高中數(shù)學(xué)人教B版第三章不等式 獲獎(jiǎng)作品

第三章基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元一個(gè)售出時(shí)，能賣出400個(gè)，每漲價(jià)1元，其銷售量就減少20個(gè)，為獲得最大利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定在eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542816)(A)A．每個(gè)95元 B．每個(gè)100元C．每個(gè)105元 D．每個(gè)110元[解析]設(shè)每個(gè)漲價(jià)x元，則利潤(rùn)y＝(x＋10)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000，∴當(dāng)x＝eq\f(200,40)＝5時(shí)，y取得最大值．故每個(gè)售價(jià)為95元時(shí)利潤(rùn)最大．2．在面積為S(S為定值)的扇形中，當(dāng)扇形中心角為θ，半徑為r時(shí)，扇形周長(zhǎng)最小，這時(shí)θ、r的值分別是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542817)(D)A．θ＝1，r＝eq\r(S) B．θ＝2，r＝eq\r(4,S)C．θ＝2，r＝eq\r(3,S) D．θ＝2，r＝eq\r(S)[解析]S＝eq\f(1,2)θr2?θ＝eq\f(2S,r2)，又扇形周長(zhǎng)P＝2r＋θr＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r＋\f(S,r)))≥4eq\r(S)，當(dāng)P最小時(shí)，r＝eq\f(S,r)?r＝eq\r(S)，此時(shí)θ＝2.3．某公司從2023年起每位職工的年工資主要由三個(gè)項(xiàng)目組成，并按下表規(guī)定發(fā)放工資：(工齡為整數(shù))項(xiàng)目計(jì)算方法基礎(chǔ)工資2023年2萬(wàn)元，以后每年逐增10%住房補(bǔ)貼800元×工齡醫(yī)療費(fèi)每年1600元固定不變?nèi)粼摴灸陈毠ぴ?023年將得到的住房補(bǔ)貼與醫(yī)療費(fèi)之和超過(guò)基礎(chǔ)工資的25%，到2023年年底這位職工的工齡至少是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542818)(C)A．4年 B．5年C．6年 D．7年[解析]設(shè)這位職工的工齡為x年，則800x＋1600>20000(1＋10%)2×25%，即800x＋1600>6050，解得x>5，所以到2023年年底這位職工的工齡至少為6年．4．做一個(gè)面積為1m2，形狀為直角三角形的鐵架框，在下面四種長(zhǎng)度的鐵管中，最合理(夠用，又浪費(fèi)最少)的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542819)(C)A．4.6mC．5m[解析]設(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為x，y，則eq\f(1,2)xy＝1，即xy＝2.周長(zhǎng)l＝x＋y＋eq\r(x2＋y2)≥2eq\r(xy)＋eq\r(2xy)＝(1＋eq\r(2))×2≈，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)．考慮到實(shí)際問(wèn)題，故選C．二、填空題5．光線透過(guò)一塊玻璃，其強(qiáng)度要減弱eq\f(1,10).要使光線的強(qiáng)度減弱到原來(lái)的eq\f(1,3)以下，至少需這樣的玻璃板11塊．(參考數(shù)據(jù)：lg2＝0，lg3＝1)eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542820)[解析]設(shè)至少需要經(jīng)過(guò)這樣的n塊玻璃板，則，(1－eq\f(1,10))n<eq\f(1,3)，即n·lgeq\f(9,10)<lgeq\f(1,3)，∴n>eq\f(lg\f(1,3),lg\f(9,10))＝eq\f(－lg3,2lg3－1)＝eq\f(－1,2×1－1)≈.又∵n∈N＋，∴n＝11.6．一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為l，面積為S，給出下列實(shí)數(shù)對(duì)：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，eq\f(1,2))．其中可作為(l，S)的取值的實(shí)數(shù)對(duì)的序號(hào)是①④.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542821)[解析]依題意，設(shè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為a、b，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\f(1,2)l,ab＝S))，即l＝2(a＋b)≥4eq\r(ab)＝4eq\r(S)，eq\f(l,\r(S))≥4.對(duì)于①，eq\f(4,\r(1))＝4；對(duì)于②，eq\f(8,\r(6))<eq\f(8,\r(4))＝4；對(duì)于③，eq\f(10,\r(8))＝eq\f(5,\r(2))<eq\f(\r(32),\r(2))＝4；對(duì)于④，eq\f(3,\f(1,\r(2)))＝3eq\r(2)>4.因此，其中可作為(l，S)的取值的實(shí)數(shù)對(duì)的序號(hào)是①④.三、解答題7．某企業(yè)生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1百臺(tái)時(shí)又需可變成本(即需另增加投入)萬(wàn)元，市場(chǎng)對(duì)此商品的需求量為5百臺(tái)，銷售的收入函數(shù)為R(x)＝5x－eq\f(1,2)x2(萬(wàn)元)，(0≤x≤5)，其中x是產(chǎn)品生產(chǎn)并售出的數(shù)量．(單位：百臺(tái))eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542822)(1)把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；(2)年產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)所得利潤(rùn)最大？(3)年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)才不虧本．(不賠錢)?[解析](1)設(shè)利潤(rùn)為y.則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Rx－－0≤x≤5,R5－－x＞5))，∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋x－0≤x≤5,12－x＞5)).(2)y＝－eq\f(1,2)(x－2＋∴x＝時(shí)，即年產(chǎn)量為475臺(tái)時(shí)企業(yè)所得利潤(rùn)最大．(3)要使企業(yè)不虧本，須y＞0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x＜5,－\f(1,2)x2＋x－＞0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12－＞0,x≥5)).2．65＜x＜5或5≤x＜48，即＜x＜48.∴年產(chǎn)量在265臺(tái)至4800臺(tái)時(shí)，企業(yè)才會(huì)不虧本．8．某自來(lái)水廠的蓄水池存有400t水，水廠每小時(shí)可向蓄水池中注水60t，同時(shí)蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水，xh內(nèi)供水總量為120eq\r(6x)(0≤x≤24).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542823)(1)從供水開(kāi)始到第幾個(gè)小時(shí)蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少噸？(2)若蓄水池中水量少于80t，就會(huì)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象，請(qǐng)問(wèn)：在一天的24h內(nèi)，有幾個(gè)小時(shí)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象？[解析](1)設(shè)xh后蓄水池中的水量為yt，則y＝400＋60x－120eq\r(6x)，設(shè)eq\r(6x)＝u，則u2＝6x(u∈[0,12])，∴y＝400＋10u2－120u＝10(u－6)2＋40.∵u∈[0,12]，故當(dāng)u＝6即x＝6時(shí)，ymin＝40.即從供水開(kāi)始到第6h時(shí)，蓄水池中的存水量最少，為40t.(2)依題意，得400＋10u2－120u<80，即u2－12u＋32<0，解得4<u<8，∴16<u2<64.又∵u2＝6x，所以16<6x<64，∴eq\f(8,3)<x<eq\f(32,3).又∵eq\f(32,3)－eq\f(8,3)＝8，∴每天約有8h供水緊張．能力提升一、選擇題1．某地2023年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前5個(gè)行業(yè)的情況列表如下：行業(yè)名稱計(jì)算機(jī)機(jī)械營(yíng)銷物流貿(mào)易應(yīng)聘人數(shù)2158302002501546767457065280行業(yè)名稱計(jì)算機(jī)營(yíng)銷機(jī)械建筑化工招聘人數(shù)124620102935891157651670436若用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)和招聘人數(shù)比值的大小來(lái)衡量該行業(yè)的就業(yè)情況，則根據(jù)表中數(shù)據(jù)，就業(yè)形勢(shì)一定是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542824)(B)A．計(jì)算機(jī)行業(yè)好于化工行業(yè)B．建筑行業(yè)好于物流行業(yè)C．機(jī)械行業(yè)最緊張D．營(yíng)銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張[解析]就業(yè)情況＝eq\f(應(yīng)聘人數(shù),招聘人數(shù))，計(jì)算機(jī)就業(yè)形式＝eq\f(215830,124620)＞1，化工業(yè)就業(yè)形式＝eq\f(應(yīng)聘人數(shù),70436)＜eq\f(65280,70436)＜1，則A不合適．同理，建筑行業(yè)就業(yè)形式＝eq\f(應(yīng)聘人數(shù),76516)＜eq\f(65280,76516)＜1，物流業(yè)就業(yè)形式＝eq\f(74570,招聘人數(shù))＞eq\f(74570,70436)＞1.2．某商場(chǎng)的某種商品的年進(jìn)貨量為1萬(wàn)件，分若干次進(jìn)貨，每次的進(jìn)貨量相同，且每次的運(yùn)費(fèi)均為100元，運(yùn)來(lái)的貨物除出售外，還需租倉(cāng)庫(kù)存放，倉(cāng)庫(kù)一年的租金數(shù)和一次進(jìn)貨的件數(shù)相同，為使一年的運(yùn)費(fèi)和租金最省，每次的進(jìn)貨量應(yīng)為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542825)(D)A．200件 B．5000件C．2500件 D．1000件[解析]設(shè)每次的進(jìn)貨量為x件，一年的運(yùn)費(fèi)和租金總和為y元，則y＝eq\f(10000,x)×100＋x≥2eq\r(\f(10000,x)×100·x)＝2000，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1000000,x)＝x，即x＝1000時(shí)等號(hào)成立，故選D．二、填空題3．現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水200克，生產(chǎn)上需要含鹽5%以上、6%以下的食鹽水，設(shè)需要加入含鹽4%的食鹽水為x克，則x的取值范圍是100＜x＜\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542826)[解析]由題意可列式5%<eq\f(7%×200＋4%×x,200＋x)<6%，即5<eq\f(1400＋4x,200＋x)<6，解得100<x<400.4．周長(zhǎng)為2的直角三角形的面積的最大值為3－2eq\r(2).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542827)[解析]設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，則直角三角形的面積S＝eq\f(1,2)ab.由已知，得a＋b＋c＝2，∴a＋b＋eq\r(a2＋b2)＝2，∴2＝a＋b＋eq\r(a2＋b2)≥2eq\r(ab)＋eq\r(2ab)＝(2＋eq\r(2))eq\r(ab)，∴eq\r(ab)≤eq\f(2,2＋\r(2))＝2－eq\r(2)，∴ab≤(2－eq\r(2))2＝6－4eq\r(2)，∴S＝eq\f(1,2)ab≤3－2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2－eq\r(2)時(shí)，S取最大值3－2eq\r(2).三、解答題5．某漁業(yè)公司年初用98萬(wàn)元購(gòu)買一艘捕魚船，第一年各種費(fèi)用為12萬(wàn)元，以后每年增加4萬(wàn)元，每年捕魚收益50萬(wàn)元．(1)問(wèn)第幾年開(kāi)始獲利？eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542828)(2)若干年后，有兩種處理方案：①年平均獲利最大時(shí)，以26萬(wàn)元出售該漁船；②總純收入獲利最大時(shí)，以8萬(wàn)元出售該漁船．問(wèn)哪種方案最合算？[解析]由題設(shè)知每年的費(fèi)用是以12為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．設(shè)純收入與年數(shù)的關(guān)系為f(n)，則f(n)＝50n－[12＋16＋…＋(8＋4n)]－98＝40n－2n2－98.(1)由f(n)>0得，n