2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南省預(yù)賽B卷

2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南省預(yù)賽B卷學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：填空題設(shè)集合A={x|x2-3x-10<0}^={x|m+l<x<若A^B=B.則實(shí)數(shù)m的取值范圍為?2.如果函數(shù)），=3cos（2x+e）的圖彖關(guān)于點(diǎn)（￥，0）中心對(duì)稱，那么|例的最小值為3?如圖，A與P分別是單位圓O上的定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP，過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M,將點(diǎn)M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)/（對(duì)，則/（Q=4?己知二面角a-1-p為60。,動(dòng)點(diǎn)P、0分別在面a.0內(nèi)，P到0的距離為0到a的距離為2JI，則P、0兩點(diǎn)之間距離的最小值為.5.如圖，將一個(gè)邊長為1的正三角形分成四個(gè)全等的正三角形，第一次挖去中間的一個(gè)小三角形，將剩卞的三個(gè)小正三角形，再分別從中間挖去一個(gè)小三角形，保留它們的邊，重復(fù)操作以上做法，得到的集合為謝爾賓斯基縷墊.設(shè)A”是第n次挖去的小三角形面枳之和（如人是第1次挖去的中間小三角形面枳，人是第2次挖去的三個(gè)小三角形面枳之和），則前n次挖去的所有小三角形面積之和的值為?6?若3sin'x+cos3x=3，則siii2018x+cos'"8x的值為?7?如圖放置的邊長為1的正方形ABCD沿x軸正向滾動(dòng)，即先以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn),

當(dāng)E落在x軸上時(shí)，再以B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)，設(shè)頂點(diǎn)C滾動(dòng)時(shí)的軌跡方程為y=f（x）,則門X）在[2017,2018]±的表達(dá)式為.8.四個(gè)半徑都為1的球放在水平桌面上，且相鄰的球都相切（球心的連線構(gòu)成正方形）?有一個(gè)正方體，其下底與桌面重合，上底的四個(gè)頂點(diǎn)都分別與四個(gè)球剛好接觸，則該正方體的棱長為?9.設(shè)9.設(shè)d+b=l,b>0,QH0,則設(shè)cigRgb,函數(shù)g（x）=ma利x+/|（xwR）（其中max表示對(duì)于xeR,當(dāng)tg[a,b]時(shí)表達(dá)式|x+1|的最人值），則g（x）的最小值為?二、解答題（本小題滿分12分）（注意：在上作答無斂）如圖，四棱錐S-ABCD中，SD丄底面ABCD,ABHDC,AD丄DC,AB=AD=1,DC=SD=2,￡為棱S3上的一點(diǎn)，平面EDC丄平面SBC.（I）證明：SE=2EB；（II）求二面角A-DE-C的人小.12.棋盤上標(biāo)有第0,1,2,…，100站，棋子開始時(shí)位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲?若擲出正面，棋子向前跳出一站：若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站（勝利犬本營）或第100站（失敗集中營）是，游戲結(jié)束?設(shè)棋子跳到第n站的概率為代.（1）求厶的值；⑵證明：即-丘=-*（乙-即）（2K99）；（3）求P99、心0的值.（1）已知P是矩形ABCD所在平面上的一點(diǎn)，則有PA2+PC2=PB~+PD2?試證明該命題.（2）將上述命題推廣到P為空間上任一點(diǎn)的情形，寫出這個(gè)推廣后的命題并加以證明.（3）將矩形ABCD進(jìn)一步推廣到長方體ABCD-A^Cfi^并利用（2）得到的命題建立并證明一個(gè)新命題.設(shè)曲線C:|x2-16y|=256-16|y|所圍成的封閉區(qū)域?yàn)镈.（1）求區(qū)域D的面積：（2）設(shè)過點(diǎn)M（0,—16）的直線與曲線C交于兩點(diǎn)P、Q,求IPQI的最人值.參考答案【解析】【詳解】由=3知，3匸人，而A={x\x2-3x-10<0}={x\-2<x<5}.當(dāng)B=0時(shí)，/w+1>2/h—1,即in<2,此時(shí)B(z.A成立.f-2<m+1,當(dāng)B^0時(shí)，m+1<2777-E即tn>2由B^A9得彳小<-2/n-l<5.解得一3<m<3-又〃?22,故得2<//?<3?綜上，有m<3.故答案為：〃?<371-6【解析】【詳解】4/T'由y=3cos(2x+0)得圖象關(guān)于點(diǎn)—.0中心對(duì)稱知，\/昇4龍\a”8龍.hr、f——=0,即——+0=￡龍+—(RwZ),J3丿32即0=熾一罟+#(“z).因此，岡的最小值為WLn=伙一2)龍一彳=￡.min故答案為：-6/(x)=|siiixcosx|【解析】【詳解】對(duì)角度X進(jìn)行簡單的分類XW對(duì)角度X進(jìn)行簡單的分類XW然后根據(jù)三角函數(shù)的定義得到sinxcosx.xey=f(x)=^-sinxcosx,xg利用函數(shù)的周期性得到/(X)=|sULVCOS,V故答案為：f(x)=\sinxcosx4?2第【詳解】如圖分別作Q.4丄a于a,ACU于C,陽丄0于b,PD丄I于D,連CQ,BD則上ACQ=乙PDB=60°,4Q=2爸?HP=辺,:.AC=PD=2又???PQ=y/AQ1-FAP2=\/12+^2>2\/3當(dāng)且僅當(dāng)AP=Of即點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí)取最小值.故答案選C.5週?4【解析】【詳解】

Jl-1?因此，可一至TIL一迺416J41-3'Jl-1?因此，可一至TIL一迺416J41-3'4>故答案為：乎6.1【解析】【詳解】首先由3sin'x+cos'x=3可知，必有sni￥>0,否則cos3x=3-3sin3x>3，矛盾.又由sin3%<sin*cos3x<cos2%,因此有3=3siii3x+cos3x<3siii2x+cos'x=1+2siii2x?解得siii2x>1-因此有sinx=l以及cosv=0,故有sin2018x+cos2018x=l.7./(x)=宀比一2016)"*"2016)^【解析】【詳解】y=/(X)=<yJ^X-X2y=/(X)=<yJ^X-X2-3,XG[2,3],\]Sx-x2-15,xe[3,4].由于/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以當(dāng)xe[2017,2018]時(shí)x—504-4=X—2016w[1，2],此時(shí)由周期性及①式的結(jié)果得到

f(x)=/(X-504-4)=Jl+2(x-2016)-(x-2016)1故答案為：/(x)=^1+2(^--2016)-(^--2016)2【解析】【詳解】設(shè)正方體的棱長為a,上底為正方形AECD,中心為O,則04=血。?由對(duì)稱性知，球心Q在面ABCD上的射影M應(yīng)在直線AC或ED上，且球Q與鄰球的切點(diǎn)P在面ABCD上的射影N在過點(diǎn)O且平行AB的直線上.于是忑MN=OM=OA+AM.又=1-67,則AM=yjo^2-0{M-=,從而后孚+J1-(1-7整理得3a'—8a+4=0,解得a=—，或a=2(舍去)?故a.32故答案為：d=亍2>/2-1【解析】【詳解】12。a+b2aa(b2aa12。a+b2aa(b2aaIba_?近+aa\bb=近a=2-^2時(shí)達(dá)到最小值?故答案為：2JI-1b_ci2【解析】【詳解】對(duì)于每一個(gè)xeR.函數(shù)/(0=x+r是線性函數(shù)?因此，在任意有限閉區(qū)間上，函數(shù)|/(r)|的最人值與最小值均在區(qū)間端點(diǎn)處達(dá)到，從而有g(shù)(x)=nmx\x+(KKh'max{|x+6f|,|x+g(x)=nmx\x+(KKh'max{|x+6f|,|x+b|}?由于函數(shù)y=\x+a\.y=\x+b\圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)c滿足/八a+b一(c+Z?)=c+d=>c=得到g(x)=\x+b\,x>c.得到g(x)=\x+b\,x>c.其圖像為兩條折線組成，且mmg(x)=g(c)=^t故答案為：—11?(I)證明見解析(II)120°【解析】本題主要考查直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)定理、平面與平面垂直的性質(zhì)，二面角的求解，以及考查邏輯思維能力、空間想象力與簡單運(yùn)算能力、同時(shí)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想.解法一：(1)連接刃人取DC的中點(diǎn)G,連接BG,由此知DG=GC=BG=X即ADBC為直角三角形，故BC丄BD.

又SD丄平面ABCD,故BC丄SD,所以，BC丄平fiiBDS,BC丄DE.作BK丄EC,K為垂足，因平面EDC丄平面SBC,故BK丄平面EDC,BK丄DEDE與平面SBC內(nèi)的兩條相交直線BK、都垂直.DE丄平面SBC,DE丄EC、DE丄SBSB=dSD，+DB，=丘,DE=右……SD?DB2DE=右所以，SE=2EB.(II)由SA=JsDhAD，=4^,AB=\、SE=2EB、AB丄SA,知AE=J(-SA)+[-Ab\=1,又AD=1.VU丿(3丿故AzSE為等腰三角形.取ED中點(diǎn)F,連接AF,則4F丄DE、AF=JaD'—DF'=￡連接FG,則FG//EC,FG丄DE.所以，ZAFG是二面角A-DE-C的平面角.2.AF.FG22.AF.FG2所以，二面角A-DE-C的人小為120。.解法二:以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線04為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D-xy^,設(shè)4(1,0,0),則3(1丄0),C(0,2,0),S(0,0,2).(I)SC=(0,2廠2),BC=(-151,O)設(shè)平面SBC的法向量為”=仏bQ,由n丄SC.n丄BCWn<5C=Oj^BC=0,故2b—2c=0,—a+b=0.令o=貝肪十=1/=(1丄1),又設(shè)SE=AEB（A>0）,則』△丄)、+門+*1+2八M=(—,—,—),DC=(0,2,0)1+21+21+2V7設(shè)平面CDE的法向量加=（兀兒z），由m丄DEjn丄DC，得nuDE=0,nuDC=0加空+互=0,2加空+互=0,2尸0.敏1+I+1+Z1+兄令x=2,則加=（2,0、一兄）.由平面DEC丄平面SBC得m1仏則加/=0,即2-2=0.2=2.故SE=2EB.

(2221(H)由⑴叫亍胡，取^中點(diǎn)F,則故FA.DE=0.由此得朋丄DE?——242又EC=(-^---),^EC.DE=O,由此得EC丄DE,向量幣與EC的夾角等于二面角A-DE-C的平面角.于是所以，二面角A-DE-C的大小為120。?點(diǎn)評(píng)：對(duì)立體幾何的考查是一直解答題中比較常規(guī)、變化不人的題。但今年(I)的問題的設(shè)置由證明空間位置關(guān)系變?yōu)樽C明西安段之間的相等關(guān)系，在力求創(chuàng)新考查，但實(shí)際還是考查空間直線、平面之間的位置的關(guān)系的證明及應(yīng)用.12.(1)訂2)^+1-^=|(^-^)(2<n<99)⑶心。=扣+掃【詳解】棋子跳到第3站有以下三種途徑：連續(xù)三次擲出正面，其概率在丄；第一次擲出反面，8第二次擲出正面，其概率為第一次擲出正面，第二次擲出反面，其概率為;，因此乙=458易知棋子先跳到第n-2站，再擲出反面，其概率為丄￡宀；棋子先跳到第舁-1站，2再擲出正面，其概率為*弓日，因此有即鬥一h=—*(%+你)由(2)知數(shù)列｛e-P^n^l)是首項(xiàng)為｛乙一￡_｝⑺21)￡_厶=扌_1=_*,公比為-扌的等比數(shù)列.因此有P公比為-扌的等比數(shù)列.因此有Pn-Pn_｛=I心)=上三L.由此得到111\由于若跳到第99站時(shí)，自動(dòng)停止游戲，故有^oo=-^s=-^+p-|-13.(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解析】【詳解】如圖①，設(shè)在直角坐標(biāo)平面中，矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-a,-b),B(a,-b),C(a,b),D(-a,b)f點(diǎn)P(x,y)是直角坐標(biāo)平面上的任意一點(diǎn),則PA2+PC2=(a+<7)~+(y+Z?)~+(x-<7)"+(y-Z?)~=2^x2+y2+a2+，)，PB2+PD2=(a-?)~+(y+b)-+(x+a)'+b_b)‘=2{x2+y2+a2+b2\故PA2+PC2=PB2+PD2.推廣命題：若棱錐P-ABCD的底面AECD是矩形，則有PA2+PC2=PB2+PD2■證明：如圖②，設(shè)棱錐P-ABCD的底面ABCD在空間直角坐標(biāo)系的xOy平面上，矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(—d,—b,0),B(d,—b,0),C(d,b,0),￡>(—d,b,0)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y,z),貝ijPA2+PC2=(x+d)~+(y+b)-+(2-0)_+(x-t7)"+(y-Z?)"+(^-0)"=2(x24-y2+a2+b2+z2)PB~4-PD1=(%-?)"+(y+Z?)-+(乙一0)-+(jv+q)-+(y-b)~(z-O)~=2(牙'+y2+a2+b2+z2)故PA2+PC2=PB2+PD2.再推廣命題：設(shè)ABCD-A^C^是長方體，P是空間上任意一點(diǎn)，則PA2+PC2+PB：+PD；=PB-+PD2+PA[+PCj.

圖①圖②圖①圖②圖③證明：如圖③，由(2)中定理可得PA2+PC2=PB2+PD2,PA[+PC：=PE：+PD[,所以戶吿+PC：=PB：+PD：=PB2+PD~+PA：+PC：.14.(1)512(2)16720-10^【解析】【詳解】(1)由題設(shè)，由256-16|y|>0,因此一16<yW16.若x2-16y|=x2-16y,則當(dāng)0<yW16時(shí)，x2-16y=x2-16y=256-16y,x2=256,此時(shí)x=±16(0<y<16),圖彖時(shí)兩條直線段.當(dāng)一16<y50時(shí),

亍-16y|=xz-16y=256+16y,）‘，一廠8（y>8）,對(duì)應(yīng)于一段二次函數(shù)的圖彖.32若卜‘―16y|=16y—x2,則當(dāng)0分516時(shí)，類似于前面的推導(dǎo)得y’IT8'對(duì)應(yīng)于二次函數(shù)圖彖的一段：y=—+8（y>8）.當(dāng)一16<yv0時(shí)，x2-16y|=16y-x2=256+16y,得到干=_256，無解.綜上所述，區(qū)域D的集合為：D={（x,y）|-16<A<16,|^-8<y<^+8},由區(qū)域D上函數(shù)圖象性質(zhì)，知區(qū)域D的面積為S=32x16=512.（2）設(shè)過點(diǎn)M（0,-16）的直線為1,為了求|B2|的最人值，由區(qū)域D的對(duì)稱性，只需考慮直線1與D在y軸右側(cè)圖像相交部分即可.設(shè)過點(diǎn)M（0-16）的直線1方程為y=也-16,易知此時(shí)1與D相交時(shí)有l(wèi)§k<s.1.當(dāng)2￡k<s時(shí)，1與D分別相交于二次函數(shù)y=—-8以及y=—+8,兩個(gè)交點(diǎn)分別P16P160（16