決問題；2）經(jīng)過空間直角坐標(biāo)系研究的坐標(biāo)法，它經(jīng)過坐標(biāo)把向量轉(zhuǎn)變成數(shù)及其運(yùn)算來解決問題.二、例題講解1.出示例1：如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)，求證：D1F平面ADE．證明：不如設(shè)已知正方體的棱長為１個單位長度，且設(shè)DA＝i，DC＝，DD1＝．以、、為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系D－，則jkijkxyz11∵AD＝(-1,0,0)，D1F＝(0,,-1)，∴AD·D1F＝(-1,0,0)·(0,,-1)＝0，∴D1FAD．22又AE＝(0,1,1)，∴AE·D1F＝(0,1,1)·(0,1,-1)＝0，∴D1FAE．222又ADAEA，∴D1F平面ADE．說明：⑴“不如設(shè)”是我們在解題中常用的小技巧，平時可用于設(shè)定某些與題目要求沒關(guān)的一些數(shù)據(jù)，以使問題的解決簡單化．如在立體幾何中求角的大小、判斷直線與直線或直線與平面的地址關(guān)系時，可以約定一些基本的長度．⑵空間直角坐標(biāo)些建立，可以采用任意一點(diǎn)和一個單位正交基底，但詳盡設(shè)置時仍應(yīng)注意幾何體中的點(diǎn)、線、面的特色，把它們放在合適的地址，才能方便計算和證明．出示例2：課本P116例3解析：怎樣轉(zhuǎn)變成向量問題？進(jìn)行怎樣的向量運(yùn)算？出示例3：課本P118例4解析：怎樣轉(zhuǎn)變成向量問題？進(jìn)行怎樣的向量運(yùn)算？出示例4：證：若是兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行．改寫為：已知：直線OA⊥平面α，直線BD⊥平面α，O、B為垂足．求證：OA//BD．證明：以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以射線OA為非負(fù)z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，i,j,k為沿x軸，y軸，z軸的坐標(biāo)向量，且設(shè)BD＝(x,y,z)．∵BD⊥α，∴BD⊥i，BD⊥j，BD·i＝(x,y,z)·(1,0,0)＝x＝0，BD·j＝(x,y,z)·(0,1,0)＝y(tǒng)＝0,∴BD＝(0,0,z)．∴BD＝zk．即BD//k．由已知O、B為兩個不同樣的點(diǎn)，∴OA//BD．5.法向量定義：若是表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作a⊥α．若是a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．6.小結(jié)：向量法解題“三步曲”：（1）化為向量問題→（2）進(jìn)行向量運(yùn)算→（3）回到圖形問題.三、牢固練習(xí)作業(yè)：課本P120、習(xí)題A組1、2題.第三課時：§3.2立體幾何中的向量方法（三）授課要求：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用．掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題．授課重點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用．授課難點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用．授課過程：一、復(fù)習(xí)引入1.法向量定義：若是直線l平面,取直線l的方向向量為a，則向量a叫作平面α的法向量（normalvectors）.利用法向量，可以巧妙的解決空間角度和距離.2.談?wù)摚涸鯓永梅ㄏ蛄壳缶€面角？→面面角？直線AB與平面α所成的角，可看作是向量AB所在直線與平面α的法向量n所在直線夾角的余角，從而求線面角轉(zhuǎn)變成求直線所在的向量與平面的法向量的所成的線線角，根據(jù)兩個向量所成角的余弦公式cos,ab，我們可以獲得以下向量法的公式：ababsinABncosAB,n.ABn談?wù)摚涸鯓永孟蛄壳罂臻g距離？兩異面直線的距離，轉(zhuǎn)變成與兩異面直線都訂交的線段在公垂向量上的投影長.點(diǎn)到平面的距離，轉(zhuǎn)變成過這點(diǎn)的平面的斜線在平面的法向量上的投影長.二、例題講解：1.出示例1：長方體ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=4，E、F分別是A1D1、AB的中點(diǎn)，O是BC1與B1C的交點(diǎn).求直線OF與平面DEF所成角的正弦.解：以點(diǎn)D為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，DA、DC、DD1為坐標(biāo)軸，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系.則D(2,2,0),E(1,0,2),F(2,2,0),O(1,4,1),C(0,4,0).設(shè)平面DEF的法向量為n(x,y,z)，nDE而DE(1,0,2)，DF(2,2,0).則，nDFnDE0x2z0,解得x:y:z2:2:1∴，即2x2ynDF00∵nOF|n||OF|cos，而OF(1,2,1