高中數(shù)學(xué)人教B版5第二章柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用 第2章排序不等式

排序不等式1.了解排序不等式的數(shù)學(xué)思想和背景.2.理解排序不等式的結(jié)構(gòu)與基本原理，會用排序不等式解決簡單的不等式問題.[基礎(chǔ)·初探]教材整理1順序和、亂序和、反序和的概念設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn為b1，b2，…，bn的任一排列，稱a1b1＋a2b2＋…＋anbn為這兩個實(shí)數(shù)組的順序和；稱a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1為這兩個實(shí)數(shù)組的反序和；稱a1c1＋a2c2＋…＋ancn為這兩個實(shí)數(shù)組的亂序和.教材整理2定理(排序原理，又稱為排序不等式)設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn為b1，b2，…，bn的任一排列，則有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等號成立(反序和等于順序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn，可簡記作：反序和≤亂序和≤順序和.已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，則M與N的大小關(guān)系是()>N ≥N<N ≤N【解析】由排序不等式，知M≥N.【答案】B[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]用排序不等式證明不等式(字母大小已定)已知a，b，c為正數(shù)，a≥b≥c，求證：(1)eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab)；(2)eq\f(a2,b2c2)＋eq\f(b2,c2a2)＋eq\f(c2,a2b2)≥eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2).【精彩點(diǎn)撥】由于題目條件中已明確a≥b≥c，故可以直接構(gòu)造兩個數(shù)組.【自主解答】(1)∵a≥b>0，于是eq\f(1,a)≤eq\f(1,b)，又c>0，∴eq\f(1,c)>0，從而eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca).同理，∵b≥c>0，于是eq\f(1,b)≤eq\f(1,c)，∴a>0，∴eq\f(1,a)>0，于是得eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab)，從而eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab).(2)由(1)知eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab)>0且a≥b≥c>0，∴eq\f(1,b2c2)≥eq\f(1,c2a2)≥eq\f(1,a2b2)，a2≥b2≥c2.由排序不等式，順序和≥亂序和得eq\f(a2,b2c2)＋eq\f(b2,c2a2)＋eq\f(c2,a2b2)≥eq\f(b2,b2c2)＋eq\f(c2,c2a2)＋eq\f(a2,a2b2)＝eq\f(1,c2)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)，故eq\f(a2,b2c2)＋eq\f(b2,c2a2)＋eq\f(c2,a2b2)≥eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2).利用排序不等式證明不等式的技巧在于仔細(xì)觀察、分析所要證明的式子的結(jié)構(gòu)，從而正確地構(gòu)造出不等式中所需要的帶有大小順序的兩個數(shù)組.[再練一題]1.已知0<a1≤a2≤…≤an，求證：eq\f(a\o\al(2,1),a2)＋eq\f(a\o\al(2,2),a3)＋…＋eq\f(a\o\al(2,n－1),an)＋eq\f(a\o\al(2,n),a1)≥a1＋a2＋…＋an.【導(dǎo)學(xué)號：38000035】【證明】∵0<a1≤a2≤…≤an，∴aeq\o\al(2,1)≤aeq\o\al(2,2)≤…≤aeq\o\al(2,n)，eq\f(1,a1)≥eq\f(1,a2)≥…≥eq\f(1,an)，由排序不等式知，亂序和不小于反序和，得eq\f(a\o\al(2,1),a2)＋eq\f(a\o\al(2,2),a3)＋…＋eq\f(a\o\al(2,n－1),an)＋eq\f(a\o\al(2,n),a1)≥aeq\o\al(2,1)·eq\f(1,a1)＋aeq\o\al(2,2)·eq\f(1,a2)＋…＋aeq\o\al(2,n)·eq\f(1,an).因此eq\f(a\o\al(2,1),a2)＋eq\f(a\o\al(2,2),a3)＋…＋eq\f(a\o\al(2,n－1),an)＋eq\f(a\o\al(2,n),a1)≥a1＋a2＋…＋an.字母大小順序不定的不等式證明設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：eq\f(a2＋b2,2c)＋eq\f(b2＋c2,2a)＋eq\f(c2＋a2,2b)≤eq\f(a3,bc)＋eq\f(b3,ca)＋eq\f(c3,ab).【精彩點(diǎn)撥】(1)題目涉及到與排序有關(guān)的不等式；(2)題目中沒有給出a，b，c的大小順序.解答本題時不妨先設(shè)定a≤b≤c，再利用排序不等式加以證明.【自主解答】不妨設(shè)0<a≤b≤c，則a3≤b3≤c3，0<eq\f(1,bc)≤eq\f(1,ca)≤eq\f(1,ab)，由排序原理：亂序和≤順序和，得a3·eq\f(1,ca)＋b3·eq\f(1,ab)＋c3·eq\f(1,bc)≤a3·eq\f(1,bc)＋b3·eq\f(1,ca)＋c3·eq\f(1,ab)，a3·eq\f(1,ab)＋b3·eq\f(1,bc)＋c3·eq\f(1,ca)≤a3·eq\f(1,bc)＋b3·eq\f(1,ca)＋c3·eq\f(1,ab).將上面兩式相加得eq\f(a2＋b2,c)＋eq\f(b2＋c2,a)＋eq\f(c2＋a2,b)≤2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a3,bc)＋\f(b3,ca)＋\f(c3,ab)))，將不等式兩邊除以2，得eq\f(a2＋b2,2c)＋eq\f(b2＋c2,2a)＋eq\f(c2＋a2,2b)≤eq\f(a3,bc)＋eq\f(b3,ca)＋eq\f(c3,ab).在排序不等式的條件中需要限定各數(shù)值的大小關(guān)系，對于沒有給出大小關(guān)系的情況：(1)要根據(jù)各字母在不等式中地位的對稱性，限定一種大小關(guān)系.(2)若給出的字母不具有對稱性，一定不能直接限定字母的大小順序，而要根據(jù)具體情境分類討論.[再練一題]2.本例的條件不變，試證明：eq\f(a2＋b2,2c)＋eq\f(b2＋c2,2a)＋eq\f(c2＋a2,2b)≥a＋b＋c.【證明】不妨設(shè)a≥b≥c>0，則a2≥b2≥c2，eq\f(1,c)≥eq\f(1,b)≥eq\f(1,a)，則a2·eq\f(1,c)＋b2·eq\f(1,a)＋c2·eq\f(1,b)(亂序和)≥a2·eq\f(1,a)＋b2·eq\f(1,b)＋c2·eq\f(1,c)(反序和)，同理，b2·eq\f(1,c)＋c2·eq\f(1,a)＋a2·eq\f(1,b)(亂序和)≥a2·eq\f(1,a)＋b2·eq\f(1,b)＋c2·eq\f(1,c)(反序和).兩式相加再除以2，可得a＋b＋c≤eq\f(a2＋b2,2c)＋eq\f(b2＋c2,2a)＋eq\f(c2＋a2,2b).利用排序不等式求最值設(shè)a，b，c為任意正數(shù)，求eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)的最小值.【精彩點(diǎn)撥】由對稱性，不妨設(shè)a≥b≥c>0，注意到eq\f(b,b＋c)＋eq\f(c,b＋c)＝1，設(shè)法構(gòu)造數(shù)組，利用排序不等式求解.【自主解答】不妨設(shè)a≥b≥c，則a＋b≥a＋c≥b＋c，eq\f(1,b＋c)≥eq\f(1,c＋a)≥eq\f(1,a＋b)，由排序不等式得，eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)≥eq\f(b,b＋c)＋eq\f(c,c＋a)＋eq\f(a,a＋b)，eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)≥eq\f(c,b＋c)＋eq\f(a,c＋a)＋eq\f(b,a＋b)，上兩式相加，則2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b＋c)＋\f(b,c＋a)＋\f(c,a＋b)))≥3，即eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)≥eq\f(3,2).當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)取最小值eq\f(3,2).1.分析待求函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造兩個有序數(shù)組.2.運(yùn)用排序原理求最值時，一定驗證等號是否成立，若等號不成立，則取不到最值.[再練一題]3.已知x，y，z是正數(shù)，且x＋y＋z＝1，求t＝eq\f(x2,y)＋eq\f(y2,z)＋eq\f(z2,x)的最小值.【導(dǎo)學(xué)號：38000036】【解】不妨設(shè)x≥y≥z>0，則x2≥y2≥z2，eq\f(1,z)≥eq\f(1,y)≥eq\f(1,x).由排序不等式，亂序和≥反序和.eq\f(x2,y)＋eq\f(y2,z)＋eq\f(z2,x)≥x2·eq\f(1,x)＋y2·eq\f(1,y)＋z2·eq\f(1,z)＝x＋y＋z.又x＋y＋z＝1，eq\f(x2,y)＋eq\f(y2,z)＋eq\f(z2,x)≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(1,3)時，等號成立.故t＝eq\f(x2,y)＋eq\f(y2,z)＋eq\f(z2,x)的最小值為1.[探究共研型]排序不等式的特點(diǎn)探究1排序不等式的本質(zhì)含義是什么？【提示】排序不等式的本質(zhì)含義是兩實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)(同時增或同時減)時所得兩兩乘積之和最大；反方向單調(diào)(一增一減)時所得兩兩乘積之和最小.注意等號成立的條件是其中一個序列為常數(shù)序列.探究2排序原理的思想是什么？【提示】在解答數(shù)學(xué)問題時，常常涉及一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序，那么在解答問題時，我們可以利用排序原理的思想方法，將它們按一定順序排列起來，繼而利用不等關(guān)系來解題.因此，對于排序原理，我們要記住的是處理問題的這種思想及方法，同時要學(xué)會善于利用這種比較經(jīng)典的結(jié)論來處理實(shí)際問題.若某網(wǎng)吧的3臺電腦同時出現(xiàn)了故障，對其維修分別需要45min,25min和30min，每臺電腦耽誤1min，網(wǎng)吧就會損失元.在只能逐臺維修的條件下，按怎樣的順序維修，才能使經(jīng)濟(jì)損失降到最小？【精彩點(diǎn)撥】這是一個實(shí)際問題，需要轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.要使經(jīng)濟(jì)損失降到最小，即三臺電腦維修的時間與等候的總時間之和最小，又知道若維修第一臺所用時間t1min時，三臺電腦等候維修的總時間為3t1min，依此類推，等候的總時間為3t1＋2t2＋t3min，求其最小值即可.【自主解答】設(shè)t1，t2，t3為25,30,45的任一排列，由排序原理知3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以按照維修時間由小到大的順序維修，可使經(jīng)濟(jì)損失降到最小.1.首先，理解題意，實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，建立恰當(dāng)模型.2.三臺電腦的維修時間3t1＋2t2＋t3就是問題的數(shù)學(xué)模型，從而轉(zhuǎn)化為求最小值(運(yùn)用排序原理).[再練一題]4.有5個人各拿一只水桶到水龍頭接水，如果水龍頭注滿這5個人的水桶需要時間分別是4分鐘，8分鐘，6分鐘，10分鐘，5分鐘，那么如何安排這5個人接水的順序，才能使他們等待的總時間最少？【解】根據(jù)排序不等式的反序和最小，可得最少時間為4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(分鐘).即按注滿時間為4分鐘，5分鐘，6分鐘，8分鐘，10分鐘依次等水，等待的總時間最少.1.設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，且a1，a2，a3的任一排列為a′1，a′2，a′3，則eq\f(a1,a′1)＋eq\f(a2,a′2)＋eq\f(a3,a′3)的最小值為() 【解析】由題意，不妨設(shè)a1≥a2≥a3>0，則eq\f(1,a3)≥eq\f(1,a2)≥eq\f(1,a1)>0，∴eq\f(a1,a′1)＋eq\f(a2,a′2)＋eq\f(a3,a′3)≥eq\f(a1,a1)＋eq\f(a2,a2)＋eq\f(a3,a3)＝3，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝a3時等號成立.【答案】A2.設(shè)a，b，c為正數(shù)，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，則P與Q的大小關(guān)系是()>Q ≥Q<Q ≤Q【解析】不妨設(shè)a≥b≥c>0，則a2≥b2≥c2>0.由排序不等式得a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a.∴P≥Q.【答案】B3.銳角三角形中，設(shè)P＝eq\f(a＋b＋c,2)，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，則P，Q的關(guān)系為()≥Q ＝Q≤Q D.不能確定【解析】不妨設(shè)A≥B≥C，則a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，則由排序不等式有Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥acosB＋bcosC＋ccosA＝R(2sinAcosB＋2sinBcosC＋2sinCcosA)＝R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]＝R(sinC＋sinA＋sinB)＝eq\f(a＋b＋c,2)＝P.【答案】C4.若c1，c2，c3是4,5,6的一個排列，則c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________.【解析】由排序不等式，順序和最大，反序和最小.∴最大值為1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值為1×6＋2×5＋3×4＝28.【答案】32285.已知a，b，c為正數(shù)，a≥b≥c，求證：eq\f(a5,b3c3)＋eq\f(b5,c3a3)＋eq\f(c5,a3b3)≥e